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下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。
また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、
辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。
ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ ｃｍ のとき、
直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。
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こたえ
下図のように、
直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、
正方形FHBEを作ります。
さらに、この正方形FHBEを
直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、
正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。
ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。
いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①
次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、
LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４
これにより、LB＝JK＝④
JI＝JKより、40cm－①＝④
⑤＝40cm → ①＝8cm。
JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、
HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、
KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm
以上から、
直角三角形ＢＥＦ
＝正方形ＦＨＢＥ÷２
＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2
＝(32×32－20×12÷2×4)÷2
＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡
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図のように同じ中心を持ち、
半径の差が２ｃｍの２つの円の内側にそれぞれ接する２つの正十二角形があります。
色のついた部分の面積が２００４ｃ㎡のとき、
小さいほうの円の半径は何ｃｍですか？
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解法例
正十二角形の面積は、
１２個の頂角３０゜の二等辺三角形の和として求められます。
その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。
小さい円の半径を②ｃｍとすると、
黄色い平行四辺形の面積は２ｃｍ×①ｃｍ＝②ｃ㎡
緑の三角形の面積は、２ｃｍ×１ｃｍ÷２＝１ｃ㎡
色部分の合計は（②＋１）ｃ㎡
（②＋１）×１２＝２００４ｃ㎡ なので、
②＝１６６ｃｍ になります。
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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。
これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、
大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は
すべて赤色でその他はすべて白色でした。
赤色の小さな立方体の数が49個のとき、
白色の小さな立方体の数はいくつありますか。
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こたえ
赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。
大きな立方体が、
１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、
対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個
したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、
各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、
12－ 3 ＝9で、９個になります。
１辺が４個でできている場合（図２）には、
対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、
この場合は中央で共有する小立方体はないので、
１６個がそのまま合計になります。
つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、
対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、
１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、
また１辺が偶数個の場合は、
１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。
したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、
各対角線上の個数の合計より3個少ないので、
１つの対角線上にある個数は、
（49＋３）÷４＝13個
立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、
小立方体の総数は、
13×13×13＝2197個
白立方体＝2197ー49＝2148個。
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下の８個の□に１～８の数字を１個ずつ入れて、
筆算を２通り完成させてください。
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８つの□に入る数字を図1のようにＡ～Ｈとします。
まず、積が４けたでおさまるため、Ａ＝１です。
また、０は使えないので、Ｈ＝５、Ｄは奇数の３か７とわかります。
■Ｄ＝３のとき
一の位の計算３×５より、十の位には１がくり上がりますが、
Ｃが偶数の場合、そのくり上がりの１がそのままＧに入り、
Ａ＝Ｇ＝１となってしまうので、Ｃ＝７としなくてはならず、
ここで４個の奇数をすべてを使い果たしたことになります。
するとG＝６となり図２のようになります。
さらに十の位の計算7×5から百の位には３がくり上がりますが、
ここでまたＢが偶数の場合Ｄ＝Ｆ＝３となってしまうため、
Ｂを奇数にしたいのですが、
奇数をすべて使い果たしてしまっているのでできません。
このためＤ＝３では計算を完成できません,。
■Ｄ＝７のとき
一の位の計算７×５から十の位には３がくり上がります。
ここでＣ＝３とすると，3×5＝15より，Ｇ＝３＋5＝8となります。
ところが奇数をすべて使ったためにＢには偶数が入ることになり，
図3のように，百の位にくり上がった１がそのままＦになるため，
Ａ＝Ｆ＝１となってしまい，条件に合いません。
このためＣには偶数が入ることがわかり，
その結果，図４のように十の位にくり上がった３がそのままＧになり，
残りのB，C，E，Fにはすべて偶数が入ることになります。
ここで注意すべきことは，Ｅは５以上の６か８で，
Ｂ＝４では，百の位の計算からのくり上がりが２でＥ＝７になり不適当、
つまり，ＢとＥの組み合わせは，
（Ｂ，Ｅ）＝（２，６），（６，８）しがないことがわかります。
●（Ｂ，Ｅ）＝（２，６）のとき
（Ｃ，Ｆ）＝（４，８），（８，４）のうち，
（８，４）の場合に図5のように筆算が成立します。
●（Ｂ，Ｅ）＝（６，８）のとき
（Ｃ，Ｆ）＝（２，４），（４，２）のうち，
（４，２）の場合に図6のように筆算が成立します。
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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。
これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、
大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は
すべて赤色でその他はすべて白色でした。
赤色の小さな立方体の数が49個のとき、
白色の小さな立方体の数はいくつありますか。
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解法例
赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。
大きな立方体が、
１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、
対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個
したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、
各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、
12－ 3 ＝9で、９個になります。
１辺が４個でできている場合（図２）には、
対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、
この場合は中央で共有する小立方体はないので、
１６個がそのまま合計になります。
つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、
対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、
１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、
また１辺が偶数個の場合は、
１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。
したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、
各対角線上の個数の合計より3個少ないので、
１つの対角線上にある個数は、
（49＋３）÷４＝13個
立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、
小立方体の総数は、
13×13×13＝2197個
白立方体＝2197ー49＝2148個。
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２個の４けたの整数Ａ００５と２００Ｂがあります。
Ａ、Ｂ、２、０、５はそれぞれの位の数を表します。
この２個の整数の積は７２で割り切れます。
ＡとＢの組み合わせをすべて求めてください。
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解法例
72を1×72以外の互いに素の２数の積にすると８×９だけです。
A005は２を約数に持たないので、８の倍数ではなく、
200Bの方が８の倍数で、
200Bの下３けた00Bが８の倍数であることがわかり、
Ｂ＝０または８となります。
このことから、２＋０＋０＋Ｂ＝２または10となり、
200Bは３の倍数にはならないので９の倍数ではなく、
A005の方が９の倍数で、
Ａ＋０＋０＋５が９の倍数であることがわかり、
Ａ＝４となります。
以上から、(A、B)＝(4、0)、(4、８）
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図は、方眼紙に書かれた、ある立体の展開図です。
方眼紙の一ますは、たて、横ともに1ｃ㎡です。
この立体をいくつか組み合わせると、直方体が作れます。
そのうちでもっとも体積の小さい直方体の、３辺の長さを答えなさい。
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解法例
この展開図を組み立てると下図のような立体になります。
この立体を、下の図のように180゜回転させて組み合わせ、
さらにこれを２つ組み合わせると、
２ｃｍ×２ｃｍ×５ｃｍの直方体になります。
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下は2002年７月のカレンダーです。
タカシ君はこの７月には毎週１回ずつ合計５回のサッカーの試合をします。
試合の曜日は月曜日が１回、
水曜日が２回、土曜日が１回、日曜日が１回です。
タカシ君がサッカーをする日付の数の和はいくつですか。
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解法例
第１週の日曜日の日付を０とします。
もし５週とも日曜日に試合したとすると、
日付の数の和は、０＋７＋１４＋２１＋２８＝７０です。
次に月曜日、水曜日、土曜日の日付けの数は、
毎週の日曜日の日付の数にそれぞれ、
＋１、＋３、＋６、したものなので、
求めるサッカーをする日付の数の和は、
７０＋１＋３×２＋６＝８３ になります。
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下の漢字１字はそれぞれ１けたの整数を表し、
同じ漢字は同じ数字を表していて、それぞれは異なる数です。
「英知知恵」の４けたの数を求めなさい。
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知＝０です。
学＝3、恵＝７とすると
①算数数3×7＝□数数１より、算＝1
数は1、3以外なので、数＝2か4
1223×7＝8561 → 条件に合いません。
1443×7＝10101 → 条件に合いません。
以上から、学＝3、恵＝7ではありません。
②学＝7、恵＝3とすると、
算数数7×3＝□数数１より
算＝1または２
（1）1数数7×3＝□数数１とすると、
積の百の位＝十の位＝数となるのは、数＝９のときだけです。
ここで、7×英＋5の一の位が９になるとき、英＝2です。
これは、条件に合います。
（２）２数数7×3＝□数数１とすると積の百の位＝十の位＝数となるのは、
数＝９のときだけです。
英は2、3以外なので英＝１となりますが、
このとき2997×1003＝3005991となり、条件に合いません。
以上から、英知知恵＝2003とわかります。
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| 日 | 月 | 火 | 水 | 木 | 金 | 土 |
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| 1 | 2 | 3 | 4 | |||
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
| 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
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