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2019年6月 3日 (月)

算数オリンピック分野別解法集

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2019年4月18日 (木)

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

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こたえ

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

これにより、LB=JK=④

JI=JKより、40cm-①=④ 

⑤=40cm → ①=8cm。

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

以上から、

直角三角形BEF

=正方形FHBE÷2

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

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2019年3月24日 (日)

小さいほうの円の半径は何cm?(2004年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図のように同じ中心を持ち、

半径の差が2cmの2つの円の内側にそれぞれ接する2つの正十二角形があります。

色のついた部分の面積が2004c㎡のとき、

小さいほうの円の半径は何cmですか?

1

6082_1

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解法例

正十二角形の面積は、

12個の頂角30゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

2

小さい円の半径を②cmとすると、

黄色い平行四辺形の面積は2cm×①cm=②c㎡

緑の三角形の面積は、2cm×1cm÷2=1c㎡

色部分の合計は(②+1)c㎡

(②+1)×12=2004c㎡ なので、

②=166cm になります。

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2018年10月27日 (土)

最高で何枚の年賀状をもらえますか?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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Fukei_mura

人口1000人の村に1000軒の家があり、

村の人はみんな一人で住んでいます。

この村では、お正月にすべての村の人が、

自分の家からいちばん近い距離にある家に1枚だけ年賀状を出します。

家どうしの距離はみんな違います。

また、村の外から年賀状は来ません。

さて、この村では、一人の村の人が最高で何枚の年賀状をもらえますか。

その理由も考えてください。

60814_2

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解法のヒント

△ABCでa>bならば∠C>∠B

 

1_2

 

どの家でもよいから1軒(A)をきめ、

 

それに対してより近い2軒B、Cとの3軒で三角形をつくります。

 

Aが、BとCから年賀状をもらったら、

 

BC>BAなので∠A>∠C

 

CB>CAなので∠A>∠B

 

これは、三角形の1つの内角(∠A)が、

 

他の内角(∠Bと∠C)よりも大きいということです。

5802

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解法例

そして三角形の内角の和は180゜ですから、

 

∠A(下図の△1~4)>60゜以上でなければなりません。

 

ところが、もしAさんが6人以上から年賀状をもらっていたら、

 

∠□も60゜以上にならなければならず、不可能です。

 

2_2

 

つまりある人がもらう年賀状は5枚以下です。

 

という答えが出題意図だったようですが、

 

999枚という答えがたくさんあったそうです。

 

子供たちは下図のように、大きな家が一軒あって、

 

その周りを999軒の家が囲んでいる村を想像したのです。

 

3_2

 

だから真ん中の家は999枚の年賀状をもらえます。

 

家を点として考える大人たちの出題意図を、

 

子供たちの柔軟な頭が超えてしまった例ですね。

6082_3

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2018年10月12日 (金)

直角二等辺三角形BEFの面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF=90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。 

AG=5cm、GD=15 cm のとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

1  

Paper

 

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解法のヒント

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形3個の計4個で囲んで、

正方形JKCIを作り、BAの延長が辺JIと交わる点をLとします。

2

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以下解法例

2

ここで、JF=LI=BC=20 cm。

いま、LF=①とすると、JI=JF+LI-LF=40 cm-①

次に、三角形ABGと三角形LBFは相似なので、

LF:LB=AG:AB=5:20=1:4

これにより、LB=JK=④

JI=JKより、40cm-①=④ 

⑤=40cm → ①=8cm。

JK=KC=IC=JI=40cm-8cm=32 cm、

HK=BC=IE=JF=20 cmなので、

KB=EC=FI=JH=32cm-20cm=12 cm

以上から、

直角三角形BEF

=正方形FHBE÷2

=(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

=(32×32-20×12÷2×4)÷2

=(1024 - 480)÷2=272c㎡

 

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分野別算数オリンピック問題の解法例

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2018年10月 5日 (金)

難問です!!三角形アの面積は何c㎡?(2006年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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四角形ABCDはひし形で、

AE=CFとなっている点E、Fはそれぞれ辺AD、CDの上にあり、

AFとBEによって、このひし形はア~エの4つの部分に分けられています。

三角形アの面積は四角形ウの面積より155c㎡小さく、

三角形イの面積は四角形エの面積より

31c㎡小さいことがわかっているとき、

三角形アの面積は何c㎡ですか。

2_3

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参考イメージ図と解法例

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2018年7月27日 (金)

3重に重なった部分の面積は?(第9回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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1辺が10cmの正三角形の紙があります。

この正三角形の3つの角をそれぞれ向かい合う辺に平行に、

それぞれの1辺が整数(単位はcm)の正三角形になるように

折り曲げたところ、面積がもとの正三角形の半分で、

すべての角が120度の六角形になりました。

このとき、紙が3重になっている部分の面積の和は

もとの正三角形の面積の何倍ですか。


0

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図解と解法例はこちらで!

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2018年7月19日 (木)

直角二等辺三角形の面積は?(2006年算数オリンピック、ファイナルより)

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下の図において、点Eは正方形ABCDの辺CD上の点です。

また、三角形BEFは角BEF=90°の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。

AG=5cm、GD=15cmのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積は何c㎡ですか。

1

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1gifyajirusi

図解と解法例はこちらで!

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2018年5月23日 (水)

星Cが沈んだ時刻は?(2005年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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午後6時30分,

北の空に北極星Nと直角二等辺三角形の形になる星A,B,Cが

図のように見えました

(Nの左にB,Bの上にC,Cの左にAで,NB=BC=CA)。

何時間か後に星Aと星Bが同時に地平線に沈みました。

そのあと星Cが沈みました。

星Cが沈んだ時刻を求めなさい。

ただし,星A,B,Cは

北極星の周りを24時間かけて反時計回りに1周します。

また地平線は水平な直線とします。 

1

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Gifd

図解と答えはこちらから!

Sasu

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2018年4月27日 (金)

面積2.5の三角形を作る!(第8回算数オリンピック、トライアル問題より)

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図のように1辺が1cmの正方形が6つあります。

頂点の数は全部で12個です。

この12個の頂点の中の3つを結んで

面積が2.5c㎡の三角形を1つ作ってください。

1_2

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1gifyajirusi

図解と解答例はこちらに!

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