ショートプラネタリウムのコンテンツは「不思議な休憩室」に移行しました。
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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。
これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、
大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は
すべて赤色でその他はすべて白色でした。
赤色の小さな立方体の数が49個のとき、
白色の小さな立方体の数はいくつありますか。
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こたえ
赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。
大きな立方体が、
１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、
対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個
したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、
各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、
12－ 3 ＝9で、９個になります。
１辺が４個でできている場合（図２）には、
対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、
この場合は中央で共有する小立方体はないので、
１６個がそのまま合計になります。
つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、
対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、
１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、
また１辺が偶数個の場合は、
１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。
したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、
各対角線上の個数の合計より3個少ないので、
１つの対角線上にある個数は、
（49＋３）÷４＝13個
立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、
小立方体の総数は、
13×13×13＝2197個
白立方体＝2197ー49＝2148個。
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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。
これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、
大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は
すべて赤色でその他はすべて白色でした。
赤色の小さな立方体の数が49個のとき、
白色の小さな立方体の数はいくつありますか。
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解法例
赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。
大きな立方体が、
１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、
対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個
したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、
各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、
12－ 3 ＝9で、９個になります。
１辺が４個でできている場合（図２）には、
対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、
この場合は中央で共有する小立方体はないので、
１６個がそのまま合計になります。
つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、
対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、
１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、
また１辺が偶数個の場合は、
１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。
したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、
各対角線上の個数の合計より3個少ないので、
１つの対角線上にある個数は、
（49＋３）÷４＝13個
立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、
小立方体の総数は、
13×13×13＝2197個
白立方体＝2197ー49＝2148個。
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図は、方眼紙に書かれた、ある立体の展開図です。
方眼紙の一ますは、たて、横ともに1ｃ㎡です。
この立体をいくつか組み合わせると、直方体が作れます。
そのうちでもっとも体積の小さい直方体の、３辺の長さを答えなさい。
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解法例
この展開図を組み立てると下図のような立体になります。
この立体を、下の図のように180゜回転させて組み合わせ、
さらにこれを２つ組み合わせると、
２ｃｍ×２ｃｍ×５ｃｍの直方体になります。
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図のような三角すいが水平な床の上にあり、
その内部に１点Ｐがあります。
この三角すい、および点Ｐについて次のことがわかっています。
●面ＡＢＣを床につけると、
頂点Ｄは床から１０ｃｍ、点Ｐは床から３ｃｍのところにあります。
●面ＡＣＤを床につけると、
頂点Ｂは床から８ｃｍ、点Ｐは床から１ｃｍのところにあります。
●面ＡＢＤを床につけると、
頂点Ｃは床から１２ｃｍ、点Ｐは床から５ｃｍのところにあります。
それでは、下図のように面ＢＣＤを床につけたとき、
床から点Ｐまでの長さは、床から点Ａまでの長さの何倍になりますか。
(ただし､床から点までの長さとは､
点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します｡)
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こたえ
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下の図でスタートからゴールまでサイコロを転がしていきます。
スタートの位置では１の目を上にして、
そのあとは一度も１の目が上にならないようにゴールする転がし方を
点線に沿って書き入れてください。
ただし、同じところを２度通ったり、遠回りしをしてはいけません。
(１マスはサイコロ１つ分の大きさです）
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Ａ～Ｆのうち、組み立てても正八面体にならない展開図はどれでしょうか？
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下の図のように、一辺の長さが４ｃｍの立方体があります。
直線ＢＧと直線ＤＥの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。
立方体の内部に点Ｐがあり、点Ｐが動ける範囲は、
いちばん近い頂点への距離よりも、
立方体の中心への距離の方が近い部分と、両方への距離が同じ部分です。
このとき、点Ｐが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。
ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。
（1）点Ｐが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。
（2）点Ｐが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。
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図のようなピラミッドの模型があります。
底面は１辺２０ｃｍの正方形で、ピラミッドの高さは１５ｃｍです。
底面の辺BCの延長上、BF＝４０ｃｍの点Fの真上に光源Pがあります。
ピラミッドの影をなくすにはPの高さｈを何ｃｍ以上にすればよいですか。
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４つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、
四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。
正四面体ＡＢＣＤの各頂点から対面に下ろした垂線４本は、
１点で交わることがわかっています。
この点をＨとし、Ａから対面に下ろした垂線の足をＥとすると、
ＡＨ＝ＥＨ×３となりました。
いま、一辺が１ｃｍの正四面体ＡＢＣＤの外側に、
辺が１ｃｍの４つの正四面体ＰＢＣＤ、ＱＡＣＤ、ＲＡＢＤ、ＳＡＢＣ、
を配置するとき，
４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを結んでできる立体ＰＱＲＳもまた正四面体となります。
正四面体ＰＱＲＳの一辺の長さを求めなさい。
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