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ショートプラネタリウム

2017年12月 5日 (火)

見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

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1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に

下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、

次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、

外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は

何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

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図解と解法例はこちらに!

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2017年11月27日 (月)

この立体、想像できますか?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図は、方眼紙に書かれた、ある立体の展開図です。

方眼紙の一ますは、たて、横ともに1c㎡です。

この立体をいくつか組み合わせると、直方体が作れます。

そのうちでもっとも体積の小さい直方体の、3辺の長さを答えなさい。

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組み立てた立体と解答例

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2017年11月20日 (月)

正四面体PQRSの一辺の長さは?(2012年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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4つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、

四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。

正四面体ABCDの各頂点から対面に下ろした垂線4本は、

1点で交わることがわかっています。

この点をHとし、Aから対面に下ろした垂線の足をEとすると、

AH=EH×3となりました。

いま、一辺が1cmの正四面体ABCDの外側に、

辺が1cmの4つの正四面体PBCD、QACD、RABD、SABC、

を配置するとき,

4点P、Q、R、Sを結んでできる立体PQRSもまた

正四面体となります。

正四面体PQRSの一辺の長さを求めなさい。

3

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考え方と解法例

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2017年10月31日 (火)

床から点Pまでの長さは?(第9回算数オリンピック ファイナル問題より)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

 

●面ABCを床につけると、

頂点Dは床から10cm、点Pは床から3cmのところにあります。

 

●面ACDを床につけると、

頂点Bは床から8cm、点Pは床から1cmのところにあります。

 

●面ABDを床につけると、

頂点Cは床から12cm、点Pは床から5cmのところにあります。

 

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

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2017年10月27日 (金)

白い布の面積は?(第11回算数オリンピック トライアル問題)

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半径50cm、高さ1mの円形のテーブルに

正方形の白い布をかぶせたら、

白い布の4つの角が、ちょうどぴったり床につきました。

正方形の白い布の面積は何㎡ですか。

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2017年10月14日 (土)

点Pが動ける範囲の立体は?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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下の図のように、一辺の長さが4cmの立方体があります。

直線BGと直線DEの交わる点を、立方体の中心と呼ぶことにします。

立方体の内部に点Pがあり、点Pが動ける範囲は、

いちばん近い頂点への距離よりも、

立方体の中心への距離の方が近い部分と、

両方への距離が同じ部分です。

このとき、点Pが動ける範囲はいくつかの平面で囲まれた立体になります。

ただし平面の形は同じであるとはかぎりません。

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(1)点Pが動ける範囲の立体は、いくつの平面で囲まれていますか。

(2)点Pが動ける範囲の立体の体積を求めなさい。

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2017年9月16日 (土)

超ムズイ、この空間イメージ!(2012年算数オリンピック、ファイナル問題より)

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4つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、

四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。

正四面体ABCDの各頂点から対面に下ろした垂線4本は、

1点で交わることがわかっています。

この点をHとし、Aから対面に下ろした垂線の足をEとすると、

AH=EH×3となりました。

いま、一辺が1cmの正四面体ABCDの外側に、

辺が1cmの4つの正四面体

PBCD、QACD、RABD、SABC、を配置するとき,

4点P、Q、R、Sを結んでできる立体PQRSもまた正四面体となります。

正四面体PQRSの一辺の長さを求めなさい。

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2017年9月10日 (日)

1の目が上にならない転がし方は?(1999年ジュニア算数オリンピック、ファイナルより)

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下の図でスタートからゴールまでサイコロを転がしていきます。

スタートの位置では1の目を上にして、

そのあとは一度も1の目が上にならないようにゴールする転がし方を

点線に沿って書き入れてください。

ただし、同じところを2度通ったり、遠回りしをしてはいけません。

(1マスはサイコロ1つ分の大きさです)

Sai

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解答例はこちらに!

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2017年8月26日 (土)

黒い立方体は何個?(2007年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

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1辺が1cmの黒い立方体の面どうしをつなげて立体を作りました。

この立体は前後左右上下のどの方角から見ても

1辺が3cmの黒い正方形に見えます。

この立体には、もっとも少ない場合で

何個の1辺が1cmの黒い立方体が使われていますか。?

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2017年7月15日 (土)

どちらが大きくなるか?(第3回算数オリンピック、予選問題 改題)

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点線のところで折りたたんでいくと

正三角形になる平行四辺形の紙ABCDがあります。

今、太郎君はAとB、CとDをくっつけて円柱アを作りました。

次郎君はAとD、BとCをくっつけて円柱イを作りました。

アの体積はイの体積の何倍になるでしょうか?

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考え方と解法例

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