算数オリンピック問題に挑戦！

不思議な休憩室

直角二等辺三角形BEFの面積は？（２００６年算数オリンピック、ファイナル問題より）

SAKURA — 2019-04-18T08:48:52+09:00

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下の図において、点Ｅは正方形ABCDの辺CDの上にある点です。

また、三角形BEFは角BEF＝90度の直角二等辺三角形で、

辺BFと辺ADが交わっている点をGとします。　

ＡＧ＝５ｃｍ、ＧＤ＝１５ｃｍのとき、

直角二等辺三角形BEFの面積を求めなさい。

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こたえ

下図のように、

直角二等辺三角形BEFと合同な直角二等辺三角形FHBを書き、

正方形FHBEを作ります。

さらに、この正方形FHBEを

直角三角形EBCと、それと合同な三角形３個の計４個で囲んで、

正方形JKCIを作り、ＢＡの延長が辺JIと交わる点をＬとします。

ここで、JF＝LI＝BC＝20 cm。

いま、LF＝①とすると、JI＝JF＋LI－LF＝40 cm－①

次に、三角形ＡＢＧと三角形LBFは相似なので、

LF：LB＝AG：AB＝５：２０＝１：４

これにより、LB＝JK＝④

JI＝JKより、40cm－①＝④　

⑤＝40cm　→　①＝8cm。

JK＝KC＝IC＝JI＝40cm－8cm＝32 cm、

HK＝BC＝IE＝JF＝20 cmなので、

KB＝EC＝FI＝JH＝32cm－20cm＝12 cm

以上から、

直角三角形ＢＥＦ

＝正方形ＦＨＢＥ÷２

＝(正方形JKCI一直角三角形EBC×4)÷2

＝(32×32－20×12÷2×4)÷2

＝(1024 － 480)÷2＝272ｃ㎡

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小さいほうの円の半径は何ｃｍ？（２００４年算数オリンピック、ファイナル問題より）

SAKURA — 2019-03-24T11:47:28+09:00

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図のように同じ中心を持ち、

半径の差が２ｃｍの２つの円の内側にそれぞれ接する２つの正十二角形があります。

色のついた部分の面積が２００４ｃ㎡のとき、

小さいほうの円の半径は何ｃｍですか？

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解法例

正十二角形の面積は、

１２個の頂角３０゜の二等辺三角形の和として求められます。

その一つを、図のように平行四辺形と二等辺三角形に分けます。

小さい円の半径を②ｃｍとすると、

黄色い平行四辺形の面積は２ｃｍ×①ｃｍ＝②ｃ㎡

緑の三角形の面積は、２ｃｍ×１ｃｍ÷２＝１ｃ㎡

色部分の合計は（②＋１）ｃ㎡

（②＋１）×１２＝２００４ｃ㎡　なので、

②＝１６６ｃｍ　になります。

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白い立方体の数はいくつ？（第８回算数オリンピック、トライアル問題より）

SAKURA — 2019-03-05T09:45:33+09:00

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白色と赤色の同じ大きさの小さな立方体がたくさんあります。

これらの小さな立方体をいくつか使って大きな立方体を作ると、

大きな立方体の対角線（図のＡＧ、ＢＨ、ＣＥ、ＤＦの直線）上の小さな立方体は

すべて赤色でその他はすべて白色でした。

赤色の小さな立方体の数が49個のとき、

白色の小さな立方体の数はいくつありますか。

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こたえ

赤立方体が、対角線上にどのようこ並ぶかを考えます。

大きな立方体が、

１辺が３個の小立方体でできていれば（図１）、

対角線上に並ぶ小立方体は、１つの対角線で３個

したがって、合計は３個×４（対角線の数）＝12個から、

各対角線が共有する中央の１個を３個分引き、

12－ 3 ＝9で、９個になります。

１辺が４個でできている場合（図２）には、

対角線上に４個並び、合計は4×4＝16（個）、

この場合は中央で共有する小立方体はないので、

１６個がそのまま合計になります。

つまり、大きな立方体の１辺が、奇数個の小立方体なら、

対角線上に並ぶ小さな立方体の個数は、

１辺の個数（奇数）×４－３で奇数に、

また１辺が偶数個の場合は、

１辺の個数（偶数）×４で偶数になります。

したがって、赤立方体が奇数の49個あるということは、

各対角線上の個数の合計より3個少ないので、

１つの対角線上にある個数は、

（49＋３）÷４＝13個

立方体の対角線上にある個数＝立方体の１辺にある個数なので、

小立方体の総数は、

13×13×13＝2197個

白立方体＝2197ー49＝2148個。

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この筆算を完成させて！（２００４年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より）

SAKURA — 2019-02-23T10:04:00+09:00

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下の８個の□に１～８の数字を１個ずつ入れて、

筆算を２通り完成させてください。

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８つの□に入る数字を図1のようにＡ～Ｈとします。

まず、積が４けたでおさまるため、Ａ＝１です。

また、０は使えないので、Ｈ＝５、Ｄは奇数の３か７とわかります。

■Ｄ＝３のとき

一の位の計算３×５より、十の位には１がくり上がりますが、

Ｃが偶数の場合、そのくり上がりの１がそのままＧに入り、

Ａ＝Ｇ＝１となってしまうので、Ｃ＝７としなくてはならず、

ここで４個の奇数をすべてを使い果たしたことになります。

するとG＝６となり図２のようになります。

さらに十の位の計算7×5から百の位には３がくり上がりますが、

ここでまたＢが偶数の場合Ｄ＝Ｆ＝３となってしまうため、

Ｂを奇数にしたいのですが、

奇数をすべて使い果たしてしまっているのでできません。

このためＤ＝３では計算を完成できません,。

■Ｄ＝７のとき

一の位の計算７×５から十の位には３がくり上がります。

ここでＣ＝３とすると，3×5＝15より，Ｇ＝３＋5＝8となります。

ところが奇数をすべて使ったためにＢには偶数が入ることになり，

図3のように，百の位にくり上がった１がそのままＦになるため，

Ａ＝Ｆ＝１となってしまい，条件に合いません。

このためＣには偶数が入ることがわかり，

その結果，図４のように十の位にくり上がった３がそのままＧになり，

残りのB，C，E，Fにはすべて偶数が入ることになります。

ここで注意すべきことは，Ｅは５以上の６か８で，

Ｂ＝４では，百の位の計算からのくり上がりが２でＥ＝７になり不適当、

つまり，ＢとＥの組み合わせは，

（Ｂ，Ｅ）＝（２，６），（６，８）しがないことがわかります。

●（Ｂ，Ｅ）＝（２，６）のとき

（Ｃ，Ｆ）＝（４，８），（８，４）のうち，

（８，４）の場合に図5のように筆算が成立します。

●（Ｂ，Ｅ）＝（６，８）のとき

（Ｃ，Ｆ）＝（２，４），（４，２）のうち，

（４，２）の場合に図6のように筆算が成立します。

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