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オに当てはまる数は?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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2121 の 2124 ~ 2125 に 、

2、3、4、5、6、7、8、9から1つ ずつ当てはめて式を完成させました。

ただし、同じ数を2回以上使うことはできません。

また、 2122 と 2123 は仮分数でもよく、

これ以上約分できない分数です。

このとき、2125_2 に当 てはまる数は何ですか?

6082

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解法例

6085

オ=2×3=6 か オ=2×4=8 なので、

約分すると当てはまる数を調べると、

3/4×2/9=1/6 より、

オ=6

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682

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立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)

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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。

2101

 

(1)点H、I、K を通る平面

(2)点B、D、E を通る平面

(3)点F、I、J を通る平面

(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る

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解法例

(1)

2102

図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、

立方体の1辺を1とすると、

(1+1/2)×1×1/2=3/4倍

(2)

2103

図のようにAを含む立体は三角すいになるので、

1×1×1/2×1/3=1/6倍

(3)

2104

 図のようにAを含む立体は、

立方体からCを含む立体を引いて求めます。

△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、

Cを含む立体

=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3

=1/3-1/24

=7/24

Aを含む立体=1-7/24=17/24倍

(4)

2105

△ABDを底面とする三角柱を

台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と

△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。

Aを含む立体は、

①+(②-三角すいHKPD)なので、

(1+1/2)×1/2×1/2×1+

(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)

=3/8+(1/8-1/24)

=3/8+2/24

=9/24+2/24

=11/24倍

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682

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ご石は全部で何個?(今年 2019年 駒場東邦中学)

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黒と白のご石がたくさんあります。

まず、黒いご石6個で正六角形の形を作り、

次に、その外側に白いご石で正六角形の形を作ります。

下の図のように、この操作を黒白交互に繰り返していき、

いちばん外側の正六角形の1辺が黒いご石10個となるまで続 けました。

このとき、使用したご石の合計の個数を求めなさい。

Bandicam_20190207_082130909

103

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解法例

一番内側のご石は、

1×6=6個

2番目は、

2×6=12個

・・・・・

一番外側の1辺が10個の正六角形は、

9×6=54個

したがって、全部のご石の数は、

(1+2+3+・・・・・+9)×6

=45×6

=270個

104

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682

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サッカーまたは卓球に出場する人数は?(今年 2019年 女子学院中学)

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クラス対抗の球技会が行われます。

バスケットボール、ドッジボール、サッカー、卓球の4つの競技で、

1人1つまたは2つの競技に出場します。

あるクラスの生徒の出場は次の通りです。

(ア)サッカーと卓球の両方に出場する生徒はいません。

(イ)2つに出場する生徒は、9人です。

(ウ)バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒の人数は、

  バスケットボールに出場する人数の1/5、

     ドッジボールに出場する 人数の1/4です。

(エ)バスケットボールに出場しない生徒は、20人です。

(オ)バスケットボール、サッカー、卓球のうち、2つに出場する生徒は、

  ドッジボールのみに出場する生徒より3人少ないです。

 

(1)バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒は 何人ですか?

(2)サッカーまたは卓球に出場する生徒は何人ですか?

(3)このクラスの人数は何 人ですか?

Basketball_girls_2

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解法例

図で表すと下の図のようになります。

S=サッカー、T=卓球、D=ドッジボール、B=バスケットボール

「あ」~「お」はそれぞれ2つの競技に出場した人数です。

2041_2

(イ)より、あ+い+う+え+お=9人

(ア)と(オ)より、

バスケットボール、サッカー、卓球のうち、2つに出場する生徒は、

「え」か「お」なので、

ドッジボールのみに出場する生徒をdとすると

え+お+3=ドッジボールのみに出場する生徒=d

D=あ+い+う+え+お+3

バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒=「あ」なので、

あ=1 とすると、

(ウ)より、D-1=3

い+う+え+お+3=3

い+う+え+お=0、あ+い+う+え+お=9

あ=9 となり矛盾するので不適当、

あ=2 とすると、

(ウ)より、D-2=6

い+う+え+お+3=6

い+う+え+お=3、あ+い+う+え+お=9

あ=6 となり矛盾するので不適当、

あ=3 とすると、

(ウ)より、D-3=9

い+う+え+お+3=9

い+う+え+お=6、あ+い+う+え+お=9

あ=3 となり矛盾なく成立します。

あ=4 とすると、

(ウ)より、D-4=12

い+う+え+お+3=12

い+う+え+お=9、あ+い+う+え+お=9

あ=0 となり矛盾するので不適当、

あ>4 でも矛盾し、不適当。

したがって、(1)あ=3人

すると、(ウ)より、B=3×5=15人となり、

(3)クラスの人数は、20+15=35人

(2)はS(赤)+T(青)なので、

SとTの白い部分の合計は、

20-(12-3)=11人

これに、い+う+え+お=6人をプラスすると

11+6=17人

958

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682

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ぬき取った立方体はいくつ?(今年 2019年 高槻中学)

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図1のように小さな立方体を縦、横と もに9個ずつ9段積み上げて、

大きな 立方体を作りました。

図1

1311

(1)この立方体から図2の緑色部分の位置にある小さな立方体を

正面 から反対の面までつらぬいてぬき取りました。

ぬき取った小さな立 方体は合計何個ですか。

ただし、 この大きな立方体は小さな立方体をぬき取ってもくずれないものと します。

図2

1312

 

(2)(1)から、さらに、側面からも図3の黄色部分の位置にある小さな 立方体を

同じようにぬき取りまし た。

2つの方向からぬき取った小 さな立方体は合計何個ですか。

図3

1313

(3)(2)から、さらに、真上の面から も

図4の赤色部分の位置にある小 さな立方体を同じようにぬき取り ました。

3つの方向からぬき取っ た小さな立方体は合計何個ですか。

図4

1314

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解法例

(1)

正面の方向から9枚を輪切りにしてみると、

9枚すべて、図のように25個の立方体がくりぬかれています。

1312_2

したがって、抜き取られた立方体は全部で、

25×9=225個

(2)同じように側面から9枚を輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1313_2

2枚目と8枚目は図のように、18個

1315

3枚めと7枚目は、図のように8個

1316

4枚目と6枚目は、図のように2個

1317

5枚目は、図のように新たにくり抜かれる立方体はありません。

1318

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+18×2+8×2+2×2=106個

全部で、225+106=331個

(3)同様に真上から輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1314_2

2枚目と8枚目は、図のように12個

1319

3枚目から7枚目までは新たにくり抜かれる立方体はありません。

13110

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+12×2=74個

全部で、331+74=405個

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682

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