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親子で考えた「ままこだて」パズル(開成中学 2009年 )

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「ちょっとトランプゲームやってみようか?」

「算数じゃなくて?」

T13

「1から13までのカードを裏にして重ねる。

一番上のカードをめくると1が出る。

その1のカードを取り除いたら、一番上になっているカードを一番下におくる。

そして一番上のカードをめくると2が出る。

こんな風に一枚めくっては一枚下におくり、1から13まで順番に全部出していくようにトランプ13枚を並べられるかな?」

「意味がわかんない」

「こんな風に!」(クリックしてアニメーションをみる)

「このゲームと似た問題が、2009年に開成中学で出題されてるよ」

1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

「ほんとに似てるね」

「問題は(1)~(5)まであるんだけど、まず例題を考えてみようね」

n=13のとき、最後に残るカードは?

「トランプの枚数と同じだ」

Zu1

「取り除いていくからだんだん少なくなって、4周目では10が残る」

「トランプの方がわかりやすいな・・・」

「じゃあ、トランプで見てみて」(クリックしてアニメーションをみる)

「最後が10番目だから、1から13まで順番に出すときは10番目に13が来るわけか」

「そう、それでは問題!」

1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、n=13のときは図1のようにカードが取り除かれ、最後に10の書かれたカードが残ります。

Zu1

(×印は取り除いたカードを表します)

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)n=8のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(2)n=16のとき、1周目にカードを取り除いた時点で、図2のように8枚のカードが残り、次に2の書かれたカードから取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=16のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、n=32 とn=64のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

(3)n=35のとき、1周目に1,3,5の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードが32枚で、次には7の書かれたカードを取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、n=35のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(4)n=100のとき、1周目に36枚のカードを取り除いた時点で残るカードは64枚です。もし必要ならばこのことを用いて、n=100のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(5)n=2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

親子で考えた解法例

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形?」(ネット環境でのFlashアニメーション)

スマホ向け解法集→「中学受験ー算数解き方ポータル」

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