親子で考えた「ままこだて」パズル（開成中学 2009年 ）

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「ちょっとトランプゲームやってみようか？」

「算数じゃなくて？」

「１から１３までのカードを裏にして重ねる。

一番上のカードをめくると１が出る。

その１のカードを取り除いたら、一番上になっているカードを一番下におくる。

そして一番上のカードをめくると２が出る。

こんな風に一枚めくっては一枚下におくり、１から１３まで順番に全部出していくようにトランプ１３枚を並べられるかな？」

「意味がわかんない」

「こんな風に！」（クリックしてアニメーションをみる）

「このゲームと似た問題が、２００９年に開成中学で出題されてるよ」

１，２，３、・・・ ｎ の数が１つずつ書かれた ｎ 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、１の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。

「ほんとに似てるね」

「問題は（１）～（５）まであるんだけど、まず例題を考えてみようね」

ｎ＝１３のとき、最後に残るカードは？

「トランプの枚数と同じだ」

「取り除いていくからだんだん少なくなって、４周目では１０が残る」

「トランプの方がわかりやすいな・・・」

「じゃあ、トランプで見てみて」（クリックしてアニメーションをみる）

「最後が１０番目だから、１から１３まで順番に出すときは１０番目に１３が来るわけか」

「そう、それでは問題！」

１，２，３、・・・ ｎ の数が１つずつ書かれた ｎ 枚のカードを時計回りに数の小さい順に円形に並べます。次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・ まず、１の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、ｎ＝１３のときは図１のようにカードが取り除かれ、最後に１０の書かれたカードが残ります。

（×印は取り除いたカードを表します）

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（２）ｎ＝１６のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、図２のように８枚のカードが残り、次に２の書かれたカードから取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１６のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。また、ｎ＝３２ とｎ＝６４のとき、最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

（３）ｎ＝３５のとき、１周目に１，３，５の書かれたカードを取り除いた時点で、残るカードが３２枚で、次には７の書かれたカードを取り除くことになります。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝３５のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（４）ｎ＝１００のとき、１周目に３６枚のカードを取り除いた時点で残るカードは６４枚です。もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１００のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（５）ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

親子で考えた解法例

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

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