最後のカードはいくつ？（武蔵中学 ２０１１年）

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[ １ ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ １76 ] の１７６枚のカードが、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。１回目は[ １ ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。２回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。

（１）偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

（２）１００回目に取り除かれるカードに書かれている数はいくつですか。

（３）最後の一枚のカードに書かれている数はいくつですか。

規則性と解法例

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ロボット対戦ゲームの勝敗は？（灘中学 ２００７年）

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Ｐ地点を出発し，Ｑ地点に積まれたボールをＰ地点まで運ぶことをくり返し，Ｐ地点まで運んだボールの個数を競うゲームに，ロボットＡ，Ｂが参加しました。

Ａは１度に３個ずつ運び，往復するのに15秒かかります。Ｂは１度に５個ずつ運び，往復するのに25秒かかります。

ゲーム開始後Ｂはすぐ動き出しましたが，Ａは動き出すまでに10秒かかりました。開始から420秒間のうち，Ａかリードしている時間は何秒間で，Ｂがリードしている時間は何秒間でしょうか？

考え方と解法例

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同じ虫に食べられた□はいくつ？（本郷中学 ２００９年）

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次の式の５つの□には、すべて同じ整数があてはまります。

その整数はいくつですか。

□×□×｛（□－１）×（□＋１）－□｝＝２００９

考え方と解法例

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色が塗られた部分の面積は？（浦和明の星女子中学 ２０１３年）

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図１は底面が半径３ｃｍの円で，高さが12cmの円柱です。（ア）と（イ）を結んでできる直線は底面に垂直です。また，図２はABの長さが12cm，角Ｂが直角である三角形の形をした紙です。

いま，この紙をＡ，Ｂがそれぞれ円柱の（ア），（イ）の部分に重なるようにして巻きつけたところ，３周して，Ｃがちょうど（イ）のところにきました。紙を巻きつけた状態で円柱全体に色をぬり，その後，この紙を円柱からはずしました。

このとき，三角形の形をした紙の，色がついた部分の面積は何ｃ㎡でしょうか？（ただし円周率は3。14とします。）

イメージ図と解法例

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切り口の形と立体の大きさは？（桐蔭学園中学 1975年）

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図の立方体でBは辺の中点です。

対角線ACと点Bを通る平面でこの立方体を切ります。切り口をかき入れてください。

この平面で分けられた立体のうち点Fの側の立体の体積は立方体の体積の何分のいくつですか。

切り口の作図方と解法例

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最後の数はいくつだったのか？？？

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１から順番に、１２３４５・・・・・と整数を並べて書いていったら、全部で９９９個の数字が並びました。さて、いくつまで書いたのでしょうか？

１２３４５６７８・・・・・

数え方と答え

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立方体４つでできる立体は？（岡山操山中学 2007年）

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４つの立方体を面と面がぴったり合うように置いて、いろいろな形を作ろうと思います。下の図の例のほかにできる形をできるだけ描いてください。ただし、うら返したり回したりして同じ形になるものは１つとします。見えない辺の線は描かなくてもよいです。

イメージ図と解答例

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その奇数、どうやって見つけますか？（浦和明の星女子中学 ２００９年）

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2けたのある奇数と，その奇数より1大きい2けたの偶数との積は100で割り切れます。その奇数はいくつでしょうか？

考え方と解法例

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複雑そうな問題ですが・・・（帝京大学中学 2011年）

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3つの部屋に分かれた虫かごにある虫を入れて観察しました。この虫は2秒ごとにとなりの部屋に移動します。3つの部屋に10匹ずつの虫を同時に入れるとはじめの2秒間は最初に入れた部屋にいて，その後移動しました。
虫を入れて55秒後Aの部屋に7匹の虫がいました。このときBとCの部屋には，それぞれ何匹の虫がいましたか。

考え方と解法例

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工夫して解く虫食い算の難問（灘中学 ２０１３年）

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今年（２０１３年）の灘中学１日目の第１問の計算問題が話題になりました。

大学生でも１５～３０分くらいかかったとか？？？

↓こんな問題なのですが・・・

計算の工夫と答え

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同じ本数で４等分にできますか？

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図のようなマッチ２０本で囲まれた図形を、マッチ１０本で同じ形に５等分すると下図の点線のようになります。

では、マッチ１０本で同じ形に４等分できるでしょうか？

解答例

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いくつに分けられますか？（慶應義塾中等部 2011年）

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１枚の画用紙があります。この画用紙に直線を１本引くと下の図Ａ のように、【　ア　】、【　イ　】の２つの部分に分けることができます。直線を２本引くと、図Ｂ の場合は３つの部分にしか分けることができませんが、図Ｃ の場合は４つの部分に分けることができます。

　

（１）直線を４本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

（２）直線を１０本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、何個の部分にわけることができますか。

規則性と答え

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３つの面の和の最大数は？（灘中学 ２００６年）

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下の２つの図は、各面に１から６までの数が書かれた立方体の展開図です。それぞれの立方体の１つの頂点に集まる３ つの面に書かれた数の和を考えるとき、この和のうち最大のものは、図①では15ですが、図②ではいくつになりますか？

図解と答え

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計算しやすい形にするには？（東洋英和女学院中学部 ２００８年）

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下の図は直角二等辺三角形と円の一部からできています。影になった部分の面積合計は何ｃ㎡ですか。円周率は３．１４とします。

等積移動イメージと解法例

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１円玉はいくつ置けるかな？

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１円玉の直径は２ｃｍですが、いま内側のたてが６ｃｍ、横が１０ｃｍの枠の中に、次の条件で１円玉を入れていくことにしました。

①はじめの１円玉はどこに置いてもよい。

②次からは直前に置いた１円玉より必ず正確に２ｃｍ（１円玉の直径分）離して置かなければいけない。

例えば、最初を左上の隅に置けば、図のように10個置いたところで終わりになります。

さて、これ以上置けるでしょうか？

解答例

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最大になる月日はいつ？

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暦の月日のそれぞれの数字を加えたものが最小となる日は、もちろん１月１日ですが、では暦の月日のそれぞれの数字を加えたものが最大となる日は、何月何日でしょうか。

こたえはコチラ

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面積の大きい順番は？（共立女子中学 ２００９年）

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下の図形はすべて周囲が９ｃｍです。

面積の大きい順番を答えてください。

法則と答え

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１８５０年代の閉路パズル

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図のような正十二面体の辺の上を進んで、２０個の頂点を一度ずつ通り、再び出発点に帰ってくるコースを描いてください。

解答図例

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ご石は何個？棒は何本？（清風南海中学 2009年）

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同じ大きさのご石と同じ長さの棒がたくさんあります。

これらを下の図のように規則的にならべていきます。

　　

（１）図７では、ご石が何個使われていますか。

（２）図７では、棒は何本使われていますか。

（３）棒を８４０本使ったとき、何番目の図になりますか。

（４）使った棒とご石の数の差が２４００のときは、何番目の図ですか。

規則性と解法例

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火星人？金星人？（四天王寺中学 2012年）

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下の（ア）、（イ）に登場するＡ，Ｂ，Ｃ は火星人か金星人のどちらかです。火星人の男性は常に本当のことを言い、女性は常にうそをつきます。金星人の女性は常に本当のことを言い、男性は常にうそをつきます。このとき、次の文の□にあてはまる語句を答えなさい。

（ア）Ａ に「あなたは金星人ですか」とたずねたところ、「いいえ」と答え、「あなたは女性ですか」とたずねたところ、「はい」と答えました。

Ａ は【□星人】で、性別は【□性】です。

（イ）Ｂ は「Ｃは金星人です」と言い、Ｃ は「Ｂは火星人です」と言いました。また、Ｂは「Ｃは男性です」と言い、Ｃ は「Ｂは女性です」と言いました。

Ｂ は【□星人】で、性別は【□性】です。

Ｃ は【□星人】で、性別は【□性】です。

論理と解法

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渡り終えるまでの最短時間は？（第１２回算数オリンピック、トライアル問題より）

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真っ暗な夜。川のこちら岸にA、B、C、Dの４人がいます。向こう岸に行くには小さな橋を渡らなければいけません。橋は小さくて同時に２人までしか渡れません。また、橋を渡るときには懐中電灯が必要ですが、懐中電灯はたった１つしかありません。つまり２人で向こう岸に渡り、１人は懐中電灯を持ってもどり、また２人で向こう岸に行く、ということをくり返さないと４人全員が渡ることはできません。

①Ａはこの橋を１人で渡ると１分かかります。

②Ｂはこの橋を１人で渡ると１分30秒かかります。

③Ｃはこの橋を１人で渡ると２分かかります。

④Ｄはこの橋を１人で渡ると２分30秒かかります。

⑤２人で渡る時は、２人のうちの遅い人の速さで渡ります。という条件のとき、４人全員が向こう岸に渡り終えるまでに最短で何分かかりますか。

驚くべき解答

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歌手は何曲歌ったか？（灘中学 ２００５年）

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ある歌手が，公演を３回行いました。各公演とも10曲ずつ歌ったのですが，どの公演でも他の２回の公演では歌わなかった曲を５曲ずつ歌ったといいます｡同じ曲は２回以上歌っても１曲と数えると，この歌手が３回の公演で歌った曲の数は，最も多くて何曲でしょうか？

考え方と解法例

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掛け算の魔方陣（海城中学 ２０１３年）

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下の表の９つのらんには３から１１までの整数が１つずつ入ります。また矢印の先の数は，たて，横の３つの数をかけた数です。
①，②にあてはまる数を求めなさい。

推理と解法例

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どの図形ならしきつめられますか？（千葉県立千葉中学 2013年）

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上の図１に示す①～⑦の図形があります。これらの図形を下の図２、図３ の長方形と正方形のワクの中に入れることを考えます。なお、図１、図２のます目は同じ大きさの正方形です。

　　　

（１）図１の７つの図形を図２、図３のそれぞれのワクの中に重ねずにすき間なくしきつめます。ただし、図２、図３のどちらにも ① の図形がすでに置かれています。②～⑦の図形のしきつめ方と図形の番号を書き入れてください。なお、⑥の図形を裏返しには使えません。

（２）図１の①③④⑥⑦ の図形の中から１つ選び、その図形だけを何枚か使って、図２ と図３ のワクの中に重ねずにすき間なくしきつめることを考えます。図２、図３にすでにかかれている①の図形は取り除いて考えます。図１の①③④⑥⑦の図形のうち、図２のワクの中にしきつめることはできるが、図３のワクの中にしきつめることはできない図形はどれでしょうか。また、その図形を図３のワクの中にしきつめることができない理由を答えてください。

解答例と理由

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１３個の円の部分面積は？（筑波大学附属中学 ２０１１年）

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半径１ｃｍの円が図のように重なっています。色部分の面積は何ｃ㎡でしょうか？

図解と答え

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この長方形のたて横比は（灘中学 ２０１３年）

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図１の四角形 ABCDは長方形です｡この長方形の内部は，図のようにいくつかの正方形だけですき間なく敷きつめることができます｡ABとADの長さの比を最も簡単な整数の比で表してください。

参考イメージ図と答え

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カード当てパズル（浦和明の星女子中学 ２００５年）

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表に１から10までの数が書かれたカードが１枚ずつあります，奇数が書かれたカードの裏は白に，偶数が書かれたカードの裏は黒に塗られています。これらのカードの中から７枚のカードを取り出し，裏返しにして下図のように並べました。上の段のカードは，左側から数の小さい順に並んでいて，左から３番目のカードの数は７です。下の段のカードには，そのカードの上にある２枚の隣り合ったカードの数の差が書かれています。すべてのカードに書かれている数を答えてください。

推理と答え

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立方体はいくつ？（関西学院中学部 2010年）

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まったく同じ立方体をいくつか積みました。正面、左、右、上 から見ると、下の図のように見えました。積まれている立方体の数はいくつでしょうか？

　　

見取り図と解法例

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