パズル算数クイズ

行き方は何通り？（今年　２０１８年　栄光学園中学）

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下の図のような、６つの正方形からなるマス目があります。

この正方形の辺を通って、点Ａから点Ｂへ行きます。

点Ａから点Ｂへ最短距離で行くときは５つの辺を通ることになりますが、

以下の問では最短距離では行かず、

７つや９つの辺を通る行き方を考えます。

ただし、同じ辺や頂点は２回以上通ってはいけないこととします。

（１）点Ａを右向きに出発します。

　　下の例のように行くと、点Ａから点Ｂまで７つの辺を通ることになります。

　　この行き方以外に、点Ａを右向きに出発して７つの辺を通って

　　点Ｂへ行く行き方は何通りありますか。

例

60814

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（１）

４通り

（２）点Ａを下向きに出発して、

　　７つの辺を通って点Ｂへ行く行き方をすべてかいてください。

Bandicam_20180211_101803912

解法例は下の方にあります！

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（２）

８通り

（３）点Ａから点Ｂまで９つの辺を通る行き方は何通りありますか。

　　解法例は下の方にあります！

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（３）

１１通り

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ア、イ、ウとＡ、Ｂにあてはまるものは？（学習院中等科　２０１６年）

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４つの数２、３、５、７から異なる２つの数を取り出して

２桁の数を６種類作りました。

これらを下のスタートから始めて、

条件に合うものは左下へ、合わないものは右下へ振り分けていったところ、

下の図のようになりました。

ただし、最初の条件Ａで左右に数が３つずつ振り分けられたとします。

10234

（１）　アに当てはまる数を答えなさい。

（２）　条件Ａ、Ｂに当てはまる最も適切な条件を次の①～⑤から選び、

　　　　記号で答えなさい。

　　①奇数である

　　②５０以下の数である

　　③約数の個数は奇数である

　　④各位の数の和が奇数である

　　⑤１種類の数を何回かかけ合わせてできる数である

（３）　イ、ウに当てはまる数を答えなさい。

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解法のヒント

可能性のある２桁の数は、

２３，２５，２７，３５，３７，５７，

３２，５２，７２，５３，７３，７５

赤はすでに出ているので、残りは３つ

素数は、２３、３７、５３、７３

３２の約数の個数は、

１、２、４、８、１６、３２　の６つなので、

ウ＝３２としてみます。

１の位が７で、３の倍数でないものは、

３７より、

ア＝３７

イ＝２７か５７

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解法例

Ａで３つずつに分かれた

Ａで右に来た数は、２３、３７、７５

Ａで左に来た数は、２５、３２、□

２５と３２に共通する性質は、

２５＝５×５

３２＝２×２×２×２×２

条件Ａ＝⑤

２７＝３×３×３　なので、

イ＝２７

Ａで左に来た数は、２５、３２、２７

２５の約数は、１、５、２５の３つ

２７の約数は、１、３、９、２７の４つ

３２の約数は、１、２、４、８、１６、３２の６つ

したがって、条件Ｂ＝③

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列は全部で何通り？（今年　２０１８年　麻布中学）

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２つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考えます。

(条件)　○が３つ以上連続して並ぶことはない。

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）〇、×を合わせて１４個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列を１つ書きなさい。

（２）〇、×を合わせて１３個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

（３）〇、×を合わせて１２個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

解法例は下にスクロールしてご覧ください！

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（１）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

（２）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇

右から２番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇

右から３番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇

一番左の×を左にずらすと、

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

以上の５通り

（３）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

（２）と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇〇・・・・・③

〇〇×〇〇×〇×〇×〇〇・・・・・④

〇〇×〇〇××〇〇×〇〇・・・・・⑤

〇〇×〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑥

〇〇××〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑦

〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑧

×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇・・・・・⑩

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑪

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑬

〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑭

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇〇になっている

③～⑦の中６つの形でないのが、〇×〇〇×〇の対象形、

〇〇×〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑮

この１５通りです。

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２つの立体の表面積の差は？（今年　２０１８年　昭和学院秀英中学）

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図のように、一辺の長さが２ｃｍの立方体ABCD-EFGH があります。

辺AB、BＣの真ん中の点をそれぞれP、Qとします。

４点 E、G、P、Qを通る平面で

立方体ABCD-EFGH を２つの立体に分割しました。

分割された２つの立体の表面積の差は何㎠ですか？

解法のヒントと解法例はスクロールした下の方にあります。

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解法のヒント

切り口はこんな形に・・・

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解法例

底面は同じなので考えません。

大きい立体

２×２＋２×２＋（４－１×１÷２）＋２×１÷２×２＝１３．５㎠

小さい立体

１×１÷２＋（２＋１）×２÷２×２＝６．５㎠

表面積の差＝１３．５－６．５＝７㎠

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点Pのとり方は何通り？（今年　２０１８年　フェリス女学院中学）

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立方体ＡＢＣＤＥＦＧＨがあります。

この立方体の辺の上や頂点に点Ｐをとります。

三角形ＡＢＰが二等辺三角形になるような、

点Pのとり方は何通りありますか。

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解法例

図のように７通りです。

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角ウは何度？（今年　２０１８年　灘中学　１日目）

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光が鏡で反射するときには、

図１のように角アと角イの大きさが等しくなります。

図２は、３枚の鏡ＡＢ、ＢＣ、ＣＡで何回も反射しながら

同じ経路を繰り返し進む光の様子を表しています。

このとき、角ウの大きさは何度ですか？

図１

図２

Paper

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解法のヒント

ウ＋３７＝A

１８０－（３７＋ウ＋３７）＝C

C＝１０６－ウ

C＝３７＋E

１０６－ウ＝３７＋E

E＝６９－ウ

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解法例

同様に、

ウ＋３９＝B

１８０－（３９＋ウ＋３９）＝D

D＝１０２－ウ

D＝３９＋F

１０２－ウ＝３９＋F

F＝６３－ウ

１８０＝１０４＋（６９－ウ）＋（６３－ウ）

１８０＝２３６－２×ウ

２×ウ＝５６

ウ＝２８°

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すれ違う回数は何回？（今年　２０１８年　大妻嵐山中学）

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Ａ市とＢ市を結ぶ鉄道があります。

この２市間は鉄道で３時間４５分かかります。

どちらの駅からも、午前６時ちょうどから１時間ごとに列車が出発しています。

Ａ市を午前１０時ちょうどに出発した列車が、

Ｂ市に着くまでに列車とすれ違う回数は何回ですか。

解法のヒントと解法例はスクロールで！

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解法のヒント

図のようにダイヤグラムで考えてみます。

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解法例

図のように、

Ｂ市６時発の電車はＡ市９時４５分着なので、

すれ違いません。

また、Ａ市１０時発の電車はＢ市１３時４５分着なので、

１４時発の電車とはすれ違いません。

その間の、７、８、９、１０、１１、１２、１３時発の電車とすれ違うので、

全部で７回です。

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色のついた図形の面積は？（今年　２０１８年　栄東中学東大クラス選抜　改題）

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが７２ｃｍのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか？

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解法のヒント

正十二角形の１つの内角は１５０°

六角形、AHIJKLの内角の和は７２０°なので、

∠PAL＝（７２０－１５０×４）÷２＝６０°より、

∠PAB＝９０°

したがって、△ABXは正三角形、

四角形ABQPは正方形になります。

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解法例

六角形QRSTUは正六角形なので、

内部の水色の正三角形６個を緑部分に移動すると、

求める面積は、正方形６個分になります。

正十二角形の１辺の長さは、

７２÷２４＝３ｃｍなので、

求める面積は、３×３×６＝５４㎠

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不思議な箱（豊島岡女子学園中学　2006年）

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ＡＢＣＤという４ケタの数を入れたら

ＤＣＡＢという４ケタの数が出てくる箱があります。

たとえば、１２３４を箱に入れると４３１２が出てきます。

この数を再び（２回目）箱に入れると、２１４３が出てきます。

４ケタの数９５３６を箱に２００６回入れたとき、

最後に出てくる４ケタの数はいくつですか？

ＡＢＣＤ→ →ＤＣＡＢ

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考え方と解法例はこちらに！

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切断される立方体の個数は？（今年、２０１８年　浦和明の星女子中学）

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１辺の長さが１ｃｍである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図１のような３辺の長さがそれぞれ２ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍの直方体を作り、

　　３つの頂点Ａ、Ｂ、Ｃ　を通る平面で切断します。

　　このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図１

（イ）図２のような３辺の長さがそれぞれ４ｃｍ、４ｃｍ、６ｃｍの直方体を作り、

　　３つの頂点Ｄ、Ｅ、Ｆを通る平面で切断します。

　　このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図２

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図解と解法例はこちらに！

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