色のついた図形の面積は？（今年 ２０１８年 栄東中学東大クラス選抜 改題）

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが７２ｃｍのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか？

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解法のヒント
 

正十二角形の１つの内角は１５０°

六角形、AHIJKLの内角の和は７２０°なので、

∠PAL＝（７２０－１５０×４）÷２＝６０°より、

∠PAB＝９０°

したがって、△ABXは正三角形、

四角形ABQPは正方形になります。

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解法例

六角形QRSTUは正六角形なので、

内部の水色の正三角形６個を緑部分に移動すると、

求める面積は、正方形６個分になります。

正十二角形の１辺の長さは、

７２÷２４＝３ｃｍなので、

求める面積は、３×３×６＝５４㎠

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