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いくつに分けられますか?(慶應義塾中等部 2011年)

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1枚の画用紙があります。

この画用紙に直線を1本引くと下の図A のように、

【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることができます。

直線を2本引くと、

図B の場合は3つの部分にしか分けることができませんが、

図C の場合は4つの部分に分けることができます。

このとき、次の問に答なさい。

 Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

     何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

     何個の部分にわけることができますか。

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解法例

(1)図C の2本の直線、両方と交わるように線を引くと、

下の図6のように、7個の部分に分けることができます。

 

        Pic_2741a

 

図6のように、2か所の点で交わることで、3個の新しい部分ができます。

1か所でしか交わらないと、増えるのは2個だけです。

より多くの部分に分けるには、より多くの点で交わる必要があります。

直線を4本引いて、最も多くの部分に分けるには、

図6の3本すべてと交わる線を引けばよく、

下の図7のようになり、

 

        Pic_2742a

 

11個の部分に分けられます。  

(2)

図A → 図C では、交点が1個で、2個の部分が増えます。

図C → 図6 では、交点が2個で、3個の部分が増えます。

図6 → 図7 では、交点が3個で、4個の部分が増えます。

このような規則があるので、直線を10本にすると、

2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個

の部分に分けることができるとわかります。

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682

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