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どんな図形になるでしょうか?(巣鴨中学 2009年)

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Mondai

正八面体ABCDEFがあり、BD=6cmです。

AFを軸として三角形ABCを回転させたときに

できる立体の体積を求めなさい。

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親子で考えた解法例

「半径3cmの円錐だろ?」

「そんな簡単な問題じゃないの」

平面図形の回転問題(回転体)は、頭の中でイメージを作るのが大変です。

「こんな風にイメージしたんじゃないの?」

 

Katimen2_2 

「そうそう」

「真上から見ると・・・」

Kaisetu

「△ABCはまん中の白い部分は通らない。

それにOBとOMは長さが違うので、

OMを半径とした円すいがもう一つできる。こんなイメージね」

Katimen3

「わかるわけないよ、こんな形・・・

「外側の円すいから内側の円すいを引いたのが答え」

Katimen4

「内側の底面の半径は?」

「この前やったでしょうに。

OBを対角線と考えればOB×OB÷2がOM×OMになるわけ」

「OMxOM=3x3÷2=4.5、

底面積=3x3x3.14-4.5x3.14=4.5×3.14

体積=4.5x3.14x3÷3=14.13立方センチか。

わかれば計算はそんなに難しくない」

「わかるかどうかが問題なの!」

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682

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1/3の量を量るには?

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水の出る蛇口と、

図のような直方体の形をした容器と空のバケツがあります。

バケツにこの容器の1/3の量の水を入れたいのですが、

どうしたらいいでしょうか?


2 1

Hse2074s

103

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解法例

まず、図のように直方体の容器を傾けて水を入れます。

 

20_4

 

この量は直方体の容器の1/2です。

 

次にこの水をバケツに移し、

 

図のように容器を、

 

水面が頂点を通る三角形になるまでバケツの水を入れると、

 

この容器の6分の1の水が入ります。

 

20_5

 

バケツに残った水は、

 

1/2-1/6=1/3 になります。

104

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682

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支払い方は何通り? (今年 2018年 サレジオ学院中学)

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Aさんは、あるお店で買い物をしたら、

3800円の代金を支払うことになりました。

Aさんは、1000円札を3枚、

500円玉を2枚、

100円玉を6枚、

50円玉を2枚、

10円玉を10枚持っています。

このとき、おつりの出ない支払い方は全部で何通りですか?

Ilm16_aa04033s

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①1000×2+500×2+100×6+50×2+10×10

②1000×3+100×6+50×2+10×10

③1000×3+500×1+100×3

④1000×3+500×1+100×2+50×2

⑤1000×3+500×1+100×2+50×1+10×5

⑥1000×3+500×1+100×2+10×10

⑦1000×3+500×1+100×1+50×2+10×10

以上7通り

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682

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B君だけで仕事をしたのは何分間?(今年 2018年 早稲田実業学校中等部)

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A君だけでは1時間、B君だけでは1時間24分かかる仕事があります。

最初の10分間はA君 とB君の2人で仕事をして、

次にA君だけで仕事をして、最後にB君だけで仕事をしたところ、

全部で1時間4分かかりました。

B君だけで仕事をしたのは何分間ですか。

Ilm03_ab03002s

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かかった時間の比は、

A:B=60:84=5:7 なので、

1分間の仕事量は逆比で、A:B=7:5

全体の仕事量を、

7×60=5×84=420とすると、

最初の10分間で、

(7+5)×10=120 の仕事をしたので、

残りの仕事量は、420-120=300

64-10=54分でAとBが交代で仕事をしたので、

面積図で表すと、

Bだけでの仕事をした時間は□分

8061

□=78÷2=39(分)

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1ユーロは何円でしたか?(2013年 雙葉中学)

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海外旅行に行きました。

13万円の所持金を、できるだけドルに換えて、

残りは円のまま持っていました。

最初に250ドルを使いました。

次に1000ドルをユ-ロに換えると、ちょうど768ユーロでした。

540ユーロを使い、使わなかったドルもユ-ロも円に換えると、

残りの所持金は全部で47284円でした。

1ユーロは何円でしたか。

お金を交換するときの比率は、旅行中は変わりません。

また、交換の手数料は考えません。

割り切れないときは小数第1位を四捨五入しましょう。

Ilm07_aa09011s

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解法例

線分図にして整理してみると、

 

1

 

減ったお金は、

 

使った250ドルと540ユーロだけであることがわかります。

 

1ドルは、768÷1000=0.768ユーロ

 

250ドルは、250×0.768=192ユーロ

 

使ったお金の合計は、192+540=732ユーロ

 

これが、130000-47284=82716円の相当します。

 

したがって、1ユーロは 82716÷732=113円 です。

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682

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2999回転がした ときの和は?(埼玉栄中学 2016年)

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下の図1において、サイコロの3つの見える面の数の和は6となっています。

このサイコロ を図2のように右側に転がすと、

3つの見える面の数の和は7になります。

ただし、サイコロの向かい合う面の数の和は7となっています。

Bandicam_20160422_070957916


下のように、サイコロを図1の状態から手前に2回転がし、

続けて右に2回転がし、また手前に2回転がし、という作業をくり返します。

図1の状態から2999回転がした とき、3つの見える面の数の和はいくつですか?

Bandicam_20160422_071027530_2

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2回転がすと・・・

4222
和は14

4回転がすと・・・

4224


和は10

6回転がすと・・・

4226

和は12

8回転がすと・・・

4228

元に戻って、和は6

3000は8の倍数なので、

2999は8回の一つ前で、7回だから・・・

4227

和は11





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いくつに分けられますか?(慶應義塾中等部 2011年)

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1枚の画用紙があります。

この画用紙に直線を1本引くと下の図A のように、

【 ア 】、【 イ 】の2つの部分に分けることができます。

直線を2本引くと、

図B の場合は3つの部分にしか分けることができませんが、

図C の場合は4つの部分に分けることができます。

このとき、次の問に答なさい。

 Pic_2740q

(1)直線を4本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

     何個の部分にわけることができますか。

(2)直線を10本引いて、画用紙を最も多くの部分に分けると、

     何個の部分にわけることができますか。

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解法例

(1)図C の2本の直線、両方と交わるように線を引くと、

下の図6のように、7個の部分に分けることができます。

 

        Pic_2741a

 

図6のように、2か所の点で交わることで、3個の新しい部分ができます。

1か所でしか交わらないと、増えるのは2個だけです。

より多くの部分に分けるには、より多くの点で交わる必要があります。

直線を4本引いて、最も多くの部分に分けるには、

図6の3本すべてと交わる線を引けばよく、

下の図7のようになり、

 

        Pic_2742a

 

11個の部分に分けられます。  

(2)

図A → 図C では、交点が1個で、2個の部分が増えます。

図C → 図6 では、交点が2個で、3個の部分が増えます。

図6 → 図7 では、交点が3個で、4個の部分が増えます。

このような規則があるので、直線を10本にすると、

2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個

の部分に分けることができるとわかります。

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ほんとに計算しちゃいますか?(広島学院中学 2011年)

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数字の「8」を20個ならべて、20ケタの整数を作ります。

これを37で割ったときの余りを求めなさい。

88888888888888888888

103

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解法例 

Bandicam_20181215_081509475

Bandicam_20181215_081523071_2

Bandicam_20181215_081532660

Bandicam_20181215_081555807

Bandicam_20181215_081605738

102
 

 

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682

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切り口の形は?(今年 2018年 芝浦工業大学附属中学)

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下の図の立方体において、

3点A、B、Cを通る平面で 切断したとき、

切り口の図形は何角形ですか。

Bandicam_20181213_084309590

103_2

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解法例

Bandicam_20181213_084501207

五角形

102_2

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682

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サルは何個木の実をウサギにあげたか?(香蘭女学校中等科 2011年 改題)

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サルとリスとウサギが木の実を取りに行きました。

サルが取った木の実は一番多く、3匹全部合わせた分の3/7でした。

リスはウサギの2倍の木の実を取ったので、ウサギに9個の木の実をあげました。

しかたなく、サルもウサギに木の実をあげたので、3匹の木の実が同じになりました。

サルは何個の木の実をウサギにあげたのでしょうか?

Ilm21_ae01012s

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解法例

Chestnuts151927_640_2

リス:ウサギ=2:1 なので、

リスは全体の 4/7×2/3=8/21

ウサギは全体の 4/7×1/3=4/21

サルが全体の3/7=9/21 なので、

3匹を同じにするには、7/21 ずつになるようにすればいいので、

リスは1/21をウサギにあげ、これが9個にあたるので、

サルがウサギにあげたのは2/21で、

リスの2倍ですから18個になります。

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どんな法則がかくれているかな?(海城中学 2014年)

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1_2 

Pce022s

計算してください。

解法例はスクロールした下の方にあります!

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カッコ内を通分すると、分母は1024、

 

分子は、512+256+128+64+32+16+8+4+2+1

 

この数列の足し算は、たとえば、

 

1+2=3 が(次の項-1)→(4-1)

 

1+2+4=7 が(次の項-1)→(8-1)

 

というような規則性があります。

 

したがって、512の次の項1024から1をひいて

 

1023が分子の合計なので、

 

1-1023/1024=1/1024

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682

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魔方陣の難問! (東大寺学園中学 2006年)

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4つの円ア、イ、ウ、エが下の図のように交わり、10個の部分に分かれています。

この10個の部分に0~9までの10個の数字を同じ数は使わないように、

しかも各円内の数字の和が同じ値(Aとする)になるようにわりあてます。

たとえば図1では、

円(ア)の和は、9+0+3+4+7=23

円(イ)の和は、0+3+4+7+2+6+1=23

円(ウ)の和は、3+4+2+6+8=23

円(エ)の和は、4+7+6+1+5=23

となり、A=23  です。

(1)下の図2の□にあてはまる数はいくつですか?

(2)

①Aの値のうち、最も小さい数はいくつですか?

②下の図3において、Aの値が最も小さくなるように□に数字をあてはめてください。

(3)下の図4の□に数をあてはめてください。

105

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解法例はこちら!

6085

 (1)図2は、下の図5のように円イの中の数がすべてわかるので

 

 

円イの中の数の和=3+1+4+5+2+7+0=22となり、

 

円ア、ウ、エにある数との差を求めることで、

 

□に入る数がわかりますが、ここで、円の重なった部分に注目すると、

 

下の図6のように

 

 

円アと円イでは、黄色い部分が共通なので、

 

残りの  X と 2+7+0 が等しいことがわかります。

 

すなわち、X=9  です。

 

同様に、Y=3+5+0=8、Z=3+1+2=6  と求められます。 

 

(2)①4つの円の関係を考えると、円イの7個の数の和=Aです。

 

10個の数の和は、0+1+2+・・・+9=45  なので、下の図7のように、

 

円イ以外の数をX,Y,Zとすると、

 

 

A+(X+Y+Z)=45  となります。

 

ここで、Aの値が最も小さくなるようにするには、

 

X+Y+Z=9+8+7  として大きい方から順に数を除けば

 

Aの値が最も小さくなることがわかります。

 

このとき、Aの値は、45-(9+8+7)=21  です。

 

『Aの値が21より小さくなることもあるのでは?!』

 

と考える人がいるかもしれません。

 

では、Aが21より小さくなったらどうなるか考えましょう。 

 

下の図8のように、円イを大きい黄色い円で表し、Aの値を書くと、

 

 

A=21のときは、成り立っています。

 

A=20にすると、Aが1減っているので、外側の数を増やしてあげないといけませんが、

 

図のように同じ数を使うことになり、問題の条件に合わなくなります。 

 

よって、Aの値のうち、最も小さい数は21ということです。  

 

(2)②  図3で、Aの値が最も小さくなるのは、円ウに「8」が書かれているので、

 

①の場合、すなわちA=21にすることができます。

 

下の図9のX,Yには、「9」か「7」が入ります。

 

 

P,Q,R,Sには、残る「2」、「3」、「5」、「6」のどれかが入ります。

 

次にまずわかるのは、下の図10のように円イとウを比べると、

 

 

8=4+Q+1  となるので、Q=3  とわかります。 

 

次に、円イとエを比べてみると、下の図11のように、

 

 

Y=4+P+0  ということがわかります。

 

ここで、Yは「9」か「7」でした。

 

 Y=9 のとき、P=5 です。

 

 Y=7  のとき、P=3 です。しかし3はすでにQの場所にあるので

 

Y=9、P=5  ということになります。したがって、X=7です。

 

最後に円アとイを比べてみると、下の図12のように

 

 

7=0+S+1  なので、S=6  とわかります。最後に残ったR=2で、

 

それぞれの円の数の和A=21になり、下の図13のようになります。

 


 

(3)まず、すでに書かれている数「5」、「4」が含まれる円アとイについて比べてみると、

 

下の図14のように、

 

 

5=4+S+U  ということから、SとUは「0」と「1」のどちらかということがわかります。 

 

次に、S,Uが含まれる円イとエについて比べてみると、下の図15のように、

 

 

Y=P+T+4  となることがわかります。

 

0,1,4,5が現れているので、残っている数は、

 

2,3,6,7,8,9 の6個で、 Y=P+T+4  を満たすのは、

 

P,T に小さい方から2,3をいれたときにY=9  となる場合です。

 

よって、Y=9で、P,Tには2か3が入ることがわかります。 

 

X,R,Qには、残った6,7,8のどれかが入ることになります。

 

次に、Xについて図8のように考えると、下の図16のように、

 

 

Xの値とAの値の関係ができます。それぞれ調べると、

 

X=6のとき、下の図17のように

 

 

円ウの数の和は、最も大きいときでも、6+4+3+8+1=22となり、

 

A=25にはならないので、Xは「6」ではありません。 

 

次に、X=7のとき、下の図18のように 

 

 

円ウの数の和は、最も大きいときで、7+4+3+8+1=23なので、

 

A=24にならないので、X=7でもありません。 

 

よって、X=8のとき、下の図19のようになり、

 

 

円ウの数の和が、8+4+3+7+1のとき、A=23となり、

 

4つの円の数、それぞれの和が23となります。

 

ゆえに、すべての数は下の図20のようになります。

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682

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水の深さは何cmになる?(灘中学 2016年)

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図のように、深さ15cmの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。

この水槽の中には、同じ形をした高さ15cmの四角柱が5本入っていて、

この水槽に深さが9cmになるまで水を入れても、

四角柱の底面は水槽の底面に接していまし た。

この状態から四角柱を2本取り除くと、水の深さは7cmになりました。

さらに残りの四角柱を3本取り除くと、水の深さは何cmになりますか?

Bandicam_20160124_100719683

103

解法例はスクロールした下の方にあります!

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解法例

109

水の量は変わらないので、水の高さが9cm→7cmになると、

 

底面積は逆比の⑦→⑨になります。

 

1245

 

四角柱の底面積は(⑨-⑦)÷2=① とわかるので、

 

残り3本取り除くと、③増えて⑫になります。

 

1247

 

□=7×9÷12=63/12=21/4cm

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条件に合う並び方は何通り?(今年 2018年 公文国際学園中等部)

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A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。

次の3つのルールすべてに合う並び方は何通りありますか。

・「AはDより左側に並ぶ」

・「CはDの左隣に並ぶ」

・「AとBは隣には並ばない」

Maehe_narae

105

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解法例

CDをセットにして考えます。

CDの左側にAがくる並び方は、

AEB

BEA の2通りと、

AE

EA の2通りと、

A CD BE

A CD EB の2通りで、

全部で6通りです。

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