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ぬき取った立方体はいくつ?(今年 2019年 高槻中学)

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図1のように小さな立方体を縦、横と もに9個ずつ9段積み上げて、

大きな 立方体を作りました。

図1

1311

(1)この立方体から図2の緑色部分の位置にある小さな立方体を

正面 から反対の面までつらぬいてぬき取りました。

ぬき取った小さな立 方体は合計何個ですか。

ただし、 この大きな立方体は小さな立方体をぬき取ってもくずれないものと します。

図2

1312

 

(2)(1)から、さらに、側面からも図3の黄色部分の位置にある小さな 立方体を

同じようにぬき取りまし た。

2つの方向からぬき取った小 さな立方体は合計何個ですか。

図3

1313

(3)(2)から、さらに、真上の面から も

図4の赤色部分の位置にある小 さな立方体を同じようにぬき取り ました。

3つの方向からぬき取っ た小さな立方体は合計何個ですか。

図4

1314

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解法例

(1)

正面の方向から9枚を輪切りにしてみると、

9枚すべて、図のように25個の立方体がくりぬかれています。

1312_2

したがって、抜き取られた立方体は全部で、

25×9=225個

(2)同じように側面から9枚を輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1313_2

2枚目と8枚目は図のように、18個

1315

3枚めと7枚目は、図のように8個

1316

4枚目と6枚目は、図のように2個

1317

5枚目は、図のように新たにくり抜かれる立方体はありません。

1318

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+18×2+8×2+2×2=106個

全部で、225+106=331個

(3)同様に真上から輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1314_2

2枚目と8枚目は、図のように12個

1319

3枚目から7枚目までは新たにくり抜かれる立方体はありません。

13110

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+12×2=74個

全部で、331+74=405個

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682

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箱A、Bはそれぞれ何箱?(今年 2019年 四天王寺中学)

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36個の商品を箱Aには3個ずつ、

箱Bには4個ずつ、箱Cには5個ずつ入れます。

3種類の箱A、B、Cをそれぞれ少なくとも1箱は作る ものとし、

商品は余らないものとします。

(1)箱Cをなるべくたくさん作るとき、

              箱A、Bはそれぞれ何箱になりますか。

(2)箱Aの数が箱Cの数の3倍になるとき、

              箱A、Bはそれぞれ何箱になりますか。

Ilm04_ab15004s_2 588_2

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解法例

6085_3

(1)

AとBが1箱のとき、

36-3×1+4×1=29個 なので、

Bにあと4個入れると5の倍数の25個になります。

したがって、A1箱、B2箱

(2)

A=3、C=1のとき、

36-(3×3+5×1)=22個となり4の倍数にならず不適当、

A=6、C=2のとき、

36-(3×6+5×2)=8個となり4の倍数になります。

A=9、C=3のとき、

3×9+5×3=42個となり36個を上回るので不適当、

したがって、A6箱、B2箱

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色部分の面積は?(今年 2019年 甲陽学院中学)

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下の図の円は、点Oを中心とする半径 10cmの円です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。

1261

31

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解法例

図のように線をひくと、同じ図形が4つできます。

1262

求める面積は、

(10×10×3.14-10×10)÷4

=100×(3.14-1)÷4

=25×2.14

=53.5㎠

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682

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色が塗られている立体は何個?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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表面が青色で塗られている正四面体を、

底面に平行な2枚の平面で高さを3等分するように切り、

残りの3つの面についても同様に切ります。

このとき、もとの正四面体はいくつかの正四面体と

いく つかの正八面体に分かれます。

(1)2つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

(2)また、3つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

ただし、正四面体とは、下の図1のような、

どの面も合同な 正三角形でできている三角すいです。

図1

Bandicam_20190124_072933192

また、正八面体とは、下の図2のような、

どの面も合同な正三角形でできている、8つ の面をもつ立体です。

図2

Bandicam_20190124_072636686

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解法例

各辺に平行に1回だけ切ると、

図のように、真ん中に正八面体ができ、

各頂点に正四面体が残ります。

このとき、正八面体は4面、

正四面体は3面に色が塗られています。

Bandicam_20190124_072540615_2

2回切ったのが下の図で、

Bandicam_20190123_105418531

正八面体が4つでき、みな3面が表面に出ています。

各頂点の正四角すいも表面に出ているのは3面、

したがって、3つの面に色が塗られている立体は8個。

各辺にある正四角すいは2面が表面に出ているので、

2つの面に色が塗られた立体は6個です。

ちなみに、中央にある正四角すい1個は

4面とも表面に出ていないので、色は塗られていません。

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682

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三角形CAPの面積は? (今年 2019年 灘中学)

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下の図で、三角形ABCは正三角形で、

面積は1㎠です。

PBの長さがPAの長さの2倍のとき、

三角形CAPの面積は何㎠ですか?

1221

958

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解法例

図のようにAPの長さを1辺とする小さな正三角形で

△ABCを囲んでみます。

1222

△黄は小さな正三角形2個分

△赤は小さな正三角形4個分

△緑はCをDに平行移動してみると、

小さな正三角形1個分

△ABCは、2+4+1=7個分でできています。

したがって、△緑=△CAP=1/7㎠

975

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682

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塗り方は何通り?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図の正六角柱の8つの面を、

8色の絵の具のうちの何色かを使って塗ることを考えます。

隣り合う面は異なる色を使い、

また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。

このと き、

(1)8色すべてを使って塗る方法は 通りありますか?,

(2)8色から異なる3色を選んで塗る方法は 通りありますか?

Bandicam_20190120_085349658

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解法例

106

(1)塗り方は全部で

8×7×6×5×4×3×2×1 通りなのですが、

側面は、

ABCDEF も

BCDEFA も

CDEFAB も

DEFABC も

EFABCD も

FABCDE も回転すれば同じになり、

上面と下面は、

AとBもBとAもひっくり返せば同じなので、

8×7×6×5×4×3×2×1÷6÷2=3360通り

(2)上面と下面が違う色では塗ることができないので、

上面と下面は同じ色で8通りに塗ることができます。

側面の1面が7通り、隣の面が6通りですが、

ABABAB も BABABA も同じになるので、

8×7×6÷2=168通り



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こんなパズル、あんなパズル(分野別中学受験算数パズル)

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Photo

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長方形Dの周りの長さは?(今年 2019年 浦和明の星女子中学)

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下の図は、正方形を4つの長方形A,B,C,Dに分けた もので、

長方形Aの面積が3㎠、 Bの面積が9㎠、 Cの 面積が6㎠です。

長方形Dの周り(太線部分)の長さは何cmですか。

115431

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----------------------------------------------------

各辺の長さを下の図のように、a、b、c、dとすると、

1155

a×d=3㎠

b×d=9㎠

a×c=6㎠

b×d×a×c=54

a×d=3 より、

b×c=54÷3=18=Dの面積

正方形の面積=3+9+6+18=36㎠

a+b=c+d=6cm

ad:ac=3:6=d:c=1:2

ad:bd=3:9=a:b=1:3

b=6×3/4=4.5cm

c=6×2/3=4cm

求める長さ=4.5×2+4×2=17cm

51

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682

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ア~カにあてはまるものは?(浦和明の星女子中学 2014年)

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次の文章を読んで、【 ア 】から【 カ 】を適切にうめなさい。

A,B,C,D,E の5人がクリスマスプレゼントをそれぞれ1個ずつ用意し、

Aさんの家に集まってクリスマスパーティをしました。

Aさんは手袋、Bさんはマフラー、Cさんはクッキー、

Dさんはイチゴ、E さんはチョコレートをプレゼントとして持ってきました。

プレゼントはそれぞれ同じ箱に入れ、

だれが何をもらえるか分からないようにしてプレゼント交換をしました。

交換後に5人は他の人に見えないようにして箱を開け、

全員が、もらったプレゼントは自分の用意したものではないことを確認しました。

そして、次のように言いました。

A : 「私がもらったのは、お菓子だったよ」

B : 「私の好きな食べ物だったから満足しているわ」

C : 「私も欲しい物だった。

               今度、身に着けて遊びに行こうかな」

D : 「私がもらったのは A さんからのプレゼントじゃないよ」

E : 「私も好きな食べ物だったよ」

すると、これを聞いていた A さんのお母さんが次のように言いました。 

母 : 「C さんは【 ア 】、Dさんは【 イ 】をもらったでしょう」

C : 「その通りです」

D : 「私も、その通りです。

     では、残りの3人が何をもらったのかわかりますか?」

母 : 「自分がもらったプレゼントは知っているから、

     残りの3人の中に、自分以外の2人が何をもらったのか

     わかる人がいるかもしれないわね」

このことを聞いた後、【 ウ 】さんと A さんが同時に

     「他の2人が何をもらったか分かった」

と言いました。

お母さんはそれを聞いて、

母 : 「A は【 エ 】を、Bさんは【 オ 】を、

               E さんは【 カ 】をもらったわね」

と言いました。

A,B,E : 「その通りです」

Ilm03_aa02005s_2

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解法例

【 ア 】、【 イ 】

A、B、Eが食べ物なので、 

C、D がもらった物は食べ物ではありません。

A からの手袋 または B からのマフラー となりますが、

D はA からのプレゼントではないと言っているので、

B からのマフラー をもらい、C は手袋となります。

よって、【 ア 】 ・・・ 手袋 、 【 イ 】 ・・・ マフラー です。

 【 ウ 】、【 エ 】、【 オ 】、【 カ 】

A  持ってきたもの ・・・ 手袋  もらったもの ・・・ お菓子

B  持ってきたもの ・・・ マフラー もらったもの ・・・ 食べ物

E  持ってきたもの ・・・ チョコ  もらったもの ・・・ 食べ物

 全員、自分が持ってきたものは受け取っていないので、

A が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ

B が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ、イチゴ

E が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、イチゴ

となります。

A がクッキーを受け取っていた場合

B が受け取る可能性のあるもの ・・・ チョコ、イチゴ

E が受け取る可能性のあるもの ・・・ イチゴ

→ B は チョコ を受け取っていたことがわかります。

A がチョコを受け取っていた場合

 B が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、イチゴ

 E が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、イチゴ

 → B,E が何を受け取ったのか、分からない。

よって、A はクッキーをもらったことがわかり、

     【 エ 】 ・・・ クッキー 、【 オ 】 ・・・ チョコレート、 

     【 カ 】 ・・・ イチゴ

です。

先ほどの

  A が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ

  B が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ、イチゴ 

  E が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、イチゴ

にもどります。

Bは、チョコレートを受け取っているので、

  A が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー

  E が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、イチゴ

と考えることができ、E が受け取ったものが、イチゴであることが

わかります。

 

E は、イチゴを受け取っているので、

 A が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ

 B が受け取る可能性のあるもの ・・・ クッキー、チョコ

としか考えられないので、E にはこの時点でA,B が何をもらった

のかはわかりません。

 

よって、【 ウ 】 ・・・ B となります。

 

まとめると、 

 【 ア 】 ・・・ 手袋、【 イ 】 ・・・ マフラー、【 ウ 】 ・・・ B 

 【 エ 】 ・・・ クッキー、【 オ 】 ・・・ チョコレート、

 【 カ 】 ・・・ イチゴ

となります。

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勝敗表をうめてください!(大阪女学院中学 2011年)

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下の表1は、あるゲームの勝ち負けの表です。

一番左のたての列の人が上の横の列の人とゲームをして、

勝ったときは○、負けたときには×を書き入れます。

AはDに勝ち、CはBに負けています。

表のア、イ、ウには、○×どちらが入りますか。

また、E の人は何勝何敗ですか?

Pic_3183q

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----------------------------------------------------

解法例

A が1勝3敗で、C が3勝1敗 ということから、

下の表A のように

Pic_3184a_2

表をうめることができます。

さらに、D が2勝2敗なので、

下の表B のように表をうめることができ、

Pic_3185a

Bが3勝1敗で、1敗がDに負けたことがわかるので、

E との対戦の【 ア 】は、○が入ります。

 

E は、A に勝ち、B,C,Dには負けているので、

勝ち数が、負け数が ということになり、

ア :  、 イ :  、 ウ : × です。

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今年、2019年も出題が予想される定番パズル系問題の解法例

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下の図のように、立方体を順に積み重ねていきます。

立方体を6段に積み重ねた状態で、

底の面も含めてすべての面にペンキで色をぬります。

このとき、立方体の個数は56個ですが、

このうち、3面だけ色をぬられた立方体は全部で何個ありますか。

Pic_3420q

                 (筑波大学附属中学 2012年)

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解法例

3面だけ色をぬられる立方体は、4段の図では、

下の図1の緑の立方体1個あり、

5段積み重ねると、下の段の黄色い立方体2個が増え、

6段積み重ねると、さらに下に3個の立方体が増えます。

 

     Pic_3421a

さらに、下の図2のように、

積み重ねた図形の裏のカドの立方体は、

3面に色がぬられます。

 

         Pic_3422a

よって、6段積み重ねたとき、

3面に色がぬられている立方体の個数は、

1+2+3+1=7個 です。

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682

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今年2019年の中学入試で出題が予想される、塗り分け問題の解法例

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何色でぬり分けられる?(お茶の水女子大学附属中学 2010年)

図の線でかこまれた部分を、色分けしてぬっていきます。

同に色がとなりあわないようにぬると最低何色の色が必要ですか。

6061

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解法例

Bandicam_20190106_101012698_2

Bandicam_20190106_101027946

Bandicam_20190106_101037275

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塗り分けには何色必要か?(海陽中等教育学校 2013年改題)

図のような五角形と六角形で作られたサッカーボールがあります。

辺をはさんだ隣どうしの面が、

同じ色にならないように塗り分けるには、

最低何色必要でしょうか?

1

----------------------------------------------------

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解法例

下の図のように、

1つの正五角形のまわりには、5つの正六角形がきます。

この5つの正六角形をぬり分けるのに、

少なくとも3色必要です。

さらに、正五角形には正六角形の3色とは異なる色が必要なので、

3色でぬり分けることはできません。

最低4色必要です。

2

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塗り分け方は何通り?(六甲中学 2014年)

①~⑥の6つの部分を,赤,青,黄,緑の4色でぬり分けます。

同じ色がとなり合わないようにするとき,

何通りのぬり方がありますか。

1

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

右半分は下図のように4色が必要なので、 

2

4×3×2×1=24通りのぬり方ができます。

それに対して、左半分は、

⑥は①以外の3通りですが、

例えば②の色にすると、⑤は①か③の色で2通りのぬり方ができ、 

3

 

4

 ⑥を④にしても⑤は以下の2通り、

5

 

6

 ところが、⑥を③の色にすると、⑤は①の色しかなく1通り、 

7

 したがって、24×(2+2+1)=120通り です。

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682

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2つ組み合わせてできる立体は?(お茶の水女子大学附属中学 2018年)

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下の図は正方形1つと正三角形2つ、台形2つでできた、

ある立体の展開図です。

Bandicam_20180626_080836764

この立体を2つ組み合わせてできる立体の見取図を

次のアからエの中から一つ選び、その記号を書きなさい。

Bandicam_20180626_080912074

Bandicam_20180626_080923890

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6261

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682

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使用しないパーツはどれ?(2017年 広島なぎさ中学)

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同じ大きさの正方形で作った下の①~⑥のようなパーツを

1つずつ組み合 わせて、(図1) のような形をつくる。

今、(図2) のように⑤と⑥のパーツ をおいたとき、

使用しないパーツを①〜④の記号で答えなさい。

ただし、向きを変えたりひっくり返したりすることはできるが、

パーツを重ね合わせることはできません。

8291

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8292

図のように②を使用しません。

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