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塗り方は何通り?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図の正六角柱の8つの面を、

8色の絵の具のうちの何色かを使って塗ることを考えます。

隣り合う面は異なる色を使い、

また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。

このと き、

(1)8色すべてを使って塗る方法は 通りありますか?,

(2)8色から異なる3色を選んで塗る方法は 通りありますか?

Bandicam_20190120_085349658

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解法例

106

(1)塗り方は全部で

8×7×6×5×4×3×2×1 通りなのですが、

側面は、

ABCDEF も

BCDEFA も

CDEFAB も

DEFABC も

EFABCD も

FABCDE も回転すれば同じになり、

上面と下面は、

AとBもBとAもひっくり返せば同じなので、

8×7×6×5×4×3×2×1÷6÷2=3360通り

(2)上面と下面が違う色では塗ることができないので、

上面と下面は同じ色で8通りに塗ることができます。

側面の1面が7通り、隣の面が6通りですが、

ABABAB も BABABA も同じになるので、

8×7×6÷2=168通り



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682

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