色が塗られている立体は何個？（今年 ２０１９年 灘中学 １日目）

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表面が青色で塗られている正四面体を、

底面に平行な２枚の平面で高さを３等分するように切り、

残りの３つの面についても同様に切ります。

このとき、もとの正四面体はいくつかの正四面体と

いく つかの正八面体に分かれます。

（１）２つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか？

（２）また、３つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか？

ただし、正四面体とは、下の図1のような、

どの面も合同な 正三角形でできている三角すいです。

図１

また、正八面体とは、下の図２のような、

どの面も合同な正三角形でできている、８つ の面をもつ立体です。

図２

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解法例

各辺に平行に１回だけ切ると、

図のように、真ん中に正八面体ができ、

各頂点に正四面体が残ります。

このとき、正八面体は４面、

正四面体は３面に色が塗られています。

２回切ったのが下の図で、

正八面体が４つでき、みな３面が表面に出ています。

各頂点の正四角すいも表面に出ているのは３面、

したがって、３つの面に色が塗られている立体は８個。

各辺にある正四角すいは２面が表面に出ているので、

２つの面に色が塗られた立体は６個です。

ちなみに、中央にある正四角すい１個は

４面とも表面に出ていないので、色は塗られていません。

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