立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)
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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。
また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。
次のような平面で立方体を切ったとき、
頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。
ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。
(1)点H、I、K を通る平面
(2)点B、D、E を通る平面
(3)点F、I、J を通る平面
(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る
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解法例
(1)
図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、
立方体の1辺を1とすると、
(1+1/2)×1×1/2=3/4倍
(2)
図のようにAを含む立体は三角すいになるので、
1×1×1/2×1/3=1/6倍
(3)
図のようにAを含む立体は、
立方体からCを含む立体を引いて求めます。
△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、
Cを含む立体
=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3
=1/3-1/24
=7/24
Aを含む立体=1-7/24=17/24倍
(4)
△ABDを底面とする三角柱を
台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と
△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。
Aを含む立体は、
①+(②-三角すいHKPD)なので、
(1+1/2)×1/2×1/2×1+
(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)
=3/8+(1/8-1/24)
=3/8+2/24
=9/24+2/24
=11/24倍
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