パズル算数クイズ

白玉は何個？（今年　２０１９年　洛星中学）

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玉が２個入った箱がいくつかあります。

玉には赤か白のどちらかの色が塗られています。

赤玉と白玉が１個ずつ入った箱は、

赤玉が２個入った箱の１．２倍あります。

白玉が２個入った箱は、赤玉が少なくとも１個入った箱の１/３倍あります。

白玉と赤玉が合わせて１７６個あるとき、白玉は何個ありますか。

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解法例

赤白：赤赤＝１．２：１＝６：５

（赤白＋赤赤）：白白＝１：１/３＝３：１

（６×赤白＋５×赤赤）を１１とすると、白白は１１/３

したがって、３３：１１より、

３×（６×赤白＋５×赤赤）：１１×白白

赤は１８×赤＋１５×赤＋１５×赤＝４８×赤

白は１８×白＋１１×白＋１１×白＝４０×白

赤：白＝４８：４０＝６：５

赤＋白＝１７６個なので、

白＝１７６×５/１１＝８０個

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青の高さは何ｃｍ？（今年　２０１９年　女子学院中学）

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青、赤、白の３つの円柱の形をした積み木があります。

底面積は３つとも同じです。

赤の高さは白より５ｃｍ高く、

青の上に白をのせたものと赤の高さの差は、青の高さの３/５です。

青の高さは（ア）ｃｍまたは（イ）ｃｍです。

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解法例

２通り考えられるということですが・・・

まずこんな場合、

2201

赤と白との差５ｃｍが青の２/５に当たる場合、

青は、

５÷２/５＝１２．５ｃｍ・・・・・ア

次に考えられるのは、

こんな場合、

青＋青の３/５が赤と白の差５ｃｍに当たる場合で、

青は、

５×５/８＝２５/８＝３と１/８ｃｍ・・・・・イ

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幼稚園から学校までの道のりは？（今年　２０１９年　埼玉栄中学）

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太郎君は、登校するときに弟を幼稚園に送りとどけています。

弟といっしょに7時45分に家を出て、学校の前を通り過ぎ、

幼稚園に着くとすぐに折り返して、8時12分に学校に到着します。

家から学校までの道のりは1kmで、

弟といっしょのときは時速3km、1人のときは時速4kmの速さで歩きます。

幼稚園から学校までの道のりを求めなさい。

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解法例

家から学校までは、

１÷３＝１/３時間＝２０分　かかります。

太郎君が弟を送ってから学校に着くまで、

８時１２分－７時４５分＝２７分かかるので、

学校⇒幼稚園⇒学校　まで、２７－２０＝７分　です。

学校から幼稚園までを□ｋｍとすると、

□/３＋□/４＝７/６０

７×□/１２＝７/６０

７×□＝８４/６０

□＝１/５ｋｍ＝２００ｍ

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ＦＤの長さは？（今年　２０１９年　香蘭女学校中等科）

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一辺が１０ｃｍの正三角形の面積を

下の図のように５等分しました。

ＦＤの長さは、何ｃｍですか？

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解法例

△ＧＢＦと△ＧＦＣは高さが同じなので、

面積比が１：３より、

ＢＦ：ＣＦ＝１：３

ＦＤ＝ＣＤ　なので、

ＦＤ＝１０×３/４×１/２＝３．７５ｃｍ

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おかしは何個？おもちゃは何個？（今年　２０１９年　大阪星光学院中学）

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太郎君はお年玉を８０００円もらいました。

この８０００円で、

２４０円のおかしと５７０円のおもちゃをどちらも１個以上買って、

できるだけおつりを少なくするようにしたいと考えました。

（１）おつりがないように買うことはできないことを説明してください。

（２）最も少ないおつりはいくらですか？

　　　そのとき、おかしは何個でおもちゃは何個ですか？

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解法例

（１）

２４０も５７０も３の倍数で、

何倍しても３の倍数になり、

合わせても３の倍数になり、

８０００は３の倍数ではないので割り切れないから。

（２）

２４０と５７０の最大公約数は３０

８０００に一番近い３０の倍数は、７９８０

７９８０÷５７０＝１４　

２４０と５７０の最小公倍数は４５６０

４５６０÷５７０＝８　より、

おもちゃ８個分をおかしにすると、

４５６０÷２４０＝１９　なので、

おかしを１９個、

おもちゃを　１４－８＝６個　買って、

おつりは　８０００－７９８０＝２０円

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ＣさんとＡさんのカードは何？（今年　２０１９年　清風南海中学）

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１から９までの番号が書かれたカードが１枚ずつあります。

そのカードをＡさん、Ｂさん、Ｃさんの３人に３枚ずつ配りました。

３人に配ったカードについて、次のことが分かっています。

・Ｃさんに配られた３枚のカードの数の和は２２です。

・配られた３枚のカードの数の積は３人とも３の倍数です。

・配られた３枚のカードの数の積は３人とも４の倍数です。

・配られた３枚のカードの数の和は３人とも７の倍数ではありません。

・配られた３枚のカードの数の和がもっとも小さいのはＡさんです。

①　Ｃさんに配られたカードに書かれている３つの数字を小さい順に答えなさい。

②　Aさんに配られたカードに書かれている３つの数字を小さい順に答えなさい。

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解法例

和が２２になる場合は、

９、８、５　と９、７、６　の２通りですが、

積が３と４の倍数になるのは、９、８、５の場合だけなので、

Ｃさんのカードは、５、８、９　です。

残るカードは、１、２、３、４、６、７ですが、

Ａさんは、（１＋２＋３＋４＋６＋７）÷２＝１１．５より、

和が１１以下なので、

１，２，３

１，２，４

１，２，６

１，２，７

１，３，４

１，３，６

１，３，７

１，４，６

２，３，４

２，３，６

積が３と４の倍数になるのは、

１，２，６

１，３，４

１，４，６

２，３，４

２，３，６

それぞれの場合のＢさんのカードは、

１，２，６　⇒　３，４，７

１，３，４　⇒　２，６，７　

１，４，６　⇒　２，３，７

２，３，４　⇒　１，６，７

２，３，６　⇒　１，４，７

Ｂさんのカードで、積が３と４の倍数で、和が７の倍数でないものは、

２，６，７　の場合だけなので、

Ａさんのカードは、１，３，４

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最も大きいい分数は？（今年　２０１９年　ラ・サール中学）

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５５/１８と１２１/４８のどちらを割っても整数になるような分数のうち、

最も大きいものを求めなさい。

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解法例

分母の最小公倍数は１４４なので、

１/１４４で割ればどちらも整数になりますが・・・

５５と１２１の最大公約数は１１なので、

１１/１４４が求める分数になることがわかります。

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移動経路は何通り？（今年　２０１９年　開成中学）

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《図１》は一辺の長さが１の正方形を２個並べて、横１、縦２の長方形をつくり、

その長方形と点　Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたものです。

図の中で点Ａ　と点Ｂを結ぶすべての線が、通ることのできる道です。

《図２》は一辺の長さが１の正方形を３個並べて、横３、縦１の長方形をつくり、

その長方形と点Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたもので、

《図３》は一辺の長さが１の正方形を６個並べて、横３、縦２の長方形をつくり、

その長方形と点Ａ、Ｂを結ぶ道をつけたものです。

それぞれ　《図１》と同じく、

点Ａ、Ｂを結ぶすべての線を道として通ることができます。

次のような規則に従ってこれらの道を通り、

点Ａから点Ｂまで移動することを考えます。

規則

「一回だけ左に１進み、それ以外は右または上に進む」

ただし、進む方向を変更できるのは正方形の頂点の場所だけです。

点Ａにもどったり、点Ｂからもどったりはできません。

また、規則に従うかぎり、同じ道を２回以上通ることも可能です。

このとき、《図１》の点Ａから点Ｂまでの移動経路は１０通りあります。

では、《図２》、《図３》のそれぞれについて、

考えられる移動経路は何通りありますか。

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解法例

図２の場合

図の赤い部分を左に１回進む場合、

４通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

２通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

２通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

４通り、

全部で、４＋３＋２＋２＋３＋４＝１８通り

図３の場合

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30710

１０通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30711

６通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30712

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30713

８通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30714

９通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30715

８通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30716

３通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30717

６通り、

図の赤い部分を左に１回進む場合、

30718

１０通り、

全部で、（１０＋６＋３）×２＋（８＋９＋８）

＝３８＋２５

＝６３通り

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ＯＣの長さは？面積比は？（今年　２０１９年　洛南高等学校附属中学）

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下の図において、OC の長さは何ｃｍですか。

また、（三角形OAB の面積）：（三角形ODEの面積）を

もっとも簡単な整数の比で表すと、何対何でしょうか。

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解法例

●＝３０°なので、

ＣＢとＯＡを延長して、その交点をＦとすると、

∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ＝●＝３０°で、

△ＡＢＦは二等辺三角形になり、

ＡＢ＝ＡＦ＝４ｃｍ

ＯＦ＝８＋４＝１２ｃｍ　より、

ＯＣ＝１２÷２＝６ｃｍ

直角三角形ＯＡＢと直角三角形ＯＢＣは、

共通の底辺をＯＢとすると、

ＣＨ＝６÷２＝３ｃｍより、

面積比は、△ＯＡＢ：△ＯＢＣ＝４：３

△ＯＤＥの面積比は△ＯＡＢを１とすると、

△ＯＤＥの面積比＝１×３/４×３/４×３/４×３/４×３/４

＝２４３/１０２４

△ＯＡＢ：△ＯＤＥ＝１０２４：２４３

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太線（赤線）の長さは何ｃｍ？（今年　２０１９年　フェリス女学院中学）

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図の３つの円はどれも半径が４ｃｍで、

それぞれの中心は点Ａ、Ｂ、Ｃです。

点Ａ、Ｂを中心とする円は、どちらも点Ｃを通り、

直線ＡＢの長さは２ｃｍです。

図の太線（赤線）の長さは何ｃｍですか。

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解法例

上の図から、

弧ＰＣは弧ＡＱや弧ＢＱと等しい長さになることがわかります。

弧ＰＥは円周の１/４になるので、

赤線の曲線部分は半円の長さに等しくなります。

ＡＤ＝ＢＥ＝２ｃｍなので、

求める長さは、

４×２×３．１４÷２＋４＝１６．５６ｃｍ

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