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こんなパズル、あんなパズル

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

長さと表面積は?(今年 2019年 神戸女学院中学部)

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図1のような直方体を上下はそのままで4個はり合わせて、

図2のような立体を作ります。

図1の直方体4個分の表面積の和と図2の立体の表面積の比は

5:4となりました。

図1

1301

図2

1302

 

 

(1)「あ」の長さは何cmですか。

(2)図2の立体を2個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Pを中心に45°回転させて、図3のような立 体を作ります。

このとき、図3の立体の表面積を求めなさい。

図3

1303

 

 

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解法例

109

(1)図1の立体の表面積は、

3×6×2+3×あ×2+あ×6×2

=18×あ+36

その4個分は、

72×あ+144

図2の立体は、

3×あ×8=24×あ だけ表面積が少なくなっているので、

(72×あ+144):(48×あ+144)=5:4

4×(72×あ+144)=5×(48×あ+144)

288×あ+576=240×あ+720

48×あ=144

あ=3cm

(2)

1304

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

3×3÷2×2=.9㎠

この重なった部分は8個あるので、

9×8=72㎠

図2の立体2つ分の表面積は、

2×(48×3+144)=576㎠

図3の立体の表面積は

576-72=504㎠

 

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A とBの間の距離は何 km?(今年 2019年 聖光学園中学)

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聖さと光さんは自転車でA地点からB地点に向かいました。

聖さんは時速(あ)km、光さんは時速(い)km で

同時に A 地点を出発したところ、

出発してから2時間後に聖さんは光さんより6km 先を進んでいました。

その時点で聖さんは速さを時速(う)km に、

光さんは速さを時速(え)km に変えたところ、

2人の速さが変わってから3時間後に同時に B地点に着きました。

(あ)+(い)と(う)+(え)の値は同じで、

速さを変える前と後の聖さんの進んだ距離の比は 4:5でした。

このとき、A 地点とB地点の間の距離は何 km ですか。

Cycling40754

 

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解法例

109

3271

あ-い=6÷2=3

え-う=6÷3=2

(あ×2):(う×3)=4:5 より、

12×う=10×あ

あ:う=⑥:⑤

い=⑥-3

え=⑤+2

あ+い=う+え より、

⑥+(⑥-3)=⑤+(⑤+2)

⑫-3=⑩+2

②=5

①=2.5

⑥=15

⑤=12.5 より、

AB間の距離は、

15×2+12.5×3=67.5km

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ
組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと
優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに
合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は
図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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Dにとまる場合は何通り?(今年 2019年 海城中学)

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図のような正方形 ABCD の頂点 A にコマを置き,

大小2つのサイコロを使って

決められた数だけ反時計回りに頂点から頂点へコマを進めていきます。

* 例えば,2だけ進めるときはコマは頂点 C にとまり,

5だけ進めるときはコマは 頂点Bにとまります。

3313

大小2つのサイコロの出た目の和だけコマを進めるとき,

コマが頂点Dにとまる目の出方は何通りありますか。

6082_2

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解法例

6085_3

Dにとまる目の数は、

3、7、11 なので、

3の場合、

1-2、2-1 の2通り、

7の場合、

1-6、2-5、3-4、4-3、5-2、6-1 の6通り、

11の場合、

5-6、6-5 の2通り、

全部で、2+6+2=10通り

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682

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

青の高さは何cm?(今年 2019年 女子学院中学)

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青、赤、白の3つの円柱の形をした積み木があります。

 

底面積は3つとも同じです。

 

赤の高さは白より 5cm高く、

 

青の上に白をのせたものと赤の高さの差は、青の高さの 3/5です。

 

青の高さは (ア)cmまたは(イ)cmです。

 

Honeycam_20190220_093502

 

103

 

 

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解法例

 

2通り考えられるということですが・・・

 

まずこんな場合

 

2201

 

赤と白との差5cmが青の2/5に当たる場合、

 

青は、

 

5÷2/5=12.5cm・・・・・ア

 

次に考えられるのは、

 

こんな場合、

 

2202

 

青+青の3/5が赤と白の差5cmに当たる場合で、

 

青は、

 

5×5/8=25/8=3と1/8cm・・・・・イ

 

102

 

 

 

 

 

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682

 

 

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

 

幼稚園から学校までの道のりは?(今年 2019年 埼玉栄中学)

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太郎君は、登校するときに弟を幼稚園に送りとどけています。

弟といっしょに7時45分に家を出て、学校の前を通り過ぎ、

幼稚園に着くとすぐに折り返して、8時12分に学校に到着します。

家から学校までの道のりは1kmで、

弟といっしょのときは時速3km、1人のときは時速4kmの速さで歩きます。

幼稚園から学校までの道のりを求めなさい。

Youchien_bag_boy

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解法例

3241

家から学校までは、

1÷3=1/3時間=20分 かかります。

太郎君が弟を送ってから学校に着くまで、

8時12分-7時45分=27分かかるので、

学校⇒幼稚園⇒学校 まで、27-20=7分 です。

学校から幼稚園までを□kmとすると、

□/3+□/4=7/60

7×□/12=7/60

7×□=84/60

□=1/5km=200m

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おかしは何個?おもちゃは何個?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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太郎君はお年玉を 8000 円もらいました。

この8000 円で、

240 円のおかしと 570 円のおもちゃをどちらも1個以上買って、

できるだけおつりを少なくするようにしたいと考えました。

(1)おつりがないように買うことはできないことを説明してください。

(2)最も少ないおつりはいくらですか?

   そのとき、おかしは何個でおもちゃは何個ですか?

4271

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解法例

6085

(1)

240も570も3の倍数で、

何倍しても3の倍数になり、

合わせても3の倍数になり、

8000は3の倍数ではないので割り切れないから。

(2)

240と570の最大公約数は30

8000に一番近い30の倍数は、7980

7980÷570=14 

240と570の最小公倍数は4560

4560÷570=8 より、

おもちゃ8個分をおかしにすると、

4560÷240=19 なので、

おかしを19個、

おもちゃを 14-8=6個 買って、

おつりは 8000-7980=20円

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CさんとAさんのカードは何?(今年 2019年 清風南海中学)

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1から9までの番号が書かれたカードが1枚ずつあります。

そのカードをAさ ん、Bさん、Cさんの3人に3枚ずつ配りました。

3人に配ったカードについて、次のことが分かっています。

・ Cさんに配られた3枚のカードの数の和は22です。

・配られた3枚のカードの数の積は3人とも3の倍数です。

・配られた3枚のカードの数の積は3人とも4の倍数です。

・配られた3枚のカードの数の和は3人とも7の倍数ではありません。

・配られた3枚のカードの数の和がもっとも小さいのはAさんです。

① Cさんに配られたカードに書かれている3つの数字を小さい順に答えなさ い。

② Aさんに配られたカードに書かれている3つの数字を小さい順に答えなさ い。

Play072s

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解法例

6085

和が22になる場合は、

9、8、5 と9、7、6 の2通りですが、

積が3と4の倍数になるのは、9、8、5の場合だけなので、

Cさんのカードは、5、8、9 です。

残るカードは、1、2、3、4、6、7ですが、

Aさんは、(1+2+3+4+6+7)÷2=11.5より、

和が11以下なので、

1,2,3

1,2,4

1,2,6

1,2,7

1,3,4

1,3,6

1,3,7

1,4,6

2,3,4

2,3,6

積が3と4の倍数になるのは、

1,2,6

1,3,4

1,4,6

2,3,4

2,3,6

それぞれの場合のBさんのカードは、

1,2,6 ⇒ 3,4,7

1,3,4  2,6,7 

1,4,6 ⇒ 2,3,7

2,3,4 ⇒ 1,6,7

2,3,6 ⇒ 1,4,7

Bさんのカードで、積が3と4の倍数で、和が7の倍数でないものは、

2,6,7 の場合だけなので、

Aさんのカードは、1,3,4

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