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カテゴリー「算数」の1762件の記事

オに当てはまる数は?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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2121 の 2124 ~ 2125 に 、

2、3、4、5、6、7、8、9から1つ ずつ当てはめて式を完成させました。

ただし、同じ数を2回以上使うことはできません。

また、 2122 と 2123 は仮分数でもよく、

これ以上約分できない分数です。

このとき、2125_2 に当 てはまる数は何ですか?

6082

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解法例

6085

オ=2×3=6 か オ=2×4=8 なので、

約分すると当てはまる数を調べると、

3/4×2/9=1/6 より、

オ=6

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682

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立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)

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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。

2101

 

(1)点H、I、K を通る平面

(2)点B、D、E を通る平面

(3)点F、I、J を通る平面

(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る

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解法例

(1)

2102

図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、

立方体の1辺を1とすると、

(1+1/2)×1×1/2=3/4倍

(2)

2103

図のようにAを含む立体は三角すいになるので、

1×1×1/2×1/3=1/6倍

(3)

2104

 図のようにAを含む立体は、

立方体からCを含む立体を引いて求めます。

△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、

Cを含む立体

=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3

=1/3-1/24

=7/24

Aを含む立体=1-7/24=17/24倍

(4)

2105

△ABDを底面とする三角柱を

台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と

△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。

Aを含む立体は、

①+(②-三角すいHKPD)なので、

(1+1/2)×1/2×1/2×1+

(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)

=3/8+(1/8-1/24)

=3/8+2/24

=9/24+2/24

=11/24倍

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682

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ご石は全部で何個?(今年 2019年 駒場東邦中学)

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黒と白のご石がたくさんあります。

まず、黒いご石6個で正六角形の形を作り、

次に、その外側に白いご石で正六角形の形を作ります。

下の図のように、この操作を黒白交互に繰り返していき、

いちばん外側の正六角形の1辺が黒いご石10個となるまで続 けました。

このとき、使用したご石の合計の個数を求めなさい。

Bandicam_20190207_082130909

103

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解法例

一番内側のご石は、

1×6=6個

2番目は、

2×6=12個

・・・・・

一番外側の1辺が10個の正六角形は、

9×6=54個

したがって、全部のご石の数は、

(1+2+3+・・・・・+9)×6

=45×6

=270個

104

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682

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サッカーまたは卓球に出場する人数は?(今年 2019年 女子学院中学)

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クラス対抗の球技会が行われます。

バスケットボール、ドッジボール、サッカー、卓球の4つの競技で、

1人1つまたは2つの競技に出場します。

あるクラスの生徒の出場は次の通りです。

(ア)サッカーと卓球の両方に出場する生徒はいません。

(イ)2つに出場する生徒は、9人です。

(ウ)バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒の人数は、

  バスケットボールに出場する人数の1/5、

     ドッジボールに出場する 人数の1/4です。

(エ)バスケットボールに出場しない生徒は、20人です。

(オ)バスケットボール、サッカー、卓球のうち、2つに出場する生徒は、

  ドッジボールのみに出場する生徒より3人少ないです。

 

(1)バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒は 何人ですか?

(2)サッカーまたは卓球に出場する生徒は何人ですか?

(3)このクラスの人数は何 人ですか?

Basketball_girls_2

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解法例

図で表すと下の図のようになります。

S=サッカー、T=卓球、D=ドッジボール、B=バスケットボール

「あ」~「お」はそれぞれ2つの競技に出場した人数です。

2041_2

(イ)より、あ+い+う+え+お=9人

(ア)と(オ)より、

バスケットボール、サッカー、卓球のうち、2つに出場する生徒は、

「え」か「お」なので、

ドッジボールのみに出場する生徒をdとすると

え+お+3=ドッジボールのみに出場する生徒=d

D=あ+い+う+え+お+3

バスケットボールとドッジボールの両方に出場する生徒=「あ」なので、

あ=1 とすると、

(ウ)より、D-1=3

い+う+え+お+3=3

い+う+え+お=0、あ+い+う+え+お=9

あ=9 となり矛盾するので不適当、

あ=2 とすると、

(ウ)より、D-2=6

い+う+え+お+3=6

い+う+え+お=3、あ+い+う+え+お=9

あ=6 となり矛盾するので不適当、

あ=3 とすると、

(ウ)より、D-3=9

い+う+え+お+3=9

い+う+え+お=6、あ+い+う+え+お=9

あ=3 となり矛盾なく成立します。

あ=4 とすると、

(ウ)より、D-4=12

い+う+え+お+3=12

い+う+え+お=9、あ+い+う+え+お=9

あ=0 となり矛盾するので不適当、

あ>4 でも矛盾し、不適当。

したがって、(1)あ=3人

すると、(ウ)より、B=3×5=15人となり、

(3)クラスの人数は、20+15=35人

(2)はS(赤)+T(青)なので、

SとTの白い部分の合計は、

20-(12-3)=11人

これに、い+う+え+お=6人をプラスすると

11+6=17人

958

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682

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ぬき取った立方体はいくつ?(今年 2019年 高槻中学)

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図1のように小さな立方体を縦、横と もに9個ずつ9段積み上げて、

大きな 立方体を作りました。

図1

1311

(1)この立方体から図2の緑色部分の位置にある小さな立方体を

正面 から反対の面までつらぬいてぬき取りました。

ぬき取った小さな立 方体は合計何個ですか。

ただし、 この大きな立方体は小さな立方体をぬき取ってもくずれないものと します。

図2

1312

 

(2)(1)から、さらに、側面からも図3の黄色部分の位置にある小さな 立方体を

同じようにぬき取りまし た。

2つの方向からぬき取った小 さな立方体は合計何個ですか。

図3

1313

(3)(2)から、さらに、真上の面から も

図4の赤色部分の位置にある小 さな立方体を同じようにぬき取り ました。

3つの方向からぬき取っ た小さな立方体は合計何個ですか。

図4

1314

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解法例

(1)

正面の方向から9枚を輪切りにしてみると、

9枚すべて、図のように25個の立方体がくりぬかれています。

1312_2

したがって、抜き取られた立方体は全部で、

25×9=225個

(2)同じように側面から9枚を輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1313_2

2枚目と8枚目は図のように、18個

1315

3枚めと7枚目は、図のように8個

1316

4枚目と6枚目は、図のように2個

1317

5枚目は、図のように新たにくり抜かれる立方体はありません。

1318

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+18×2+8×2+2×2=106個

全部で、225+106=331個

(3)同様に真上から輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1314_2

2枚目と8枚目は、図のように12個

1319

3枚目から7枚目までは新たにくり抜かれる立方体はありません。

13110

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+12×2=74個

全部で、331+74=405個

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682

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箱A、Bはそれぞれ何箱?(今年 2019年 四天王寺中学)

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36個の商品を箱Aには3個ずつ、

箱Bには4個ずつ、箱Cには5個ずつ入れます。

3種類の箱A、B、Cをそれぞれ少なくとも1箱は作る ものとし、

商品は余らないものとします。

(1)箱Cをなるべくたくさん作るとき、

              箱A、Bはそれぞれ何箱になりますか。

(2)箱Aの数が箱Cの数の3倍になるとき、

              箱A、Bはそれぞれ何箱になりますか。

Ilm04_ab15004s_2 588_2

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解法例

6085_3

(1)

AとBが1箱のとき、

36-3×1+4×1=29個 なので、

Bにあと4個入れると5の倍数の25個になります。

したがって、A1箱、B2箱

(2)

A=3、C=1のとき、

36-(3×3+5×1)=22個となり4の倍数にならず不適当、

A=6、C=2のとき、

36-(3×6+5×2)=8個となり4の倍数になります。

A=9、C=3のとき、

3×9+5×3=42個となり36個を上回るので不適当、

したがって、A6箱、B2箱

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682

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色部分の面積は?(今年 2019年 甲陽学院中学)

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下の図の円は、点Oを中心とする半径 10cmの円です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。

1261

31

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解法例

図のように線をひくと、同じ図形が4つできます。

1262

求める面積は、

(10×10×3.14-10×10)÷4

=100×(3.14-1)÷4

=25×2.14

=53.5㎠

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682

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色が塗られている立体は何個?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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表面が青色で塗られている正四面体を、

底面に平行な2枚の平面で高さを3等分するように切り、

残りの3つの面についても同様に切ります。

このとき、もとの正四面体はいくつかの正四面体と

いく つかの正八面体に分かれます。

(1)2つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

(2)また、3つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

ただし、正四面体とは、下の図1のような、

どの面も合同な 正三角形でできている三角すいです。

図1

Bandicam_20190124_072933192

また、正八面体とは、下の図2のような、

どの面も合同な正三角形でできている、8つ の面をもつ立体です。

図2

Bandicam_20190124_072636686

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解法例

各辺に平行に1回だけ切ると、

図のように、真ん中に正八面体ができ、

各頂点に正四面体が残ります。

このとき、正八面体は4面、

正四面体は3面に色が塗られています。

Bandicam_20190124_072540615_2

2回切ったのが下の図で、

Bandicam_20190123_105418531

正八面体が4つでき、みな3面が表面に出ています。

各頂点の正四角すいも表面に出ているのは3面、

したがって、3つの面に色が塗られている立体は8個。

各辺にある正四角すいは2面が表面に出ているので、

2つの面に色が塗られた立体は6個です。

ちなみに、中央にある正四角すい1個は

4面とも表面に出ていないので、色は塗られていません。

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三角形CAPの面積は? (今年 2019年 灘中学)

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下の図で、三角形ABCは正三角形で、

面積は1㎠です。

PBの長さがPAの長さの2倍のとき、

三角形CAPの面積は何㎠ですか?

1221

958

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解法例

図のようにAPの長さを1辺とする小さな正三角形で

△ABCを囲んでみます。

1222

△黄は小さな正三角形2個分

△赤は小さな正三角形4個分

△緑はCをDに平行移動してみると、

小さな正三角形1個分

△ABCは、2+4+1=7個分でできています。

したがって、△緑=△CAP=1/7㎠

975

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682

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塗り方は何通り?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図の正六角柱の8つの面を、

8色の絵の具のうちの何色かを使って塗ることを考えます。

隣り合う面は異なる色を使い、

また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。

このと き、

(1)8色すべてを使って塗る方法は 通りありますか?,

(2)8色から異なる3色を選んで塗る方法は 通りありますか?

Bandicam_20190120_085349658

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解法例

106

(1)塗り方は全部で

8×7×6×5×4×3×2×1 通りなのですが、

側面は、

ABCDEF も

BCDEFA も

CDEFAB も

DEFABC も

EFABCD も

FABCDE も回転すれば同じになり、

上面と下面は、

AとBもBとAもひっくり返せば同じなので、

8×7×6×5×4×3×2×1÷6÷2=3360通り

(2)上面と下面が違う色では塗ることができないので、

上面と下面は同じ色で8通りに塗ることができます。

側面の1面が7通り、隣の面が6通りですが、

ABABAB も BABABA も同じになるので、

8×7×6÷2=168通り



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682

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