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魔方陣の難問! (東大寺学園中学 2006年)

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4つの円ア、イ、ウ、エが下の図のように交わり、10個の部分に分かれています。

この10個の部分に0~9までの10個の数字を同じ数は使わないように、

しかも各円内の数字の和が同じ値(Aとする)になるようにわりあてます。

たとえば図1では、

円(ア)の和は、9+0+3+4+7=23

円(イ)の和は、0+3+4+7+2+6+1=23

円(ウ)の和は、3+4+2+6+8=23

円(エ)の和は、4+7+6+1+5=23

となり、A=23  です。

(1)下の図2の□にあてはまる数はいくつですか?

(2)

①Aの値のうち、最も小さい数はいくつですか?

②下の図3において、Aの値が最も小さくなるように□に数字をあてはめてください。

(3)下の図4の□に数をあてはめてください。

105

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解法例はこちら!

6085

 (1)図2は、下の図5のように円イの中の数がすべてわかるので

 

 

円イの中の数の和=3+1+4+5+2+7+0=22となり、

 

円ア、ウ、エにある数との差を求めることで、

 

□に入る数がわかりますが、ここで、円の重なった部分に注目すると、

 

下の図6のように

 

 

円アと円イでは、黄色い部分が共通なので、

 

残りの  X と 2+7+0 が等しいことがわかります。

 

すなわち、X=9  です。

 

同様に、Y=3+5+0=8、Z=3+1+2=6  と求められます。 

 

(2)①4つの円の関係を考えると、円イの7個の数の和=Aです。

 

10個の数の和は、0+1+2+・・・+9=45  なので、下の図7のように、

 

円イ以外の数をX,Y,Zとすると、

 

 

A+(X+Y+Z)=45  となります。

 

ここで、Aの値が最も小さくなるようにするには、

 

X+Y+Z=9+8+7  として大きい方から順に数を除けば

 

Aの値が最も小さくなることがわかります。

 

このとき、Aの値は、45-(9+8+7)=21  です。

 

『Aの値が21より小さくなることもあるのでは?!』

 

と考える人がいるかもしれません。

 

では、Aが21より小さくなったらどうなるか考えましょう。 

 

下の図8のように、円イを大きい黄色い円で表し、Aの値を書くと、

 

 

A=21のときは、成り立っています。

 

A=20にすると、Aが1減っているので、外側の数を増やしてあげないといけませんが、

 

図のように同じ数を使うことになり、問題の条件に合わなくなります。 

 

よって、Aの値のうち、最も小さい数は21ということです。  

 

(2)②  図3で、Aの値が最も小さくなるのは、円ウに「8」が書かれているので、

 

①の場合、すなわちA=21にすることができます。

 

下の図9のX,Yには、「9」か「7」が入ります。

 

 

P,Q,R,Sには、残る「2」、「3」、「5」、「6」のどれかが入ります。

 

次にまずわかるのは、下の図10のように円イとウを比べると、

 

 

8=4+Q+1  となるので、Q=3  とわかります。 

 

次に、円イとエを比べてみると、下の図11のように、

 

 

Y=4+P+0  ということがわかります。

 

ここで、Yは「9」か「7」でした。

 

 Y=9 のとき、P=5 です。

 

 Y=7  のとき、P=3 です。しかし3はすでにQの場所にあるので

 

Y=9、P=5  ということになります。したがって、X=7です。

 

最後に円アとイを比べてみると、下の図12のように

 

 

7=0+S+1  なので、S=6  とわかります。最後に残ったR=2で、

 

それぞれの円の数の和A=21になり、下の図13のようになります。

 


 

(3)まず、すでに書かれている数「5」、「4」が含まれる円アとイについて比べてみると、

 

下の図14のように、

 

 

5=4+S+U  ということから、SとUは「0」と「1」のどちらかということがわかります。 

 

次に、S,Uが含まれる円イとエについて比べてみると、下の図15のように、

 

 

Y=P+T+4  となることがわかります。

 

0,1,4,5が現れているので、残っている数は、

 

2,3,6,7,8,9 の6個で、 Y=P+T+4  を満たすのは、

 

P,T に小さい方から2,3をいれたときにY=9  となる場合です。

 

よって、Y=9で、P,Tには2か3が入ることがわかります。 

 

X,R,Qには、残った6,7,8のどれかが入ることになります。

 

次に、Xについて図8のように考えると、下の図16のように、

 

 

Xの値とAの値の関係ができます。それぞれ調べると、

 

X=6のとき、下の図17のように

 

 

円ウの数の和は、最も大きいときでも、6+4+3+8+1=22となり、

 

A=25にはならないので、Xは「6」ではありません。 

 

次に、X=7のとき、下の図18のように 

 

 

円ウの数の和は、最も大きいときで、7+4+3+8+1=23なので、

 

A=24にならないので、X=7でもありません。 

 

よって、X=8のとき、下の図19のようになり、

 

 

円ウの数の和が、8+4+3+7+1のとき、A=23となり、

 

4つの円の数、それぞれの和が23となります。

 

ゆえに、すべての数は下の図20のようになります。

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682

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水の深さは何cmになる?(灘中学 2016年)

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図のように、深さ15cmの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。

この水槽の中には、同じ形をした高さ15cmの四角柱が5本入っていて、

この水槽に深さが9cmになるまで水を入れても、

四角柱の底面は水槽の底面に接していまし た。

この状態から四角柱を2本取り除くと、水の深さは7cmになりました。

さらに残りの四角柱を3本取り除くと、水の深さは何cmになりますか?

Bandicam_20160124_100719683

103

解法例はスクロールした下の方にあります!

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解法例

109

水の量は変わらないので、水の高さが9cm→7cmになると、

 

底面積は逆比の⑦→⑨になります。

 

1245

 

四角柱の底面積は(⑨-⑦)÷2=① とわかるので、

 

残り3本取り除くと、③増えて⑫になります。

 

1247

 

□=7×9÷12=63/12=21/4cm

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682

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こんなパズル、あんなパズル(分野別中学受験算数パズル)

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Photo

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条件に合う並び方は何通り?(今年 2018年 公文国際学園中等部)

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A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。

次の3つのルールすべてに合う並び方は何通りありますか。

・「AはDより左側に並ぶ」

・「CはDの左隣に並ぶ」

・「AとBは隣には並ばない」

Maehe_narae

105

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解法例

CDをセットにして考えます。

CDの左側にAがくる並び方は、

AEB

BEA の2通りと、

AE

EA の2通りと、

A CD BE

A CD EB の2通りで、

全部で6通りです。

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682

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まわりの長さは?(今年 2018年 穎明館中学)

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下の図のように、1辺が6cmの正三角形ABCと、

1辺が5cmの正三角形DEFを重ねた図形がありま す。

ただし、辺ABと辺ED、辺BCと辺 FE、辺CAと辺DFはそれぞれ平行です。

この図形のまわり(太青線の部分)の長さは何cmですか。

4201

Thought28677
 

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6085

解法例

202

赤線は小さな正三角形の1辺、

緑線は大きな正三角形の1辺になるので、

5×3+6×3-(5+6)=22cm

Panda154984_640

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何分で無くなりますか?(今年 2018年 早稲田中学)

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赤色ペンキ職人は、

ある長い壁を一定の速さで赤色ペンキで塗り続けています。

一方、青色ペンキ職人は、

赤く塗られた部分の上を別の速さで青色ペンキで重ね て塗ります。

青色ペンキ職人2人で塗ると、5分で赤く塗られた部分が無くなり ます。

青色ペンキ職人3人で塗ると、3分で赤く塗られた部分が無くなります。

青色ペンキ職人4人で塗ると、何分で赤く塗られた部分が無くなりますか。

Bandicam_20181126_100112288

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これ何算でしょうか?

仕事算?

ニュートン算?

ここでは旅人算の要領で考えてみます。

6221

青1人の仕事スピードを①、赤のスピードを「赤」として、

すでに赤く塗られた赤とのキョリを□とすると、

青2人では5分で追いついたので、

□÷(①×2-赤)=5

青3人では3分で追いついたので、

□÷(①×3-赤)=3

5×(①×2-赤)=3×(①×3-赤)

⑩-5×赤=⑨-3×赤

①=2×赤

赤=1/2まる

□=5×1.5まる=7.5まる

青4人では、

7.5まる÷(①×4-1/2まる)

=7.5まる÷3.5まる

=2と1/7分

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682

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立方体に書かれていないと考えられる数字は?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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A君が2~10 までの数字の中から、異なる数字を6つ選び、

その数字を立方体の各面に1つずつ 書きました。

それを見たB君、Cさん、D君が次のような発言をしました。

B君 「普通のさいころと違って、向かい合っている面の数字の合計が

    すべて8以上になっているな。」

Cさん 「向かい合っている面の数字の合計が15になっている組み合わせが

     1組あったね。あと4の 面もあったね。」

D君 「2の面と隣り合っている面には、素数が1つも書かれていなかったけど、

     A君は気がついているのかな。」

2~10 までの数字の中で、立方体に書かれていないと考えられる数字を

すべて答えなさい。

Pfa010sPfa020sPfa021s

Paper

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解法のヒント

Panda250

素数は1と自分自身でしか割れない数

2、3、5、7

素数ではない数

4、6、8、9、10

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解法例

Bandicam_20181123_100349136

上面を2とすると、

側面は、素数でない、4、6、8、9、10

このうち合計が15となる組み合わせは、6と9

2+4=6 <8 より、

4は2の向かい合う面にはならないので、側面の1つ

 4の向かい合う面には、8と10の可能性があり、

2の向かい合う面には、7、8、10の可能性があるので、

書かれていないと考えられる数は、3と5

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682

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3つの面だけに色がぬられている 立方体は何個?(今年 2018年 玉川学園中学)

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次の図は体積が1㎤の立方体の積み木を積み上げ、

はり合わせてつくった立体です。

この立体の全表面(底面もふくむ)に色をぬったとき、

3つの面だけに色がぬられている 立方体は何個ありますか。

ただし、上の段の積み木の真下には、必ず積み木があるものと します。

Bandicam_20181120_093620908

Panda154984_640

 

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解法例はこちら

Panda250

Honeycam_20181120_094333

ご覧のように7個ですね!

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682

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模様は何通り作れますか?(今年 2018年 桜蔭 中学)

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同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさん あります。

図のように白い板を24枚すきまなく並べて正六角形を作ります。

次に、24枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。

このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。

ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。

また、正六角形を 裏返すことはしません。

(1)24枚のうち1枚を取りかえたとき

(2)24枚のうち2枚を取りかえたとき

Bandicam_20180620_061814494

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(1)図のように4通りです。

6200

6083_2

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(2)1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、


6201  
25通り、

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、 

6202
15通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6203_2
9通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6204
3通り。

全部で、21+15+9+3=48通り

6082_2

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682

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5人の年齢の和は?(今年 2018年 聖光学院中学)

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聖さんの家族はお父さん、お母さん、兄の光さん、弟の学さんの5人です。

「お父さんの年齢の2倍」と「お母さんの年齢」の和は 131、

「お父さんの年齢」と「光 さんの年齢の2倍」と「学さんの年齢の3倍」の和は101、

「お母さんの年齢」と「聖 さんの年齢の3倍」の和は 79、

「お母さんの年齢」と「光さんの年齢」の和は 58 です。

この家族5人の年齢の和を答えなさい。

Ilm08_ca01003s

解法例は下にスクロールしてください!

Girl200

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解法例

「   」の中を全部合計すると、

5人とも年齢の3倍になっています。

131+101+79+58=369=5人の年齢×3

したがって、5人の年齢の和は、

369÷3=123才

Cu2002

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682

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