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カテゴリー「場合の数」の123件の記事

ちょっと難問! 何通りあるでしょうか?(麻布中学 2014年)

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決められた何種類かの整数を足し合わせて

1つの整数を作る方法を考えます。

例えば,1,2,3のみを用いて5を作る方法は,

3+2,

3+1+1,

2+2+1,

2+1+1+1,

1+1+1+1+1

の5通り考えられます。

ただし,足す順序が異なるだけのものは同じ方法とします。

2,3,5のみを用いて30を作る方法は全部で何通りありますか。

Honeycam-20180514-105514

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1gifyajirusi_1

考え方と解法例はこちらに!

        104

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682

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Dにとまる場合は何通り?(今年 2019年 海城中学)

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図のような正方形 ABCD の頂点 A にコマを置き,

大小2つのサイコロを使って

決められた数だけ反時計回りに頂点から頂点へコマを進めていきます。

* 例えば,2だけ進めるときはコマは頂点 C にとまり,

5だけ進めるときはコマは 頂点Bにとまります。

3313

大小2つのサイコロの出た目の和だけコマを進めるとき,

コマが頂点Dにとまる目の出方は何通りありますか。

6082_2

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解法例

6085_3

Dにとまる目の数は、

3、7、11 なので、

3の場合、

1-2、2-1 の2通り、

7の場合、

1-6、2-5、3-4、4-3、5-2、6-1 の6通り、

11の場合、

5-6、6-5 の2通り、

全部で、2+6+2=10通り

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682

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移動経路は何通り?(今年 2019年 開成中学)

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《図1》は一辺の長さが1の正方形を2個並べて、横1、 縦2の長方形をつくり、

その長方形と 点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

図の中で点 A と点 B を結ぶすべての線が、通ることのできる道です。

《図2》は一辺の長さが1の正方形を3個並べて、横3、縦1の長方形をつくり、

その長方形と 点 A、B を結ぶ道をつけたもので、

《図3》は一辺の長さが1の正方形を6個並べて、横3、縦2の長方形をつくり、

その長方形と点 A、B を結ぶ道をつけたものです。

それぞれ 《図1》と同 じく、

点 A、B を結ぶすべての線を道として通ることができます。

次のような規則に従ってこれらの道を通り、

点Aから点Bまで移動することを考えます。

規則

「一回だけ左に1進み、それ以外は右または上に進む」

ただし、進む方向を変更できるのは正方形の頂点の場所だけです。

点 A にもどったり、点B からもどったりはできません。

また、規則に従うかぎり、同じ道を2回以上通ることも可能で す。

このとき、《図1》の点 A から点 B までの移動経路は 10 通りあります。

では、《図2》、《図3》 のそれぞれについて、

考えられる移動経路は何通りありますか。

3073

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解法例

図2の場合

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3074_3

4通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3075

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3076

2通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3077

2通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3078

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

3079

4通り、

全部で、4+3+2+2+3+4=18通り

図3の場合

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30710

10通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30711

6通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30712

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30713

8通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30714

9通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30715

8通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30716

3通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30717

6通り、

図の赤い部分を左に1回進む場合、

30718

10通り、

全部で、(10+6+3)×2+(8+9+8)

=38+25

=63通り

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塗り方は何通り?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図の正六角柱の8つの面を、

8色の絵の具のうちの何色かを使って塗ることを考えます。

隣り合う面は異なる色を使い、

また回転したりひっくり返したりして同じ塗り方になるものは同じとみなします。

このと き、

(1)8色すべてを使って塗る方法は 通りありますか?,

(2)8色から異なる3色を選んで塗る方法は 通りありますか?

Bandicam_20190120_085349658

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解法例

106

(1)塗り方は全部で

8×7×6×5×4×3×2×1 通りなのですが、

側面は、

ABCDEF も

BCDEFA も

CDEFAB も

DEFABC も

EFABCD も

FABCDE も回転すれば同じになり、

上面と下面は、

AとBもBとAもひっくり返せば同じなので、

8×7×6×5×4×3×2×1÷6÷2=3360通り

(2)上面と下面が違う色では塗ることができないので、

上面と下面は同じ色で8通りに塗ることができます。

側面の1面が7通り、隣の面が6通りですが、

ABABAB も BABABA も同じになるので、

8×7×6÷2=168通り



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682

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今年2019年の中学入試で出題が予想される、塗り分け問題の解法例

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何色でぬり分けられる?(お茶の水女子大学附属中学 2010年)

図の線でかこまれた部分を、色分けしてぬっていきます。

同に色がとなりあわないようにぬると最低何色の色が必要ですか。

6061

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解法例

Bandicam_20190106_101012698_2

Bandicam_20190106_101027946

Bandicam_20190106_101037275

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塗り分けには何色必要か?(海陽中等教育学校 2013年改題)

図のような五角形と六角形で作られたサッカーボールがあります。

辺をはさんだ隣どうしの面が、

同じ色にならないように塗り分けるには、

最低何色必要でしょうか?

1

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解法例

下の図のように、

1つの正五角形のまわりには、5つの正六角形がきます。

この5つの正六角形をぬり分けるのに、

少なくとも3色必要です。

さらに、正五角形には正六角形の3色とは異なる色が必要なので、

3色でぬり分けることはできません。

最低4色必要です。

2

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塗り分け方は何通り?(六甲中学 2014年)

①~⑥の6つの部分を,赤,青,黄,緑の4色でぬり分けます。

同じ色がとなり合わないようにするとき,

何通りのぬり方がありますか。

1

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解法例

右半分は下図のように4色が必要なので、 

2

4×3×2×1=24通りのぬり方ができます。

それに対して、左半分は、

⑥は①以外の3通りですが、

例えば②の色にすると、⑤は①か③の色で2通りのぬり方ができ、 

3

 

4

 ⑥を④にしても⑤は以下の2通り、

5

 

6

 ところが、⑥を③の色にすると、⑤は①の色しかなく1通り、 

7

 したがって、24×(2+2+1)=120通り です。

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682

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支払い方は何通り? (今年 2018年 サレジオ学院中学)

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Aさんは、あるお店で買い物をしたら、

3800円の代金を支払うことになりました。

Aさんは、1000円札を3枚、

500円玉を2枚、

100円玉を6枚、

50円玉を2枚、

10円玉を10枚持っています。

このとき、おつりの出ない支払い方は全部で何通りですか?

Ilm16_aa04033s

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①1000×2+500×2+100×6+50×2+10×10

②1000×3+100×6+50×2+10×10

③1000×3+500×1+100×3

④1000×3+500×1+100×2+50×2

⑤1000×3+500×1+100×2+50×1+10×5

⑥1000×3+500×1+100×2+10×10

⑦1000×3+500×1+100×1+50×2+10×10

以上7通り

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682

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条件に合う並び方は何通り?(今年 2018年 公文国際学園中等部)

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A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。

次の3つのルールすべてに合う並び方は何通りありますか。

・「AはDより左側に並ぶ」

・「CはDの左隣に並ぶ」

・「AとBは隣には並ばない」

Maehe_narae

105

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解法例

CDをセットにして考えます。

CDの左側にAがくる並び方は、

AEB

BEA の2通りと、

AE

EA の2通りと、

A CD BE

A CD EB の2通りで、

全部で6通りです。

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682

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模様は何通り作れますか?(今年 2018年 桜蔭 中学)

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同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさん あります。

図のように白い板を24枚すきまなく並べて正六角形を作ります。

次に、24枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。

このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。

ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。

また、正六角形を 裏返すことはしません。

(1)24枚のうち1枚を取りかえたとき

(2)24枚のうち2枚を取りかえたとき

Bandicam_20180620_061814494

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(1)図のように4通りです。

6200

6083_2

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(2)1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、


6201  
25通り、

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、 

6202
15通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6203_2
9通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6204
3通り。

全部で、21+15+9+3=48通り

6082_2

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あく手するのは何回?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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あるスポーツ大会では、試合前に出場選手が全員集まり、

おたがいに自分以外の出場選手全員と1回 ずつあく手をします。

出場選手が8人いるとき、合計で何回あく手が行われますか。

Figure_ningenkankei_simple

588_2

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解法例

誰もが自分以外の7人とあく手することになります。

Bandicam_20181106_084220712

7×8=56回ですが、

A→B と B→A は同じ1回のあく手なので、

56÷2=28回です。

6082

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行き方は何通り?(今年 2018年 栄光学園中学)

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下の図のような、6つの正方形からなるマス目があります。

この正方形の辺を通って、 点Aから点Bへ行きます。

Bandicam_20180211_101744176

点Aから点Bへ最短距離で行くときは5つの辺を通ることになりますが、

以下の問では最短距離では行かず、

7つや9つの辺を通る行き方を考えます。

ただし、同じ辺や頂点は2回以上通ってはいけないこととします。

(1)点 A を右向きに出発します。

  下の例のように行くと、点Aから点Bまで7つの辺を 通ることになります。

  この行き方以外に、点Aを右向きに出発して7つの辺を通って

  点Bへ行く行き方は何通りありますか。



Bandicam_20180211_101755670

60814

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(1)

4通り

2121


 

(2)点Aを下向きに出発して、

  7つの辺を通って点Bへ行く行き方をすべてかいてください。

Bandicam_20180211_101803912

解法例は下の方にあります!

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(2)

8通り

2122

 

 (3)点Aから点Bまで9つの辺を通る行き方は何通りありますか。

  解法例は下の方にあります!

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(3)

11通り

2124

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682

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