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カテゴリー「立体図形」の264件の記事

立方体の積み木は何個?(今年 2019年 筑紫女学園中学)

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同じ大きさの立方体の積み木をいくつか使って積み上げました。

真正面から見た図、真横(右)から見た図、

真上から見た図は次のようになりました。

立方体の積み木は、何個使いましたか。

3181

 

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解法例

Honeycam_20190318_093241

図のように、13個使っています。

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682

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長さと表面積は?(今年 2019年 神戸女学院中学部)

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図1のような直方体を上下はそのままで4個はり合わせて、

図2のような立体を作ります。

図1の直方体4個分の表面積の和と図2の立体の表面積の比は

5:4となりました。

図1

1301

図2

1302

 

 

(1)「あ」の長さは何cmですか。

(2)図2の立体を2個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Pを中心に45°回転させて、図3のような立 体を作ります。

このとき、図3の立体の表面積を求めなさい。

図3

1303

 

 

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解法例

109

(1)図1の立体の表面積は、

3×6×2+3×あ×2+あ×6×2

=18×あ+36

その4個分は、

72×あ+144

図2の立体は、

3×あ×8=24×あ だけ表面積が少なくなっているので、

(72×あ+144):(48×あ+144)=5:4

4×(72×あ+144)=5×(48×あ+144)

288×あ+576=240×あ+720

48×あ=144

あ=3cm

(2)

1304

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

3×3÷2×2=.9㎠

この重なった部分は8個あるので、

9×8=72㎠

図2の立体2つ分の表面積は、

2×(48×3+144)=576㎠

図3の立体の表面積は

576-72=504㎠

 

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どんな図形になる?(今年 2019年 駒場東邦中学)

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例のように

立体図形を上から見て反時計回りに90°回転移動させた図形を 考えます。

2個の立方体を組み合わせた立体の場合

2203

下の図のような5個の立方体を組み合わせた立体を

上から見て反時計回りに 90°回転移動させた図形を解答欄に図で表しなさい。

ただし、「A」とかいて ある面だけは示してあるので、

残りの部分を表しなさい。

また, 見えない部 分の線はかかないこととします。

2204


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解法例

6085

2205

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立方体の体積の何倍?(今年 2019年 渋谷教育学園渋谷中学)

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図のような立方体ABCD-EFGHがあります。

また、点I、J、Kは辺の真ん中の点です。

次のような平面で立方体を切ったとき、

頂点 A を含む立体の体積は、もとの立方体の何倍ですか。

ただし、すい体の体積は「(底面積)×(高さ)÷3」で求められます。

2101

 

(1)点H、I、K を通る平面

(2)点B、D、E を通る平面

(3)点F、I、J を通る平面

(4)点B、D、H を通る平面と、点H、I、K を通る平面の2つの平面で同時に切る

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解法例

(1)

2102

図のように、Aを含む立体は台形柱になるので、

立方体の1辺を1とすると、

(1+1/2)×1×1/2=3/4倍

(2)

2103

図のようにAを含む立体は三角すいになるので、

1×1×1/2×1/3=1/6倍

(3)

2104

 図のようにAを含む立体は、

立方体からCを含む立体を引いて求めます。

△OCIと△OGFは相似で、相似比は1:2なので、

Cを含む立体

=1×1×1/2×2×1/3-1/2×1/2×1/2×1×1/3

=1/3-1/24

=7/24

Aを含む立体=1-7/24=17/24倍

(4)

2105

△ABDを底面とする三角柱を

台形ABPKを底辺とする台形柱.(①)と

△KPDを底面とする三角柱(②)に分けます。

Aを含む立体は、

①+(②-三角すいHKPD)なので、

(1+1/2)×1/2×1/2×1+

(1/2×1/2×1/2×1-1/2×1/2×1/2×1×1/3)

=3/8+(1/8-1/24)

=3/8+2/24

=9/24+2/24

=11/24倍

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ぬき取った立方体はいくつ?(今年 2019年 高槻中学)

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図1のように小さな立方体を縦、横と もに9個ずつ9段積み上げて、

大きな 立方体を作りました。

図1

1311

(1)この立方体から図2の緑色部分の位置にある小さな立方体を

正面 から反対の面までつらぬいてぬき取りました。

ぬき取った小さな立 方体は合計何個ですか。

ただし、 この大きな立方体は小さな立方体をぬき取ってもくずれないものと します。

図2

1312

 

(2)(1)から、さらに、側面からも図3の黄色部分の位置にある小さな 立方体を

同じようにぬき取りまし た。

2つの方向からぬき取った小 さな立方体は合計何個ですか。

図3

1313

(3)(2)から、さらに、真上の面から も

図4の赤色部分の位置にある小 さな立方体を同じようにぬき取り ました。

3つの方向からぬき取っ た小さな立方体は合計何個ですか。

図4

1314

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解法例

(1)

正面の方向から9枚を輪切りにしてみると、

9枚すべて、図のように25個の立方体がくりぬかれています。

1312_2

したがって、抜き取られた立方体は全部で、

25×9=225個

(2)同じように側面から9枚を輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1313_2

2枚目と8枚目は図のように、18個

1315

3枚めと7枚目は、図のように8個

1316

4枚目と6枚目は、図のように2個

1317

5枚目は、図のように新たにくり抜かれる立方体はありません。

1318

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+18×2+8×2+2×2=106個

全部で、225+106=331個

(3)同様に真上から輪切りにしてみると、

1枚目と9枚目は、図のように25個

1314_2

2枚目と8枚目は、図のように12個

1319

3枚目から7枚目までは新たにくり抜かれる立方体はありません。

13110

したがって、新たにくり抜かれる立方体は、

25×2+12×2=74個

全部で、331+74=405個

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色が塗られている立体は何個?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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表面が青色で塗られている正四面体を、

底面に平行な2枚の平面で高さを3等分するように切り、

残りの3つの面についても同様に切ります。

このとき、もとの正四面体はいくつかの正四面体と

いく つかの正八面体に分かれます。

(1)2つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

(2)また、3つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

ただし、正四面体とは、下の図1のような、

どの面も合同な 正三角形でできている三角すいです。

図1

Bandicam_20190124_072933192

また、正八面体とは、下の図2のような、

どの面も合同な正三角形でできている、8つ の面をもつ立体です。

図2

Bandicam_20190124_072636686

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解法例

各辺に平行に1回だけ切ると、

図のように、真ん中に正八面体ができ、

各頂点に正四面体が残ります。

このとき、正八面体は4面、

正四面体は3面に色が塗られています。

Bandicam_20190124_072540615_2

2回切ったのが下の図で、

Bandicam_20190123_105418531

正八面体が4つでき、みな3面が表面に出ています。

各頂点の正四角すいも表面に出ているのは3面、

したがって、3つの面に色が塗られている立体は8個。

各辺にある正四角すいは2面が表面に出ているので、

2つの面に色が塗られた立体は6個です。

ちなみに、中央にある正四角すい1個は

4面とも表面に出ていないので、色は塗られていません。

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682

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今年、2019年も出題が予想される定番パズル系問題の解法例

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下の図のように、立方体を順に積み重ねていきます。

立方体を6段に積み重ねた状態で、

底の面も含めてすべての面にペンキで色をぬります。

このとき、立方体の個数は56個ですが、

このうち、3面だけ色をぬられた立方体は全部で何個ありますか。

Pic_3420q

                 (筑波大学附属中学 2012年)

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解法例

3面だけ色をぬられる立方体は、4段の図では、

下の図1の緑の立方体1個あり、

5段積み重ねると、下の段の黄色い立方体2個が増え、

6段積み重ねると、さらに下に3個の立方体が増えます。

 

     Pic_3421a

さらに、下の図2のように、

積み重ねた図形の裏のカドの立方体は、

3面に色がぬられます。

 

         Pic_3422a

よって、6段積み重ねたとき、

3面に色がぬられている立方体の個数は、

1+2+3+1=7個 です。

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2つ組み合わせてできる立体は?(お茶の水女子大学附属中学 2018年)

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下の図は正方形1つと正三角形2つ、台形2つでできた、

ある立体の展開図です。

Bandicam_20180626_080836764

この立体を2つ組み合わせてできる立体の見取図を

次のアからエの中から一つ選び、その記号を書きなさい。

Bandicam_20180626_080912074

Bandicam_20180626_080923890

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6261

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どんな図形になるでしょうか?(巣鴨中学 2009年)

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Mondai

正八面体ABCDEFがあり、BD=6cmです。

AFを軸として三角形ABCを回転させたときに

できる立体の体積を求めなさい。

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親子で考えた解法例

「半径3cmの円錐だろ?」

「そんな簡単な問題じゃないの」

平面図形の回転問題(回転体)は、頭の中でイメージを作るのが大変です。

「こんな風にイメージしたんじゃないの?」

 

Katimen2_2 

「そうそう」

「真上から見ると・・・」

Kaisetu

「△ABCはまん中の白い部分は通らない。

それにOBとOMは長さが違うので、

OMを半径とした円すいがもう一つできる。こんなイメージね」

Katimen3

「わかるわけないよ、こんな形・・・

「外側の円すいから内側の円すいを引いたのが答え」

Katimen4

「内側の底面の半径は?」

「この前やったでしょうに。

OBを対角線と考えればOB×OB÷2がOM×OMになるわけ」

「OMxOM=3x3÷2=4.5、

底面積=3x3x3.14-4.5x3.14=4.5×3.14

体積=4.5x3.14x3÷3=14.13立方センチか。

わかれば計算はそんなに難しくない」

「わかるかどうかが問題なの!」

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1/3の量を量るには?

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水の出る蛇口と、

図のような直方体の形をした容器と空のバケツがあります。

バケツにこの容器の1/3の量の水を入れたいのですが、

どうしたらいいでしょうか?


2 1

Hse2074s

103

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解法例

まず、図のように直方体の容器を傾けて水を入れます。

 

20_4

 

この量は直方体の容器の1/2です。

 

次にこの水をバケツに移し、

 

図のように容器を、

 

水面が頂点を通る三角形になるまでバケツの水を入れると、

 

この容器の6分の1の水が入ります。

 

20_5

 

バケツに残った水は、

 

1/2-1/6=1/3 になります。

104

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