パズル算数クイズ

不思議な休憩室

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５０番目の数はいくつ？（灘中学　２０１９年）

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８９の倍数と、１１３の倍数を

８９、１１３、１７８、２２６、・・・・・

のように小さいものから順に並べるとき、

５０番目の数はいくつでしょうか？

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　　　　　　　　解法例はこちらに！

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ゲームをしたのは何回？（今年　２０１９年　桜蔭中学）

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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナメントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ
組み、１回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から１１番の参加者１１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあとｄ、ｅの２回ゲームを行うと
優勝者が１人決まります。

図１

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（１）１番から８１番の参加者８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２）１番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに
合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は
図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

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解法例

（１）

８１÷３＝２７

２７÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

２７＋９＋３＋１＝４０回

（２）

２３５÷３＝７８・・・・・１

（７８＋１）÷３＝２６・・・・・１

（２６＋１）÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

７８＋２６＋９＋３＋１＝１１７回

（３）

逆に考えていきます。

（２＋１）÷３＝１

７÷３＝２・・・・・１

この７が１＋６か２＋５なのか調べます。

１＋６の場合、

（６＋１）÷３＝２・・・・・１

その前は、

（　　　）÷３＝６・・・・・１　なので、

（　　）＝１９

１９＝１８＋１　か　１７＋２　となって、

いずれの場合も２４ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

（５＋２）÷３＝２・・・・・１　なので、

その前は、

（　　）÷３＝５・・・・・２　より

（　　）＝１７

１７＝１６＋１　か　１５＋２　ですが、

２４ゲームになるのは、１６＋１なので、

（１６＋１）÷３＝５・・・・・２

その前は、

（　　）÷３＝１６・・・・・１　より、

（　　）＝４９人

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ＣさんとＡさんのカードは何？（今年　２０１９年　清風南海中学）

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１から９までの番号が書かれたカードが１枚ずつあります。

そのカードをＡさん、Ｂさん、Ｃさんの３人に３枚ずつ配りました。

３人に配ったカードについて、次のことが分かっています。

・Ｃさんに配られた３枚のカードの数の和は２２です。

・配られた３枚のカードの数の積は３人とも３の倍数です。

・配られた３枚のカードの数の積は３人とも４の倍数です。

・配られた３枚のカードの数の和は３人とも７の倍数ではありません。

・配られた３枚のカードの数の和がもっとも小さいのはＡさんです。

①　Ｃさんに配られたカードに書かれている３つの数字を小さい順に答えなさい。

②　Aさんに配られたカードに書かれている３つの数字を小さい順に答えなさい。

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解法例

和が２２になる場合は、

９、８、５　と９、７、６　の２通りですが、

積が３と４の倍数になるのは、９、８、５の場合だけなので、

Ｃさんのカードは、５、８、９　です。

残るカードは、１、２、３、４、６、７ですが、

Ａさんは、（１＋２＋３＋４＋６＋７）÷２＝１１．５より、

和が１１以下なので、

１，２，３

１，２，４

１，２，６

１，２，７

１，３，４

１，３，６

１，３，７

１，４，６

２，３，４

２，３，６

積が３と４の倍数になるのは、

１，２，６

１，３，４

１，４，６

２，３，４

２，３，６

それぞれの場合のＢさんのカードは、

１，２，６　⇒　３，４，７

１，３，４　⇒　２，６，７　

１，４，６　⇒　２，３，７

２，３，４　⇒　１，６，７

２，３，６　⇒　１，４，７

Ｂさんのカードで、積が３と４の倍数で、和が７の倍数でないものは、

２，６，７　の場合だけなので、

Ａさんのカードは、１，３，４

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ア、イ、ウとＡ、Ｂにあてはまるものは？（学習院中等科　２０１６年）

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４つの数２、３、５、７から異なる２つの数を取り出して

２桁の数を６種類作りました。

これらを下のスタートから始めて、

条件に合うものは左下へ、合わないものは右下へ振り分けていったところ、

下の図のようになりました。

ただし、最初の条件Ａで左右に数が３つずつ振り分けられたとします。

10234

（１）　アに当てはまる数を答えなさい。

（２）　条件Ａ、Ｂに当てはまる最も適切な条件を次の①～⑤から選び、

　　　　記号で答えなさい。

　　①奇数である

　　②５０以下の数である

　　③約数の個数は奇数である

　　④各位の数の和が奇数である

　　⑤１種類の数を何回かかけ合わせてできる数である

（３）　イ、ウに当てはまる数を答えなさい。

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解法のヒント

可能性のある２桁の数は、

２３，２５，２７，３５，３７，５７，

３２，５２，７２，５３，７３，７５

赤はすでに出ているので、残りは３つ

素数は、２３、３７、５３、７３

３２の約数の個数は、

１、２、４、８、１６、３２　の６つなので、

ウ＝３２としてみます。

１の位が７で、３の倍数でないものは、

３７より、

ア＝３７

イ＝２７か５７

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解法例

Ａで３つずつに分かれた

Ａで右に来た数は、２３、３７、７５

Ａで左に来た数は、２５、３２、□

２５と３２に共通する性質は、

２５＝５×５

３２＝２×２×２×２×２

条件Ａ＝⑤

２７＝３×３×３　なので、

イ＝２７

Ａで左に来た数は、２５、３２、２７

２５の約数は、１、５、２５の３つ

２７の約数は、１、３、９、２７の４つ

３２の約数は、１、２、４、８、１６、３２の６つ

したがって、条件Ｂ＝③

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８才の子供は最大で何人？（今年　２０１８年　本郷中学）

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８才、７才、３才の子供たちが合わせて１２人います。

この１２人に節分の豆を年れいの数だけ配ったところ、

配った豆の数は全部で７５個でした。

このとき、８才の子供は最大で何人いますか。

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Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄはいくつ？（今年　２０１８年　立教池袋中学）

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１から９までの異なる整数　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄには、

次のような関係があります。

Ａ×Ａ＝Ｂ

Ｂ×Ｃ＝Ａ＋Ｄ

次の問いに答えなさい。

（１）Ｂはいくつですか。

（２）　Ａ，　Ｂ，　Ｃ，　Ｄをすべてたすといくつになりますか。

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Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの値は？（今年　２０１８年　サレジオ学院中学）

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０ではない５つの整数　Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅが

次の条件(ア)～(オ)を満たしています。

(ア) ＡをＢで割ったとき、商はＣで余りはＤです。

(イ) ＥはＢとＣをかけた数です。

(ウ) ＢはＤよりも大きい数です。

(エ) ＣはＢよりも３だけ大きい数です。

(オ) Ｄは偶数です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）５つの数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅを大きい順に並べなさい。

（２）Eの値が２８のとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの値をそれぞれ求めなさい。

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もっとも高い得点は？（今年　２０１８年　吉祥女子中学）

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１から５までの数字が表に書かれたカードが３枚ずつ、合計15枚あります。

これらのカードを裏にしておき、１枚ずつ順に表にしていくゲームをします。

同じ数字が書かれたカードが３枚とも表になったらこのゲームは終了とし、

その時点で表になっているカードの数字の合計を得点とします。

たとえば、表にしたカードの数字が順に４➡４➡４の場合は

４＋４＋４＝１２(点)

５➡５➡１➡５の場合は

５＋５＋１＋５＝１６(点)

３➡２➡２➡５➡２の場合は

３＋２＋２＋５＋２＝１４(点) となります。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

（２）８枚めくった時点でゲームが終了したとき、

　　　考えられる得点のうちでもっとも高い得点は何点ですか。

（３）ゲームが終了したとき、表になっているカードに書かれた数字は

　　　４種類で、得点は３０点でした。

　　　このとき、最後にめくったカードに書かれた数字として

　　　考えられるものをすべて答えなさい。

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条件に合う６桁の整数は？（今年　２０１８年　聖光学院中学）

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１から６までの数字が書かれた６枚のカード

　を並べかえて、

６桁の整数をつくります。

つくった６桁の整数の上から２桁が２の倍数、

上から３桁が３の倍数、

上から４桁が４の倍数、

上から５桁が５の倍数、

上から６桁が６の倍数になるものを、すべて答えなさい。

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