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カテゴリー「図形パズル」の439件の記事

ご石は全部で何個?(今年 2019年 駒場東邦中学)

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黒と白のご石がたくさんあります。

まず、黒いご石6個で正六角形の形を作り、

次に、その外側に白いご石で正六角形の形を作ります。

下の図のように、この操作を黒白交互に繰り返していき、

いちばん外側の正六角形の1辺が黒いご石10個となるまで続 けました。

このとき、使用したご石の合計の個数を求めなさい。

Bandicam_20190207_082130909

103

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解法例

一番内側のご石は、

1×6=6個

2番目は、

2×6=12個

・・・・・

一番外側の1辺が10個の正六角形は、

9×6=54個

したがって、全部のご石の数は、

(1+2+3+・・・・・+9)×6

=45×6

=270個

104

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682

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色部分の面積は?(今年 2019年 甲陽学院中学)

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下の図の円は、点Oを中心とする半径 10cmの円です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。

1261

31

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解法例

図のように線をひくと、同じ図形が4つできます。

1262

求める面積は、

(10×10×3.14-10×10)÷4

=100×(3.14-1)÷4

=25×2.14

=53.5㎠

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色が塗られている立体は何個?(今年 2019年 灘中学 1日目)

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表面が青色で塗られている正四面体を、

底面に平行な2枚の平面で高さを3等分するように切り、

残りの3つの面についても同様に切ります。

このとき、もとの正四面体はいくつかの正四面体と

いく つかの正八面体に分かれます。

(1)2つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

(2)また、3つの面に色が塗られている立体は全部で何個ありますか?

ただし、正四面体とは、下の図1のような、

どの面も合同な 正三角形でできている三角すいです。

図1

Bandicam_20190124_072933192

また、正八面体とは、下の図2のような、

どの面も合同な正三角形でできている、8つ の面をもつ立体です。

図2

Bandicam_20190124_072636686

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解法例

各辺に平行に1回だけ切ると、

図のように、真ん中に正八面体ができ、

各頂点に正四面体が残ります。

このとき、正八面体は4面、

正四面体は3面に色が塗られています。

Bandicam_20190124_072540615_2

2回切ったのが下の図で、

Bandicam_20190123_105418531

正八面体が4つでき、みな3面が表面に出ています。

各頂点の正四角すいも表面に出ているのは3面、

したがって、3つの面に色が塗られている立体は8個。

各辺にある正四角すいは2面が表面に出ているので、

2つの面に色が塗られた立体は6個です。

ちなみに、中央にある正四角すい1個は

4面とも表面に出ていないので、色は塗られていません。

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こんなパズル、あんなパズル(分野別中学受験算数パズル)

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Photo

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2つ組み合わせてできる立体は?(お茶の水女子大学附属中学 2018年)

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下の図は正方形1つと正三角形2つ、台形2つでできた、

ある立体の展開図です。

Bandicam_20180626_080836764

この立体を2つ組み合わせてできる立体の見取図を

次のアからエの中から一つ選び、その記号を書きなさい。

Bandicam_20180626_080912074

Bandicam_20180626_080923890

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6261

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682

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どんな図形になるでしょうか?(巣鴨中学 2009年)

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Mondai

正八面体ABCDEFがあり、BD=6cmです。

AFを軸として三角形ABCを回転させたときに

できる立体の体積を求めなさい。

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親子で考えた解法例

「半径3cmの円錐だろ?」

「そんな簡単な問題じゃないの」

平面図形の回転問題(回転体)は、頭の中でイメージを作るのが大変です。

「こんな風にイメージしたんじゃないの?」

 

Katimen2_2 

「そうそう」

「真上から見ると・・・」

Kaisetu

「△ABCはまん中の白い部分は通らない。

それにOBとOMは長さが違うので、

OMを半径とした円すいがもう一つできる。こんなイメージね」

Katimen3

「わかるわけないよ、こんな形・・・

「外側の円すいから内側の円すいを引いたのが答え」

Katimen4

「内側の底面の半径は?」

「この前やったでしょうに。

OBを対角線と考えればOB×OB÷2がOM×OMになるわけ」

「OMxOM=3x3÷2=4.5、

底面積=3x3x3.14-4.5x3.14=4.5×3.14

体積=4.5x3.14x3÷3=14.13立方センチか。

わかれば計算はそんなに難しくない」

「わかるかどうかが問題なの!」

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682

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まわりの長さは?(今年 2018年 穎明館中学)

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下の図のように、1辺が6cmの正三角形ABCと、

1辺が5cmの正三角形DEFを重ねた図形がありま す。

ただし、辺ABと辺ED、辺BCと辺 FE、辺CAと辺DFはそれぞれ平行です。

この図形のまわり(太青線の部分)の長さは何cmですか。

4201

Thought28677
 

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6085

解法例

202

赤線は小さな正三角形の1辺、

緑線は大きな正三角形の1辺になるので、

5×3+6×3-(5+6)=22cm

Panda154984_640

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3つの面だけに色がぬられている 立方体は何個?(今年 2018年 玉川学園中学)

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次の図は体積が1㎤の立方体の積み木を積み上げ、

はり合わせてつくった立体です。

この立体の全表面(底面もふくむ)に色をぬったとき、

3つの面だけに色がぬられている 立方体は何個ありますか。

ただし、上の段の積み木の真下には、必ず積み木があるものと します。

Bandicam_20181120_093620908

Panda154984_640

 

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解法例はこちら

Panda250

Honeycam_20181120_094333

ご覧のように7個ですね!

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模様は何通り作れますか?(今年 2018年 桜蔭 中学)

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同じ大きさの白と黒の正三角形の板がたくさん あります。

図のように白い板を24枚すきまなく並べて正六角形を作ります。

次に、24枚のうち何枚かを黒い板と取りかえます。

このとき、正六角形の模様は何通り作れますか。

ただし、回転させて同じになるものは同じ模様とみなします。

また、正六角形を 裏返すことはしません。

(1)24枚のうち1枚を取りかえたとき

(2)24枚のうち2枚を取りかえたとき

Bandicam_20180620_061814494

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(1)図のように4通りです。

6200

6083_2

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(2)1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、


6201  
25通り、

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、 

6202
15通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6203_2
9通り。

1枚目を緑の位置に置くと、2枚目は黄色の位置で、

6204
3通り。

全部で、21+15+9+3=48通り

6082_2

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682

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行き方は何通り?(今年 2018年 栄光学園中学)

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下の図のような、6つの正方形からなるマス目があります。

この正方形の辺を通って、 点Aから点Bへ行きます。

Bandicam_20180211_101744176

点Aから点Bへ最短距離で行くときは5つの辺を通ることになりますが、

以下の問では最短距離では行かず、

7つや9つの辺を通る行き方を考えます。

ただし、同じ辺や頂点は2回以上通ってはいけないこととします。

(1)点 A を右向きに出発します。

  下の例のように行くと、点Aから点Bまで7つの辺を 通ることになります。

  この行き方以外に、点Aを右向きに出発して7つの辺を通って

  点Bへ行く行き方は何通りありますか。



Bandicam_20180211_101755670

60814

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(1)

4通り

2121


 

(2)点Aを下向きに出発して、

  7つの辺を通って点Bへ行く行き方をすべてかいてください。

Bandicam_20180211_101803912

解法例は下の方にあります!

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(2)

8通り

2122

 

 (3)点Aから点Bまで9つの辺を通る行き方は何通りありますか。

  解法例は下の方にあります!

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(3)

11通り

2124

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