分野別1500解法

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2013年3月

サイコロの規則性→(久留米大学附設中学 2012年)

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机の上にサイコロが、上の面を「1」、北向きの面を「5」、東向きの面を「3」になるように置いてあります。このサイコロを1回目は北へ1回90度回転させて、上の面を「2」にします。

続いて2回目は東へ2回、3回目は北へ3回、4回目は東へ4回、5回目は北へ5回、・・・と、くり返していくと、上の面は、最初の1から、1回目で「2」、2回目で「5」、3回目で「1」、4回目で「1」、・・・と変わります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)5回目から8回目までの上の面は、それぞれ何ですか。

(2)2011回目、2012回目、2013回目の上の面は、それぞれ何ですか。

イメージ図と答え

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数列の規則性→何段目ですか?(早稲田実業学校中等部 2008年)

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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。

1段目 1

2段目 3   5

3段目 7   9  11

4段目 13 15 17 19

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

ある段に並んでいるすべての数をたしたら,3375になりました。その段は何段目ですか。

考え方と答え

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周期性→カエルぴょこぴょこ(浦和明の星女子中学 2011年)

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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を1回のジャンプで10cm登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて20回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで5分かかります。その後、10分間休みます。このカエルは、このような5分間のジャンプと10分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから55分後には何 m 登ったところにいますか。

(2)このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に 2cm下がってしまいます。また、10分間の休みを取っている間にも 80cm下がってしまいます。

【1】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて20回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。

【2】この氷の斜面は 9m 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。

2

考え方と答え

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損益算→仕入れ値の何%増し?(芝中学 2010年)

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仕入れ値が1個300円の品物を60個仕入れ,仕入れ値の□%増しの定価をつけました。この品物を,60個のうち10個は定価の3割引で,20個は定価の2割引で,25個は定価のままで売り,5個
は売れ残りました。その結果4320円の利益となりました。

□=?

考え方と答え

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濃度算→元の食塩水の濃さは?(早稲田中学 2010年)

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同じ濃さの食塩水をビーカーAに160g,ビーカーBに200g入れました。2つのビーカーから同じ量の水を蒸発させたところ,ビーカーAに残っている食塩水の濃さは12%に,ビーカーBに残っていろ食塩水の濃さは9%になりました。もとの食塩水の濃さは何%でしたか。

0 0

考え方と答え

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仕事算の基本問題(灘中学 2008年)

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ある仕事をするための3種類の機械A,B,Cがある。その仕事は,Aを1台とBを1台同時に使えばちょうど35日で完成する。同じ仕事をAを1台とBを3台同時に使うとちょうど20日で完成し,Aを2台とCを5台同時に使うとちょうど14日で完成する。その仕事をA,B,Cを1台ずつ同時に使うとちょうど何日で完成しますか。

考え方と答え

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ニュートン算の考え方(桐朋中学 2010年)

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ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分3人ずつの割合で人が加わります。午前10時に1つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に2つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

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考え方とこたえ

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方陣算→江戸時代の「薬師算」(浅野中学 2010年)

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図の(A)のような、一辺が5個の正方形に置いた碁石を、(B)のように、たての列の個数が(A)と同じになるように並べかえます。すると(B)は、たての列が3列と余り1個となります。同じように、一辺が5個以上の正方形の形に置いた碁石を並べかえたときの余りの個数のことを「端数」と呼ぶごとにします。図の場合は、「端数が1」となるわけです。このとき、次の(1)~(3)の問いに答えなさい。

1006

(1)一辺が6個の正方形を並べかえたときの端数を求めなさい。
(2)端数が4となるときの碁石の総数を求めなさい。
(3)碁石の総数は(端数)×[ア]+[イ]で求めることができます。
 [ア]、[イ]にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

考え方と答え

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植木算→のりしろの大きさ(洗足学園中学 2010年)

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1辺の長さが3cmの正方形の紙を下の図のように,すべてののりしろが同じ大きさの正方形となるように重ねていきます。図の太い線で囲まれた図形について,次の問いに答えなさい。

1

(1)のりしろの1辺の長さが1cmのとき,この紙を5枚重ねてできる図形のまわりの長さは何cmですか。

(2)のりしろの1辺の長さが1cmのとき,この紙を何枚重ねると図形のまわりの長さが100cmになりますか。

(3)この紙を10枚重ねてできる図形のまわりの長さが66cmとなるには,のりしろの1辺の長さを何cmにすればよいですか。

考え方と答え

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還元算→画用紙の面積は?(関西学院中学 2010年)

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ある画用紙の1/3を青、残りの1/3を黄色、さらに残りの6割を赤、さらに残りの1/4を緑で塗りました。このとき、黄色と緑の面積の差は160c㎡でした。画用紙の面積は何c㎡ですか。

考え方と答え

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相当算→条件を整理していく問題(お茶の水女子大学附属中学)

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花子さんは、第1巻から第7巻までの7冊からなるシリーズの本を持っています。それぞれの本のページ数は、600ページから700ページまでの間です。
第2巻は第1巻より25ページ多く、第3巻は第2巻より45ページ少ない。第4巻は第3巻より30ページ多く、第5巻は第4巻より25ページ多い。第6巻は第5巻より70ページ少なく、第7巻は第6巻より55ページ多いことがわかっています。このとき次の各問いに答えなさい。
(1)第1巻と第7巻のページ数では、どちらがどれだけ多いですか。
(2)いちばんページ数の多い本は、第何巻ですか。
(3)花子さんは、月曜日から第1巻を読み始めました。月曜日に第1巻の5分の1、火曜日に124ページ、水曜日に残りの3分の1、木曜日にさらに残りの4分の1、金曜日に140ページを読みました。それでも第1巻は58ページ残っていました。第1巻は何ページですか。

1015

条件の整理と答え

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平均算→Cができた人数は(関西学院中学 2010年)

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下の表は40人のクラスで小テストをした結果です。問題は3問あり、Aが2点、Bが3点、Cが4点です。平均点を5.5点とすると、問題Cができた人数を求めなさい。

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考え方と答え

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時計算→今、何時?(ラ・サール中学 2011年)

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時計が今2時何分かを指しています。そして、4分30秒後には、長針が今の短針の位置に来ます。今、2時何分ですか。

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考え方と答え

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年齢算→母の年齢(慶應義塾湘南藤沢中等部 2010年)

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今年の母の年齢は子の年齢の3倍である。10年前、母の年齢は子の年齢の8倍であった。今年の母の年齢を求めなさい。

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考え方と答え

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倍数算→所持金はいくら?(桐光学園中学 2010年)

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AさんとBさんがいくらかずつお金を持っています。AさんがBさんに150円をわたすとすると,2人の所持金が等しくなります。逆に,BさんがAさんに300円わたすとすると,Aさんの所持金はBさんの所持金の10倍になります。Aさんの所持金は何円ですか。

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考え方と答え

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差集め算→基本問題(浅野中学 2010年)

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生徒の宿泊で、1室の定員を5人ずつにすると全部の部屋を使っても4人分足りなくなり、1室の定員を6人ずつにすると5人の部屋が1室でき、1室が余ります。このときの生徒の人数を求めなさい。

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考え方と答え

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集合算→全体の人数は?(光塩女子学院中 2009年)

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子供たちがクイズに答えました。2問中,1番ができた人は子供全体の64.6%,2番ができた人は子供全体の37.8%,2問ともできなかった人は子供全体の9.6%でした。また,2問ともできた人は60人でした。

(1)2問ともできた人は子供全体の何%ですか。

(2)子供全体の人数は何人ですか。

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考え方と答え

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過不足算の基本問題(明治大学付属明治中学 2011年)

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何人かの子どもに1人16枚ずつカードを配ったところ8枚足りませんでした。10人の子どもが加わったので,今度は1人12枚ずつ配ったところ24枚余りました。カードは全部で何枚ですか。

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考え方と答え

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和差算→重さと値段の関係(和と差に関する基本問題)

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太さが一定の針金があります。この針金4cmの重さは15gあり、35円買ったら重さが24gありました。この針金1m60cmの値段はいくらですか。

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考え方と答え

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消去算→今年の女子生徒数は?(大阪星光学院中学 2010年)

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ある中学校で、昨年入学した男子生徒数と女子生徒数の合計は560人でした。今年は昨年に比べて、男子生徒が12%減り、女子生徒数が1割5分増え、女子生徒が男子生徒より35人多く入学しました。今年入学した女子生徒数は何人ですか。

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考え方と答え

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虫食い算→四角に当てはまる数は?(久留米大学附設中学 2010年)

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記号<A、B>は、AをBで割ったときの余りを表すものとします。たとえば、<8,3>=2、<10、3>=1です。このとき、次の□にあてはまる整数をすべて求めなさい。

<<70,9>+<18,7>,<20,□>>=3

考え方と答え

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つるかめ算→つるかめカブトムシ算(開成中学)

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難度レベルB

つる、かめ、カブトムシの頭数が合計16、足の数が合計54本、

つるとかめの頭数比が3:1のとき、カブトムシは何匹いますか。

「これ、3段つるかめ、って教わった!」

「どう教わったの?」

「こう↓」

↓親子で考えた解法例

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通過算→ちょっと複雑な通過算ですが・・・

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時速90kmの急行列車が、ある駅のブラットホームを25秒で通過していきました。 そのあと、時速108kmの特急列車がこのプラットホームを30秒で通過し、先の急行列車の後ろのはしに追いついてから、追いぬいてはなれるまでに1 0 5秒かかりました。急行列車、特急列車、プラットホームの長さは、それぞれ何mですか。

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旅人算と流水算→(Sapix 2009年10月マンスリーテストより)

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「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

(キャラをクリックしてイメージをアニメーションでご覧ください)

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はこうなってくるでしょ」

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単位換算→人口密度と面積(青雲中学 2010年)

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A市とB市の人口と面積を調べると下表のようになりました。B市の人口密度がA市の人口密度の1.2倍であるとき,B市の面積を求めなさい。

525

単位換算と答え

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