約束記号計算の難問（開成中学 ２０１２年）

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２以上１５０以下の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞はＮの約数の中で２番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、６の約数は１，２，３，６ なので、＜６＞＝３ であり、７の約数は１，７ なので＜７＞＝１ です。このとき、次の問に答えなさい。

（１）２以上１５０以下のすべての偶数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。

（２）２以上１５０以下のすべての３の倍数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。

（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるような２以上１５０以下の整数Ａ，Ｂ，Ｃ はそれぞれ何個ありますか。

（４）２以上１５０以下のすべての整数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。なお、２以上１５０以下の整数Ｎのうち、＜Ｎ＞＝１ であるものは３５個です。

考え方と答え

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規則性→なぞの箱の秘密は？（白百合学園中学 2007年）

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連続した４つの数を入れると図Ａのように出てくる【なぞの箱Ａ】があります。

（１）まずはじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れます。２回目以降は、その出てきた数を再び【なぞの箱Ａ】に入れます。これをくり返していくと、２００７回目にはどんな数が出てきますか。

次に、連続した４つの数を入れると、図Ｂのように出てくる【なぞの箱Ｂ】を用意しました。

（２）はじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れ、２回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ｂ】に入れ、３回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ａ】に入れ、・・・と、Ａ，Ｂを交互に入れていきます。２００７回目にはどんな数が出てきますか。

考え方と答え

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並んだ数の規則性（埼玉栄中学 ２０１０年）

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図のように、数をある規則にしたがって並べていきます。
（１）上から4番目で、左から10番目にある数はいくつですか。
（２）2010は、上から何番目で、左から何番目ですか。

考え方と答え

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周期性→連続した数の掛け算（筑波大学附属駒場中学 2012年）

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１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を記号＜Ａ＞で表します。

例えば、

１×２×３×４＝２４　　　なので、＜４＞ の数値は「０」で、

１×２×３×４×５＝１２０　なので、＜５＞ の数値は「１」です。

このとき、次の問に答えなさい。

（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。

（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から２つ答えなさい。

（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を求めなさい。

考え方と答え

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売買損益算→価格と比（SAPIX マンスリーテストより）

ある商品を定価の３０％引きで３６個売ったときの利益と、２５％引きで２４個売ったときの利益は同じです。この商品１個の原価が４８０円のとき、この商品１個の定価は何円ですか？

親子で考えた解法例

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濃度算→てんびん図の基本的な使い方（浅野中学 ２０１１年）

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容器の中に、濃度20％の食塩水400gが入っています。この容器に濃度５％の食塩水をよくかき混ぜなから毎秒10gの割合で流し込んでいきます。このとき、容器内の食塩水の濃度が13％になるのは、濃度５％の食塩水を入れ始めてから何秒後ですか。

てんびん図と答え

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３人でお金を分けるには？（海星女子中学 分配算）

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姉と私と妹の３人で１３８０円を分けるのに、姉は私より２３０円多く、妹は私より１１０円少なくなるようにしたいと思います。それぞれいくらずつ分けたらよいでしょうか。

線分図による解説と答え

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仕事算→容器jに水を入れる（洛星中学 ２０１３年）

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下の図のような容器に，２つのじゃ口Ａ，Ｂから水を入れます｡容器が空の状態から，Ａのみで水を入れると20分でいっぱいになり，Ａ，Ｂ両方で水を入れると11分40秒でいっぱいになります。

（１）Bのみで水を入れると、何分でいっぱいになりますか。

次に，容器が空の状態からＡ，Ｂ両方で水を入れて，水面がＱの
位置にきたときにＢのじゃロを閉めてＡのみで水を入れたところ，
水面の上がる速さは最初から最後まで変わらず，最初から16分でいっぱいになりました。

（２）RS：STを求めなさい。

（３）PQ：QRを求めなさい。

考え方と答え

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ニュートン算→（大阪桐蔭中学 2010年）

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ある牧場では、１２頭の牛を放すと牧場の牧草が２７日で食べつくされてしまいます。また、２４頭の牛を放すと、９日で牧草が食べつくされてしまいます。牧場の牧草は１日あたり一定の割合で生えるものとして、この牧場に６０頭の牛を放したとき牧草は何日で食べつくされるか答えなさい。

考え方とイメージ図と答え

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方陣算（学習院女子中等科 ２００９年）

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図のように、正方形の周りに碁石を並べていきます。

図は１周目と２周目を示しています。このとき、次の問に答えなさい。

（１）一番外側の石の数が２００個になるのは、何周目まで並べたときか答えなさい。

（２）並べた石の数が１００００個に最も近づくのは何周目か答えなさい。

規則性と答え

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規則性のある植木算・・・（３）は難問（巣鴨中学）

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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは１本、次は２本、その次は４本、・・・というように２倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を３．２５ｍ、小さな木どうしの間は１．２５ｍとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

（１）初めから数えて、大きな木の３本目と４本目の間の距離は、大きな木の２本目と３本目の間の距離より何ｍ長いか求めなさい。

（２）初めから数えて、大きな木の５本目と６本目の間の距離を求めなさい。

（３）初めの大きな木から測って１００ｍのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

考え方と答え

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還元算→最初の水の量は？

親子で考えた還元算

ある日の朝、水そうに水を入れ、昼にその１０％の水を使い、夕方に３０ℓ使いました。夜に残りの３０％の水を使ったら、朝入れた量の半分より５ℓ多く残りました。朝、何ℓ入れましたか？

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相当算→ある小学校の生徒数（中央大学横浜山手女子中学 ２０１０年）

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ある小学校の男子生徒の人数は全校生徒の人数の５５％より２８人少なく、女子生徒の人数より１２人多くなっています。また１年生の人数について調べると、男子と女子の人数の比は２６：２３でその差は６人です。次の問いに答えなさい。

（１）全校の女子の人数を求めなさい。
（２）２年生以上の男子の人数を求めなさい。

考え方と答え

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平均算→わかっているのは水面の高さだけ（大阪星光学院中学 ２０１２年）

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下の図のような円柱形の容器があります。この容器に、底面に垂直な仕切りを入れて２つの部分に分けて同量の水を入れたところ、水面の高さは、５ｃｍ と ８ｃｍ になりました。その後、仕切りをとりのぞくと、水面の高さは何ｃｍになりますか。

考え方と答え

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時計算→針の角度と時刻（海城中学 2011年）

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長針、短針、秒針のついた時計について、次の【ア】～【カ】にあてはまる数を求めなさい。ただし、秒の値のみ分数で答えなさい。

（１）７時から８時の間で、長針と短針の間の角の大きさが６０度になる時刻は、１回目が ７時【ア】分【イ】秒で、２回目が７時【ウ】分【エ】秒です。

（２）７時から８時の間で、短針と秒針の間の角の大きさが１２０度になる ２３回目 の時刻は、７時【オ】分【カ】秒です。

考え方と答え

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年齢算（女子学院中学）

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父、母、3人姉妹の5人家族がいます。全員の年齢の合計は121歳で、父は母より2歳年上です。妹2人は双子で、姉と4歳離れています。7年後には、父母の年齢の合計は子ども達の年齢の合計の2倍になります。現在、母は何歳ですか。姉は何歳ですか。

考え方と答え

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倍数算→Ａ君はいくら持っていた？（豊島岡女子学園中学 ２０１０年）

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Ａ君，Ｂ君，Ｃ君の所持金の比は１：５：６です。Ａ君がＢ君から1000円もらい，Ｂ君がＣ君の所持金の１/６をもらうと，Ａ君とＢ君の所持金は同じになりました。Ａ君がはじめに持っていた所持金はいくらですか。

考え方と答え

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差集め算（慶應義塾中等部）

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太郎君はボールペンを買うために、１本25円のつもりで買う予定の本数分のお金を持っていきました。ところが、１本30円に値上がりしていたため、予定より42本少ない本数しか買えませんでした。用意したお金は最も少ない場合でいくらですか？また、最も多い場合でいくらですか？

考え方と答え

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集合算→全体の人数は？（光塩女子学院中 ２００９年）

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子供たちがクイズに答えました。２問中，1番ができた人は子供全体の６４．６％，２番ができた人は子供全体の３７．８％，２問ともできなかった人は子供全体の９．６％でした。また，２問ともできた人は６０人でした。

（１）２問ともできた人は子供全体の何％ですか。

（２）子供全体の人数は何人ですか。

考え方と答え

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分配算→３人でお金を分けるには？（海星女子中学 分配算）

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姉と私と妹の３人で１３８０円を分けるのに、姉は私より２３０円多く、妹は私より１１０円少なくなるようにしたいと思います。それぞれいくらずつ分けたらよいでしょうか。

線分図による解説と答え

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面積図で解く過不足算の基本問題（慶應義塾湘南藤沢中等部 ２０１１年）

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りんごを箱につめるのに、１箱に５個ずつつめると４個余り、１箱に１２個ずつつめると、７個しか入らない箱が１箱と、空の箱が８個箱ができます。りんごの個数はいくつですか。

面積図による解法例

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和差算→平面図形の長さ（浦和明の星女子中学 ２０１３年）

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１辺の長さが24cmの正方形の紙を、図１のように同じ形をした４つの紙に切り分けました。これら４つの紙を、図２のように大きな正方形ができるようにおきかえたところ，斜線の部分のような１辺の長さが10cmの正方形のすきまができました。

①図２の[ア]にあてはまる数を答えなさい。

②図１の[イ]にあてはまる数を答えなさい。

図１　　　　　　　　　　　　　　　図２

考え方と答え

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