分野別1500解法

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2013年6月

約束記号計算の難問(開成中学 2012年)

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2以上150以下の整数Nに対して、<N>はNの約数の中で2番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、6の約数は1,2,3,6 なので、<6>=3 であり、7の約数は1,7 なので<7>=1 です。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2以上150以下のすべての偶数Nに対する<N>の和、すなわち、<2>+<4>+<6>+・・・+<150>を求めなさい。

(2)2以上150以下のすべての3の倍数Nに対する<N>の和、すなわち、<3>+<6>+<9>+・・・+<150>を求めなさい。

(3)A÷5=<A>、B÷7=<B>、C÷11=<C> となるような2以上150以下の整数A,B,C はそれぞれ何個ありますか。

(4)2以上150以下のすべての整数Nに対する<N>の和、すなわち、<2>+<3>+<4>+・・・+<150>を求めなさい。なお、2以上150以下の整数Nのうち、<N>=1 であるものは35個です。

考え方と答え

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規則性→なぞの箱の秘密は?(白百合学園中学 2007年)

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連続した4つの数を入れると図Aのように出てくる【なぞの箱A】があります。

(1)まずはじめに、1234を【なぞの箱A】に入れます。2回目以降は、その出てきた数を再び【なぞの箱A】に入れます。これをくり返していくと、2007回目にはどんな数が出てきますか。

次に、連続した4つの数を入れると、図Bのように出てくる【なぞの箱B】を用意しました。

(2)はじめに、1234を【なぞの箱A】に入れ、2回目は、その出てきた数を【なぞの箱B】に入れ、3回目は、その出てきた数を【なぞの箱A】に入れ、・・・と、A,Bを交互に入れていきます。2007回目にはどんな数が出てきますか。

1

考え方と答え

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並んだ数の規則性(埼玉栄中学 2010年)

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図のように、数をある規則にしたがって並べていきます。
(1)上から4番目で、左から10番目にある数はいくつですか。
(2)2010は、上から何番目で、左から何番目ですか。

521

考え方と答え

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周期性→連続した数の掛け算(筑波大学附属駒場中学 2012年)

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1からA までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「0」の個数を記号<A>で表します。

例えば、

1×2×3×4=24   なので、<4> の数値は「0」で、

1×2×3×4×5=120 なので、<5> の数値は「1」です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)<10>、<15>の数値をそれぞれ答えなさい。

(2)<A> の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から2つ答えなさい。

(3)<1>、<2>、<3>、・・・、<125> の数値の合計を求めなさい。

考え方と答え

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売買損益算→価格と比(SAPIX マンスリーテストより)

ある商品を定価の30%引きで36個売ったときの利益と、25%引きで24個売ったときの利益は同じです。この商品1個の原価が480円のとき、この商品1個の定価は何円ですか?

Snnac061s

親子で考えた解法例

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濃度算→てんびん図の基本的な使い方(浅野中学 2011年)

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容器の中に、濃度20%の食塩水400gが入っています。この容器に濃度5%の食塩水をよくかき混ぜなから毎秒10gの割合で流し込んでいきます。このとき、容器内の食塩水の濃度が13%になるのは、濃度5%の食塩水を入れ始めてから何秒後ですか。

1

てんびん図と答え

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3人でお金を分けるには?(海星女子中学 分配算)

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姉と私と妹の3人で1380円を分けるのに、姉は私より230円多く、妹は私より110円少なくなるようにしたいと思います。それぞれいくらずつ分けたらよいでしょうか。

3

線分図による解説と答え

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仕事算→容器jに水を入れる(洛星中学 2013年)

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下の図のような容器に,2つのじゃ口A,Bから水を入れます。容器が空の状態から,Aのみで水を入れると20分でいっぱいになり,A,B両方で水を入れると11分40秒でいっぱいになります。

1

(1)Bのみで水を入れると、何分でいっぱいになりますか。

次に,容器が空の状態からA,B両方で水を入れて,水面がQの
位置にきたときにBのじゃロを閉めてAのみで水を入れたところ,
水面の上がる速さは最初から最後まで変わらず,最初から16分でいっぱいになりました。

(2)RS:STを求めなさい。

(3)PQ:QRを求めなさい。

考え方と答え

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ニュートン算→(大阪桐蔭中学 2010年)

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ある牧場では、12頭の牛を放すと牧場の牧草が27日で食べつくされてしまいます。また、24頭の牛を放すと、9日で牧草が食べつくされてしまいます。牧場の牧草は1日あたり一定の割合で生えるものとして、この牧場に60頭の牛を放したとき牧草は何日で食べつくされるか答えなさい。

Ilm23_fc03010s

考え方とイメージ図と答え

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方陣算(学習院女子中等科 2009年)

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図のように、正方形の周りに碁石を並べていきます。

1

図は1周目と2周目を示しています。このとき、次の問に答えなさい。

(1)一番外側の石の数が200個になるのは、何周目まで並べたときか答えなさい。

(2)並べた石の数が10000個に最も近づくのは何周目か答えなさい。

規則性と答え

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規則性のある植木算・・・(3)は難問(巣鴨中学)

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図のように木を植えていきます。大きな木から始めて、大きい木と木の間に小さな木を植えます。小さな木は、初めは1本、次は2本、その次は4本、・・・というように2倍ずつ増やしていきます。大きな木と小さな木の間を3.25m、小さな木どうしの間は1.25mとし、木の太さは考えないことにして、次の各問に答えなさい。

(1)初めから数えて、大きな木の3本目と4本目の間の距離は、大きな木の2本目と3本目の間の距離より何m長いか求めなさい。

(2)初めから数えて、大きな木の5本目と6本目の間の距離を求めなさい。

(3)初めの大きな木から測って100mのところまでに大小合わせて何本の木があるか答えなさい。

1

考え方と答え

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還元算→最初の水の量は?

親子で考えた還元算

ある日の朝、水そうに水を入れ、昼にその10%の水を使い、夕方に30ℓ使いました。夜に残りの30%の水を使ったら、朝入れた量の半分より5ℓ多く残りました。朝、何ℓ入れましたか?

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相当算→ある小学校の生徒数(中央大学横浜山手女子中学 2010年)

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ある小学校の男子生徒の人数は全校生徒の人数の55%より28人少なく、女子生徒の人数より12人多くなっています。また1年生の人数について調べると、男子と女子の人数の比は26:23でその差は6人です。次の問いに答えなさい。

(1)全校の女子の人数を求めなさい。
(2)2年生以上の男子の人数を求めなさい。

Pog007s

考え方と答え

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平均算→わかっているのは水面の高さだけ(大阪星光学院中学 2012年)

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下の図のような円柱形の容器があります。この容器に、底面に垂直な仕切りを入れて2つの部分に分けて同量の水を入れたところ、水面の高さは、5cm と 8cm になりました。その後、仕切りをとりのぞくと、水面の高さは何cmになりますか。

1

考え方と答え

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時計算→針の角度と時刻(海城中学 2011年)

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長針、短針、秒針のついた時計について、次の【ア】~【カ】にあてはまる数を求めなさい。ただし、秒の値のみ分数で答えなさい。

(1)7時から8時の間で、長針と短針の間の角の大きさが60度になる時刻は、1回目が 7時【ア】分【イ】秒で、2回目が7時【ウ】分【エ】秒です。

(2)7時から8時の間で、短針と秒針の間の角の大きさが120度になる 23回目 の時刻は、7時【オ】分【カ】秒です。

Tokei

考え方と答え

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年齢算(女子学院中学)

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父、母、3人姉妹の5人家族がいます。全員の年齢の合計は121歳で、父は母より2歳年上です。妹2人は双子で、姉と4歳離れています。7年後には、父母の年齢の合計は子ども達の年齢の合計の2倍になります。現在、母は何歳ですか。姉は何歳ですか。

A2 A6

A4A11A11

考え方と答え

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倍数算→A君はいくら持っていた?(豊島岡女子学園中学 2010年)

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A君,B君,C君の所持金の比は1:5:6です。A君がB君から1000円もらい,B君がC君の所持金の1/6をもらうと,A君とB君の所持金は同じになりました。A君がはじめに持っていた所持金はいくらですか。

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考え方と答え

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差集め算(慶應義塾中等部)

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太郎君はボールペンを買うために、1本25円のつもりで買う予定の本数分のお金を持っていきました。ところが、1本30円に値上がりしていたため、予定より42本少ない本数しか買えませんでした。用意したお金は最も少ない場合でいくらですか?また、最も多い場合でいくらですか?

1_2

考え方と答え

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集合算→全体の人数は?(光塩女子学院中 2009年)

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子供たちがクイズに答えました。2問中,1番ができた人は子供全体の64.6%,2番ができた人は子供全体の37.8%,2問ともできなかった人は子供全体の9.6%でした。また,2問ともできた人は60人でした。

(1)2問ともできた人は子供全体の何%ですか。

(2)子供全体の人数は何人ですか。

考え方と答え

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分配算→3人でお金を分けるには?(海星女子中学 分配算)

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姉と私と妹の3人で1380円を分けるのに、姉は私より230円多く、妹は私より110円少なくなるようにしたいと思います。それぞれいくらずつ分けたらよいでしょうか。

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線分図による解説と答え

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面積図で解く過不足算の基本問題(慶應義塾湘南藤沢中等部 2011年)

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りんごを箱につめるのに、1箱に5個ずつつめると4個余り、1箱に12個ずつつめると、7個しか入らない箱が1箱と、空の箱が8個箱ができます。りんごの個数はいくつですか。

Ilm23_ba02001s

面積図による解法例

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和差算→平面図形の長さ(浦和明の星女子中学 2013年)

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1辺の長さが24cmの正方形の紙を、図1のように同じ形をした4つの紙に切り分けました。これら4つの紙を、図2のように大きな正方形ができるようにおきかえたところ,斜線の部分のような1辺の長さが10cmの正方形のすきまができました。

①図2の[ア]にあてはまる数を答えなさい。

②図1の[イ]にあてはまる数を答えなさい。

図1               図2

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考え方と答え

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