分野別1500解法

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2014年5月

これがヒポクラテスの三日月!

インターネット自宅学習システム「e点ネット塾」

Mondaizu

「ねえ、黄色の面積と緑の面積って同じなんだって。どうして?」

「黄色の部分は木の葉形の面積。習ったよね?」

Konoha

「一辺×一辺×3.14÷2-一辺×一辺、で

一辺×一辺×0.57って教わった」

「緑の部分のおうぎ形の半径は正方形の対角線だから、

対角線×対角線が半径×半径になるね。

対角線×対角線って、一辺×一辺の2倍でしょ」

「なんで?」

「正方形の面積は一辺×一辺=対角線×対角線÷2だから」

「そうか・・・」

「だから緑部分の面積は

2×一辺×一辺×3.14÷4-一辺×一辺で

木の葉形と同じ、一辺×一辺×0.57になるわけ」

「形がこんなに違うのに、ホントカナ?って感じ」

なんか納得しない様子です。そこで・・・

Hipo

「黄色い三日月部分の面積が緑の三角形の面積と同じになるのは知っているよね?」

「ヒポラテスの三日月!」

「ヒポクラテス!」

「こんな風に図形を移動してみるとわかるでしょ(クリックしてみてください)

「よけいわからなくなった・・・」

またため息・・・

Ha_2

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解答みてもわからない!

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わからないから、解答をみたんだけど・・・

Monzu1

1

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線分図にしてみたら?(お茶の水女子大附属中学)

中学受験専門・家庭教師の一橋セイシン会


道子さんと春子さんど秋子さんは、3人で遊園地に遊びに行きました。道子さんは交通費を3人分で1200円、春子さんは入園料を3人分で600円、それぞれ支払いました。また、秋子さんはジュースを3本分で27O円支払い、道子さんに500円玉をわたしました。そのあとで、春子さんが他の2人にいくらかずつ支払ったところ、3人の支出はすべて等しくなりました。

(1)春子さんは、道子さんにいくら支払いましたか。

(2)春子さんは、秋子さんにいくら支払いましたか。

(3)3人は、1人あたりいくら支払ったことになりますか。

Ilm13_bb10007s1

Bandicam_20140529_081343531Bandicam_20140529_081405265

Bandicam_20140529_081423812

図にしてみるとわかりやすいね。

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ぼくの規則だって解けるよ!(SAPIX マンスリー問題より)

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Bandicam_20140528_085900479

息子の答えは合っていたのですが、問題用紙の筆跡をみると・・・・・・

どうも模範解答と違ったとき方をしているみたいなのです。

標準解答はこう↓なのですが・・・

Bandicam_20140528_085924900

息子は2つずつのブロックに分けて、

20番目は⑩ブロックの右側だから分子は10で分母は1たして11って

やったみたいです。

Kisokumusuko

「この分数、どんな規則でならんでいると思う?」

って聞いたら、

「後の分子と分母をたすと前の分母になる」

って言うのです。

確かにそうなるみたいだけど・・・

こっれって本当にこの問題の規則なのか

よくわからなくなりました???

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赤玉と白玉を取り出すよ!(SAPIX サマーサポートより)

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Box004s

袋の中に赤玉が70個、白玉が50個入っています。いま、この袋の中から赤玉3個と白玉3個を取り出すことをA、この袋の中から赤玉を1個取り出し、袋の中へ白玉を1個入れることをBとします。

(1)Aだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が2:1になりますか?

「赤白、両方とも3個ずつ減っていくんだから・・・」

「赤と白の差は20のまま変わらない」

Tama1

「2:1の1にあたる分が20のときだから、赤は40個」

「そう、70から40まで30個少なくなった」

「30÷3で10回だ」

(2)Bだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が1:5になりますか?

「Bの場合で変わらないものは?」

「全体の個数」

「そう、1:5になっても赤と白の合計は120個」

Tama2

「1にあたるのが20個だ」

「赤玉が70個から20個になったわけ」

「50回だ」

(3)A、Bをそれぞれ何回やると、袋の中の赤玉が2個、白玉が10個になりますか?

「120個が12個に減っている。A1回で6個減るから120-12の108個を6で割ると18回」

Tama3

「それがよくわからない」

「なんで?Aが18回だと赤玉は70個-18回×3個で16個になるはず。ところが実際は2個だから16-2でBを14回やったことになるでしょ」

「だってAを18回やったら54個だから、白玉なくなっちゃうよ!」

「計算上そう考えるの」

「じゃあ白玉は何個?」

「-4個」

「何?それ?」

「AとBを交互にやったから白玉はなくならなかったって考えれば?」

「なんかおかしい」

(4)A、B合わせて12回やって、袋の中の赤玉と白玉を等しくするには、12回のうちAを何回やればいいですか?

「差を減らすのはBだけだから、Bで20の差を0にすればいいね」

Tama4

「B1回で差が2つ減る」

「そう、だから20割る2でBは10回」

「Aは2回だ」

「そう、この問題はAとBの変わらないところに注目するの」

「でも(3)はあやしい」

「まだ言ってる・・・」

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長さが2倍だと面積も2倍かな?(Sunday Sapixより)

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Hi1

Oを中心として半径2cm、4cm、6cmの半円があります。

面積比がエ:オ:カ=1:9:10のとき角Aは何度ですか?

「半径4cmのおうぎ形の面積って、半径2cmのおうぎ形の2倍だよね?」

「まだそんなこと言ってんの?面積比なんだから・・・」

「4倍だった」

「6cmなら?」

「9倍」

「だから、角度が同じならエ:オ:カは・・・」

「1:4:9!」

「また、あわてて間違う」

1:(4-1):(9-4)=1:3:5

「それが1:9:10ということは・・・」

「角度が違うからでしょ」

(1×○):(3×□):(5×△)=1:9:10

「○=1、□=3、△=2だ」

「求めているのは○だから」

180゜×1/(1+3+2)=30゜

「オの角度が90゜で、カの角度は60゜」

「Aの角度だけでいいの!」

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ちゃんと約分した?(麻布中学 2010年)

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1mの紙テープがあります。このテープを3等分、5等分、7等分したところに印をつけ、印をつけたところで切断します。このときできる紙テープの長さの種類をすべて書きなさい。分数は約分できるものはすべて約分すること。

「印をつけたところは?」

「3等分するところ→1/3、2/3

5等分するところ→1/5、2/5、3/5、4/5

7等分するところ→1/7、2/7、3/7、4/7、5/7、6/7」

「分母を同じにした?」

「3,5,7の最小公倍数が、3×5×7=105だから・・・

3等分するところ→35/105,70/105

5等分するところ→21/105,42/105,63/105,84/105

7等分するところ→15/105,30/105,45/105,60/105,75/105,90/105」

「小さい順にならべると?」

「分子の小さい順だから、

15,21,30,35,42,45,60,63,70,75,84,90」

「間かくを調べればいいね」

「15,6,9,5,7,3,15,3,7,5,9,6,15の6種類だ」

「長さの種類は?」

「15/105、6/105、9/105、5/105、7/105、3/105」

「ちゃんと約分した?」

「1個しなかった・・・

1/7、2/35、3/35、1/21、1/15、1/35」

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中学受験専門プロ家庭教師の中学受験家庭教師ドクター

描いてみなきゃわからない!(早稲田中学 2009年)

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Ki1_2

同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図1の場合は4個の正方形を通り、図2の場合は2個の正方形を通ります。

①縦に3個、横に4個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

②縦に12個、横に16個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

③縦に12個、横に17個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

「何で図3に描いてみないの?描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図3を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図2みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

Ki34_3

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから6つの正方形を通る」

「そんな風にやるの?規則性は?」

「だんだん規則性が見えてくるの!」

「②も同じようにやるの?」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

Ki16

「緑が①の図形と考えれば、①の4倍で24個か」

「そう、ここで規則性」

「???」

Ki341_2

「正方形が横4つなら境目は赤の3本。縦が3つなら境目は青の2本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は3+2で、それにスタートした正方形1をたして6個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、1たせばいいの?」

Ki21_2

「2×2のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも1かける1なら境目が0だから0+0+1でこの規則が成り立つね。2×2はその2倍で2個」

「重なるか重ならないかの違いは?」

「縦と横の数が1以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「2×2は2が共通の約数だ」

「では③はどう?」

「もたないから16+11+1で28個だ」

Ki17

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな?」

Ki3416_2

「縦3と横4をたすと7だから、縦1、横6個にする。これも6個になるよ」

「えっ?じゃあ③の縦12個、横17個の場合は?」

「たすと29だから、縦1個、横28個で28個!」

「??????」

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正三角形がかくれているんだ!(麻布中学 2009年)

中学入試『10倍分かる過去問(映像授業)』首都圏110校・4年分 算・理

Seiro1

正六角形ABCDEFの辺ABを2等分し、辺CDを4等分します。

このとき、図の四角形BCNMと六角形AMNDEFの面積比を

最も簡単な整数比で答えなさい。

「また、正六角形の中の正三角形を使う問題だ、きっと」

「わかってきたね、で、どうする?」

「わからない」

「まず、四角形BCNMを二つの三角形に分ける」

Seiro2

「で、正三角形はいつでてくるの?」

「ここで」

Seiro3

「なんだか、正三角形の中に入りそうもないけど・・・」

「ここで△青を等積移動する」

Seiro4

「おお、正三角形の1/2になった」

「△黄も等積移動」

「えっ、どこへ?」

Seiro5

「ここ」

「正三角形の中に入ってこない」

「正三角形の中にある別の三角形を利用するわけ」

「どれ?」

Seiro6

「△緑が正三角形の1/4でしょ」

「△黄は△緑の高さが1.5倍だから

面積は3/2倍になるわけか」

「そう、だから△黄は正三角形の1/4×3/2で

3/8になる」

「1/2と3/8をたして四角形BCNMは

正三角形の7/8だ」

「正三角形を1とした場合ね・・・」

「正六角形は6だから、六角形AMNDEFは

6-7/8で、5と1/8になるから、

7/8:41/8で7:41」

「まず三角形を2つに分けることに気がつかない。そして△青の等積移動はわかっても、△黄の等積移動と△緑との面積比にも気がつかないでしょう」

「人事みたいに言わないで、もっとひらめくように練習しなさい」

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どう考えればいいかわからない!(SAPIX入室、組分けテストより)

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ご相談後、お子様に合ったオーダーメイドカリキュラムで個別指導。

先月のマンスリーに引き続き、今回もダメでした。

場合の数。

2つの箱A、Bがあり、Aには4個まで、Bには3個までボールを入れることができます。青・緑・桃・黄・赤の5個のボールを、AとBに分けて入れます。入れる順番は考えないとして、ボールの入れ方は全部で何通りですか?

Tama0_3 

「どう考えればいいかわからない」

「まず、AとBに分けて入れる入れ方が何パターンあるか考えるの」

Tama1

Aに4個、Bに1個の場合。

「Bに入れない場合は考えないでいいの?」

「ボールは全部入れなきゃならないでしょ」

「そんなこと問題に書いてある?」

「読み取るの」

「だからこの問題きらいなんだ」

「いいから次」

Tama2

Aに3個、Bに2個の場合。

「色が違う場合は?」

「それは後から考えることにして、まずは個数の分け方」

Tama3

Aに2個、Bに3個の場合。

「Bに4個の場合は?」

「だからBには3個しか入らないって書いてあるでしょうに」

「ふーん。すると、この3パターンか・・・」

「そう。あとはこの3パターンで色を考えるわけ。ここからはできるでしょ」

「Bに1個の場合は5通り。

Bに2個の場合は5×4÷2で10通り。

Bに3個の場合はAに2個だから5×4÷2で10通り。

全部で25通りだ」

「できるじゃない」

「最初のパターンがいくつあるのか思いつかないよ。何か法則ないの?」

「あんたの得意な地道法則ぐらいかな」

「やっぱりきらいだ」

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天びん図で解く食塩水問題(SAPIXサマーサポートより)

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「この模範解答の意味がよくわからない」

「どんな問題?」

2種類の食塩水A、Bがあります。A、Bを混ぜあわせるとき、A:B=2:3にすると12%の食塩水、A:B=3:2にすると10%の食塩水ができます。食塩水A、Bの濃度はそれぞれ何%になりますか?。

Ten1

「食塩水の量を決めて考えるとわかりやすい、って書いてあるね」

「Aを200g、Bを300gとかにするってこと?」

「そう、合計500gの食塩水が12%だから、食塩は60gになるわけ」

「Aが300g、Bが200gのときは10%だから50gか」

Ten2_4

  「ここからA、Bを計算する、って解答には書いてあるね」

(これって連立方程式?)

「消去算だろ?Bをそろえて消すには・・・」

上の式を2倍⇒A×400+B×600=120

下の式を3倍⇒A×900+B×600=150

A×500=30

「Aは0.06だから6%、0.06をAに入れて計算するとBは0.16で16%になる」

「塾ではもっとかんたんな方法で習ったけど、よくわからなかった」

「どんな?」

Ten3

「こんなてんびん図を描いて・・・」

Ten4

「③-②の①が2%にあたるから、2%ずつに区切ると・・・」

Ten5

「Aが6%でBが16%になるって」

「えっ、てんびん図ってこんな風に使うの?」

「そうらしい」

「・・・・・・」

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『中学入試・10倍分かる過去問(映像版)首都圏110校・学校別』

解けそうで解けなかった!補助線と面積(芝中学 2009年)

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「解けそうで解けなかった」

Zu1_2 

1辺が6cmの正方形の各辺を3等分した点を図1、図2のように結びました。

(1)図1の黄色部分の面積は何c㎡ですか?

(2)図2の青色部分の面積は何c㎡ですか?

「図1だけど、どこに補助線引いたの?」

「ここ」

Zu0

「一見よさそうだけど、これだと高さがわからないから、等積変形が使いにくいのでは?」

「いろいろやってて時間がかかっちゃった」

「ここがいいのでは?」

Zu2

「そうか、アとイが同じでイとウも同じか」

「そう、だから黄色は底辺4cm高さ2cmの直角三角形の面積の1/3」

「4/3だから1と1/3c㎡」

「図2はこの面積を使う」

「えっ?、じゃあ(1)ができないと、できないじゃないか」

「ふつうそういうもんじゃない?」

Zu4

「これも、こんなところに補助線か」

「緑と青の三角形は、例の砂時計形の相似」

「底辺が3:1だから高さも3:1、△緑の高さは2cm÷4×1で1/2cm」

「面積は2cm×1/2cm÷2で1/2c㎡」

「そうか、これを(1)の△アから引けば△赤が出るのか」

4/3-1/2=5/6c㎡

Zu3

「あとは、全体の正方形から4つの緑直角三角形と、4つの△赤を引けばいい」

「△緑と△赤の合計が19と1/3c㎡だからこれを36c㎡から引いて、答えは16と2/3c㎡」

「こういった問題がすんなりできればね・・・」

「しばらくお待ちください・・・」

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回転体のイメージがわからない!(巣鴨中学 2009年)

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Mondai

正八面体ABCDEFがあり、BD=6cmです。

AFを軸として三角形ABCを回転させたときに

できる立体の体積を求めなさい。

「半径3cmの円錐だろ?」

「そんな簡単な問題じゃないの」

平面図形の回転問題(回転体)は、頭の中でイメージを作るのが大変です。

「こんな風にイメージしたんじゃないの?」

Katimen2_2 

「そうそう」

「真上から見ると・・・」

Kaisetu

「△ABCはまん中の白い部分は通らない。それにOBとOMは長さが違うので、OMを半径とした円すいがもう一つできる。こんなイメージね」

Katimen3

「わかるわけないよ、こんな形・・・」

「外側の円すいから内側の円すいを引いたのが答え」

Katimen4

「内側の底面の半径は?」

「この前やったでしょうに。OBを対角線と考えればOB×OB÷2がOM×OMになるわけ」

「OMxOM=3x3÷2=4.5、

底面積=3x3x3.14-4.5x3.14=4.5×3.14

体積=4.5x3.14x3÷3=14.13立方センチか。

わかれば計算はそんなに難しくない」

「わかるかどうかが問題なの!」

まだまだ訓練が必要なようです。

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和と差の考え方(Sapix Daily Supportより)

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Img

リンゴを子どもに配ることにしました。20個ずつ配ると18個足りません。そこで、全員に同じ個数ずつ配れるだけ配ったら、10個余りました。リンゴの個数は何個ですか?すべての場合を答えなさい。

「この、すべての場合、っていうのがいやなんだよな」

「そんなこと言っててもしょうがないでしょ」

「どうやって考えたらいいのか・・・」

「とにかく図にしてみること。イメージわくし、ヒントがみつかるから」

Zu

「この□がわからないもんなぁー」

「上の20個ずつの ( の数と、下の黒い□ずつの ( の数が同じ数になるのはわかる?」

「人数?」

「そう、では1人のリンゴの差は?」

「20個-□個」

「じゃあ、人数分の差は?」

「人数分の差?」

「18個+10個が人数分の差になってるでしょ」

「そうか、1人分の差で割れば人数が出る」

「そう」

「でも、やっぱり□がわからないと・・・」

「人数は10人より多いよね」

「どうしてそんなことがわかる?」

「だって10人以下だったら余った10個配れるじゃないの」

「そうか・・・」

(18個+10個)÷(20個-□個)=人数

28個÷人数=20個-□個

「だから28を割ることのできる10より大きい数をみつければいい」

「14と28?」

「そう、人数は2通り考えられるわけ」

14人・・・20個×14人-18個=262個

28人・・・20個×28人-18個=542個

「で、□は?」

「14人なら18個で、28人なら19個でしょ」

「だけど、どうして2通りも答えがでるんだろう?」

「どうしって、って・・・???」

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点が移動するイメージ(SAPIX 復習テストより)

「3点の移動じゃなくて、2点移動だから、

やさしいかなと思ったら、もっとムズかった」

長方形ABCDがあり、EFは 辺ADに平行です。点PはEを、点QはBを同時に出発して、点Pは秒速14cmでEF上を、点Qは秒速9cmでBC上をそれぞれ一往復します。
(1)点A、P、Qがはじめて一直線上に並ぶのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?
(2)△APQの面積がはじめて168c㎡になるのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?
(3)△APQの面積が2回目に168c㎡になるのは、2つの点が出発してから何秒後ですか?

Ten0

「実際に2点が動く様子をイメージしてみて」

クリックすると2点が移動します

「した」

「まず、AQを結ぶ直線とEFの交点をRとすると、

△ABQと△AERは相似になるね」

Ten1_3 

「12:8だから3:2 」

「だから点RはEF上をQの速度の2/3で動くわけ。

9cm×2/3 で毎秒6cm」

「点Rの速度なんて、そんなこと気がつくわけないよ」

「あとは旅人算」

Ten2

「一直線になるのはPとRがはじめて出会うとき、ってわけか」

「そう、もうPはもどってきたときだから、

140cm×2÷(Pの14cm+Rの6cm)で14秒後」

「Qの速さじゃなくてRの速さか・・・」

「(2)と(3)もPとRの長さを考える」

「Rね・・・」

Ten3

「面積が168c㎡になるのは、PRの長さが

168c㎡×2÷(8cm+4cm)=28cmのとき」

「で、PとRの差を考える旅人算?」

「そう、28cm÷(Pの14cm-Rの6cm)の3.5秒後」

Ten4

「2回目はPがもどってきたときだから、

PとRの速さの和を使う旅人算?」

「注意するのはPとRが出会うときじゃなくて、28cm離れているとき、ってこと」

「そんなの注意できない」

「(140cm×2-28cm)をPとRの速さの和(14cm+6cm)で割るわけ。12.6秒後ね」

「最後の問題だけに、やっぱりムズイ!」

「答えのイメージを頭に入れといたら?」

全体の動画イメージはコチラ

「試験でも点が動いてくれるといいんだけど・・・」

「算数、しっかり点取ってちょうだい!」

面積図の意味がわからない!(サピックス Daily Support)

果物屋さんがリンゴを仕入れて20%の利益を見込んで売ったところ、40個売れ残ったため、利益は12%になりました。リンゴは何個売れたのでしょうか?

息子が解答用紙を持ってきて、

「この解答の意味がわからない」と言うのです。

解答は

Menseki0

この面積図の意味がわからない、というわけです。

確かに方程式になれた大人では難しい図です。

説明のし方も難しい。

考えた末・・・

Menseki1

「最初は20%の利益を見込んでいたのだから大きい四角。でも実際は40個は利益0だから赤い部分しかお金は入ってこない。」

ここまでは納得。次に・・・

Mensek2_2 

「実際には売れなかった40個も含めて、全部では12%の利益が出たって言っている。つまり、平均したわけよ」

Mensek3

「利益が出た分から、利益のなかった40個に利益を分けてあげて、みんな同じにしたら12%の利益だったって、考えてみたら?」

「だから水の量は同じになるのか・・・」

「水の量じゃなくて、青と緑部分の面積が同じになるの」

「面積がわかっていてタテが0.08だから、割れば横がでるわけか」

なんとかふに落ちたようです。

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台形と面積比つづき(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

「今日はこの前の続きで、解けなかった、(2)」

四角形ABCDはADとBCが平行な台形です。
AE:EB=1:2、AD:BC=3:4、BF:FC=1:1のとき、
(1)EG:GCを求めなさい。

(2)四角形GHFCの面積は台形ABCDの面積の何分のいくつですか?

「EG:GCは1:2になったから、比率をまとめると・・・」

Menseki10

「四角形GHFCはここ」

Menseki11

「どこから考えたらいいか、わからない」

「まず緑の三角形の相似比は?」

Menseki12

「2:2だから1:1」

「そう、だからEH:HF=1:1」

Menseki13

「この比なんか関係あるの?」

「△青と△緑の比は?」

Menseki14

「1:2か」

「そう、だから△青は△EFCの1/3になる」

Menseki15

「△青と△赤は1:1だ」

「だから△青は△青+赤の1/2、△EFCの1/3×1/2で1/6になる」

Menseki16

「四角形GHFCは△EFCの5/6か」

「次に△赤は?」

Menseki17

「そうか、台形の3/4だ」

「4/7でしょ」

Menseki18

「△青は赤△ABCの2/3」

「そして△EFCは青△EBCの1/2」

Menseki19

「台形の4/7×2/3×1/2で4/21だから・・・」

Menseki20

「四角形GHFCは台形の4/21×5/6で10/63になるわけ」

「こんなの、やっぱり試験では解けそうにないよ」

「順番に比を記入していけばわかると思う」

「色がついているとなぁー」

「頭で色を想像してみたら?」

「白黒だ」

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台形と比(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

四角形ABCDはADとBCが平行な台形です。

AE:EB=1:2、AD:BC=3:4、BF:FC=1:1のとき、

EG:GCを求めなさい。

Menseki0

「相似の三角形を見つけることはわかるんだけど、それがどれだか・・・」

「どこに補助線引いたの?」

「ここ」

Menseki1

「ちょっとずれていない?ここでしょう?

そしてBDとの交点をIにする」

Mensek2

「そうか△ABDと△EBIか・・・」

Mensek3

「AB:EB=(①+②):②=3:2」

Mensek4

「ここで相似比の三角形を変えるわけ」

「やっぱりできなかった」

Mensek5

「△EGIと△CGBも相似でしょ」

「EI:CB=2:4=1:2か・・・」

Mensek6

「だからEG:GC=1:2]

「ムズイ!」

「でもこっれって(1)じゃない。(2)は四角形GHFCは台形ABCDの面積の何分のいくつになるかっていう問いでしょ?どう解いたの?」

「解かなかった」

「解けなかったんでしょ!」

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通過算の神になる!(SAPIX マンスリーテストより)

ある鉄道路線に、図のような2つのトンネルA、Bがあり、その間は橋で結ばれている区間があります。トンネルBの長さはトンネルAの長さの0.6倍です。この区間を、長さ40mの電車が西から東に向かって通過しました。下のグラフは、この電車が通過する様子を観察し、電車がトンネルAに入り始めてからの時間と、電車が見えていた部分の長さとの関係を表したものです。

(1)グラフXは何秒ですか?

(2)トンネルAの長さは何mですか?

Tuka1

「合っているはずなんだけど、間違ってた」

「まず、トンネルAの長さを電車が走るのに25秒かかった」

Tuka2

「入り始めが0で、出始めが25秒だから・・・」

「トンネルBなら25秒×0.6で15秒かかるわけ」

「XがBトンネルへの入り始めか・・・」

Tuka3_2

「Bトンネルを出始めるのが47.5秒」

Tuka4

「だから、47.5秒から15秒引いてXは32.5秒だ」

「では、グラフのななめ部分はなんでしょう?」

「電車の長さ40mを走った時間だから、37.5秒-32.5秒で5秒!」

「Aトンネルは25秒かかったんでしょ?」

「5倍かかったわけだから40m×5で200m!」

「試験でできるように!」

「通過算の神になる!」

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半円とおうぎ形の面積(SAPIX算数補充プリント)

Mondai

半円とおうぎ形の面積

直径が重なった2つの半円があり、小さい円の中心はOで半径は3cm、大きい円の中心はO´で半径は4cmです。黄色い部分の面積は何c㎡ですか?

等積移動して求める面積部分を一つにまとめると考えやすいのですが・・・

息子は移動部分が見つかって得意顔。

Kao

Ougikiduki

「あとはこうする」

と言って考えたのは・・・

Niseougi

??????

「あっているとは思うけど、最初の形のそれっておうぎ形じゃないのでは?」って言っても

「おうぎ形だよ」って言い張る。

Ougibimyo

「ほら、ちがうでしょ」って図で示すと・・・

「ビミョーか」

微妙じゃない、算数は正確さなのだ!

ビミョーじゃない解答はコチラ

静止画解答はコチラ

流水算と旅人算(Sapix マンスリーテストより)

「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はだいたいこうなってくるでしょ」

Ha

立方体の切り口線 (駒場東邦中学 2008年)

Pic_0309

立方体ABCD-EFGHがあり、AB,ADの真ん中に点P,Qをとります。この立方体を、3点P,Q,Gを通る平面で切ったとき、切り口の線を展開図に書き込みなさい。

なお、PQの線はすでに描いてあるとおりです。

「5角形になると思うんだけど・・・」

「そう、こうなる」

Zu5

「展開するとわからなくなる」

「各頂点がどこへ移動していくかを考えて、順番に展開していく」

「Gがどこへ行くかだな」

「こんな感じで展開してみる」(クリックを) 

「展開図で PとGやQとGを結ぶとき、直線でいいのかな?」

Zu6_2

「切り口の線のある面を展開して、となりの面といっしょにまっすぐにのばしてみると、切り口は直線になってるでしょ?」

「ほんとだ」

Zu7

食塩水(サピックス入室、組分けテストより)

濃さ7%の食塩水600gを加熱して□g蒸発させた後、食塩30gを加えてよくかき混ぜると、濃さ18%の食塩水になります。□は何gですか?

「どうやって解いたの?」

「7%で600gの食塩水だから、

溶けている塩は42g」

「うん。それから?」

「30gの塩を加えたから72gの塩になった」

「うん、うん。それから?」

「18%になったわけだから、

72g÷0.18で400gの食塩水ができたことになる」

「うん。うん。そうね。だから?」

「あとは600g-400gで、答えは200g」

Kao

ちゃんと、ひっかかるべきところでひっかかっています。

「7%だから確かに塩は42g」

Sio1

「それに30gの塩が加わって、400gの食塩水ができる」

Sio2

「新しく加えた塩の分を忘れていない?」

「あー、30g、600gにたすのか!5点損した!」

Sio4

「塩の量をそれぞれの食塩水から引いてもいいわけ」

Sio3

「問題に取り組む姿勢があまいの!」

「食塩水は塩からい」

「・・・・・・」

速さの差(SAPIX入室、組分けテストより)

ある公園の中に1周○○mのジョギングコースがあり、
A君とB君が同じ方向に一定の速度で走っています。
A君は8分ごとにB君を追い越しています。
A君が今より時速3km速く走ると6分ごとに追い越します。 ジョギングコースは1周何mですか?

Sokudo0

「これ、どうやって解いたの?」

「8分と6分だから8:6で4:3、距離は逆比だから3:4、

差の1に当たるのが3km。だから3は3倍の時速9kmになる。

時速9kmは1分だと150m、8分だと1200mになる」

「答えは合っているみたいだけど、何か変・・・」

「そうなんだ。A君が1200mのコースを8分で1周したら、

B君も走っているわけだから、追い越せないよね。

だから間違ってると思って消して考えていたら、

わからなくなっちゃって・・・」

「解答のイメージはこうだけど」

静止画解答はコチラ

「時速9kmってA君の速さじゃないのでは?」

「じゃあ何?」

「A君とB君の速さの差でしょ。それが時速9kmから12kmになったって考えてみれば?」

「よくわからない」

「チーターが時速120kmで走っていて、新幹線が時速129kmで走っていても、差は時速9kmだから、8分で1200mの差がつくっていうこと」

「チーターは8分も全力で走れないよ」

「たとえばの話!」

SAPIX マンスリー 算数問題(相似と比)

四角形ABCDはADとBCが平行な台形。

また、ABとDEも平行。点EがBCを3:2に分けるとき、
(1)△ABF:△GDFは何対何ですか?
(2)AF:FG:GCはどんな比になりますか?
(3)台形ABCDが320c㎡のとき、四角形FBEGの面積は何c㎡になりますか?

Daimenzu

ムービー解答はコチラ

(1)の静止画解答 

(2)の静止画解答 

(3)の静止画解答

正八角形内の角度(渋谷教育学園渋谷中学 受験算数問題より)

Mondai

ある円の円周を8等分して、図のように線で結んだとき、角Aの大きさを求めなさい。

「一行問題に出てきそうね」

「8等分した点から中心Oを通って直径を引いてみると、

Oのまわりの一つ一つの角度はみんな45゜だ」

Kaku1

「8等分の線ってPを通る?」

「通りそうだけど・・・」

Kaku0

「通るね」

Kaku2

「角Aは角緑+角黄色だ」

「三角形の外角と内角の和の関係使ったわけね」

Kaku3

「二つの赤い三角形は同じ二等辺三角形になる」

「今日はよくわかってるね」

「で、角緑も角黄色も(180゜-45゜x3)÷2=

22.5゜、

だから角Aは45゜になる」

「正解!」

「よしっ!」

「ところでSAPIXの復習テストどうだった?」

「微妙・・・」

まだまだかな・・・

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