分野別1500解法

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描いてみなきゃわからない!(早稲田中学 2009年)

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Ki1_2

同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図1の場合は4個の正方形を通り、図2の場合は2個の正方形を通ります。

①縦に3個、横に4個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

②縦に12個、横に16個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

③縦に12個、横に17個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

「何で図3に描いてみないの?描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図3を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図2みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

Ki34_3

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから6つの正方形を通る」

「そんな風にやるの?規則性は?」

「だんだん規則性が見えてくるの!」

「②も同じようにやるの?」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

Ki16

「緑が①の図形と考えれば、①の4倍で24個か」

「そう、ここで規則性」

「???」

Ki341_2

「正方形が横4つなら境目は赤の3本。縦が3つなら境目は青の2本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は3+2で、それにスタートした正方形1をたして6個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、1たせばいいの?」

Ki21_2

「2×2のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも1かける1なら境目が0だから0+0+1でこの規則が成り立つね。2×2はその2倍で2個」

「重なるか重ならないかの違いは?」

「縦と横の数が1以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「2×2は2が共通の約数だ」

「では③はどう?」

「もたないから16+11+1で28個だ」

Ki17

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな?」

Ki3416_2

「縦3と横4をたすと7だから、縦1、横6個にする。これも6個になるよ」

「えっ?じゃあ③の縦12個、横17個の場合は?」

「たすと29だから、縦1個、横28個で28個!」

「??????」

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