やり方はわかったんだけど・・・（SAPIX マンスリーテストより）

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四角形ABCDは長方形です。黄色の部分の面積は何ｃ㎡ですか？

「やり方はわかったんだけど、うまくいかなかった」

「左の面積移動教材にある長方形を分割する問題の応用でしょ」

「だから線を引いて分けてみたんだけど・・・」

「いいじゃない、どうしてできなかったの？」

「左上と右下は直角三角形二つに分けられたけど、右上と左下がうまくいかない。重なっちゃう」

「何言ってんの、それが答えでしょうに」

「えっ？」

「こうであれば長方形の半分だけど、重なっている部分がある」

「そう、赤い部分が重なっている」

「だから白い部分より１×３の３ｃ㎡少ないんでしょ」

「そうか、（７７－３）÷２か」

３７ｃ㎡

「重なっているところが逆にヒントになっているね」

「今度でてきたら間違わないぞ」

「姿かたちを変えてでてくるよ」

「・・・・・・」

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切り取られた折り紙の面積は？（豊島岡女子学園中学 ２００９年）

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１辺の長さが１６ｃｍの正方形の紙があります。

   

図１のように、まず点Bが点Aに重なるように折り、次に点Dが点Aに重なるように折ります。そのあと、図２のように、点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

（１）残った紙を広げたとき、広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？

次に、紙を広げる前の状態にもどして、下の図のようにもう一度同じ作業を行います。

まず点Eが点Aに重なるように折り、次に点Fが点Aに重なるように折ります。点Aを含まない２辺のそれぞれの真ん中の点を結んだ線で三角形の部分を切りはなします。

（２）２回目の切りはなす作業のあと、残った紙を広げます。広げた紙の面積は何ｃ㎡ですか？

「まず切ってみようか」

「広げてみよう」

「真ん中の正方形の対角線の長さは？」

「８ｃｍだから８×８÷２で面積は３２ｃ㎡、これを全体の正方形から引く」

１６×１６－３２＝２２４ｃ㎡

「これは広げた紙をイメージできたとき」

「できなかったら？」

「図２の黄色い直角二等辺三角形に注目！」

「そうか、１/４の正方形の中にあるから、広げると４つできる」

１６×１６－４×（４×４÷２）

「（２）はこの考え方で解くといね」

「まず切ってみると・・・」

「元にもどしてもると・・・」

「同じように欠けている部分を４倍すると・・・」

（４×４÷２＋４×４÷２）×４＝６４ｃ㎡

「全体から引けばいいね」

１６×１６－６４＝１９２ｃ㎡

｢この方法使えそう・・・」

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試験で気がつくのが難しい？（四谷大塚 合不合判定予備テストより）

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図のような直方体を、ア、イ、ウのいずれかの面に平行な面で切ります。切り終わったとき、ばらばらにして、できた立体の表面積の和を考えます。ア、イの面に平行な面で切ったとき、 できた立体の表面積の和はもとの直方体の表面積より９００ｃ㎡増えました。

 

ア、ウの面に平行な面で切ると６６０ｃ㎡増えます。

イ、ウの面に平行な面で切ると８４０ｃ㎡増えます。

もとの直方体の表面積は何ｃ㎡ですか？

「タテもヨコも高さも何にも出ていない」

「切ったあと、ばらばらにした立体をイメージできるかな？」

「４つの直方体ができる」

「そう。アとイに平行な面で切った場合はこんな形・・・」

「目で見るとわかりやすいな」

「青いアの面がもとの直方体より２つ分増えるわけ」

「おお！赤いイの面も２つ増える」

「次はアとウに平行な面で切ると・・・」

「これも青のアの面と、黄色のウの面が２つずつ増えてる」

「じゃあイとウに平行では・・・」

「やっぱり、赤のイと黄色のウの面が２つずつ増えてる」

「つまりアが４つと、イが４つと、ウが４つ分が

９００ｃ㎡＋６６０ｃ㎡＋８４０ｃ㎡になるわけ」

「もとの直方体は２つずつでいいわけだから、この半分か」

「そう。半分の１２００ｃ㎡」

「計算はかんたんだけどな・・・」

「試験で気がつくのが難しい？」

「ムズイ、ムズイ」

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こんな線分図が描ければ・・・・

問題を解く上で線分図は強力な道具になりますね。

４を加えると７の倍数になり、３を引くと１０の倍数になるような２けたの数を求めなさい。

、見ただけでわかる。

「７の倍数から７を引いても７の倍数だ」

つまり、１０の倍数部分は７の倍数でもあるわけ。

７と１０の公倍数で２けたの数は？

「７０だけ」

ある数は？

「７０＋３＝７３」

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できるだけすっきり計算して！

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（洛南高校附属中学　受験算数問題　2009年）

１７３×９９＋２９７×９＝

「できるだけすっきり計算してみて」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×１１×９＋２９７×９

＝（１７３×１１＋２９７）×９

「すっきり度３！」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×（１００－１）＋２９７×（１０－１）

＝１７３００＋２９７０－１７３－２９７

「すっきり度６！」

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋２７×１１×９

＝１７３×９９＋２７×９９

＝（１７３＋２７）×９９

＝２００×９９

＝２００×（１００－１）

＝２００００－２００

＝１９８００

「すっきり度１０！」

「２９７は９９でも割れるから・・・

１７３×９９＋２９７×９

＝１７３×９９＋９９×３×９

これでもいいよね」

「じゃあ次」

（高槻中学　受験算数問題　2003年）

２００３×２００４－２００１×２００２＝

「８０１０」

「どう計算した？」

「ふつうに・・・」

「工夫するの！」

「でも、これって工夫しなくてもそんなに時間かからないよ」

「こんな風に図で考えてみたら」（クリックを）

「そんな手があったのか」

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正三角形はいつでてくるの？（麻布中学 ２００９年）

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正六角形ABCDEFの辺ABを２等分し、辺CDを４等分します。

このとき、図の四角形ＢＣＮＭと六角形ＡＭＮＤＥＦの面積比を

最も簡単な整数比で答えなさい。

「また、正六角形の中の正三角形を使う問題だ、きっと」

「わかってきたね、で、どうする？」

「わからない」

「まず、四角形ＢＣＮＭを二つの三角形に分ける」

「で、正三角形はいつでてくるの？」

「ここで」

「なんだか、正三角形の中に入りそうもないけど・・・」

「ここで△青を等積移動する」

「おお、正三角形の１/２になった」

「△黄も等積移動」

「えっ、どこへ？」

「ここ」

「正三角形の中に入ってこない」

「正三角形の中にある別の三角形を利用するわけ」

「どれ？」

「△緑が正三角形の１/４でしょ」

「△黄は△緑の高さが１．５倍だから

面積は３/２倍になるわけか」

「そう、だから△黄は正三角形の１/４×３/２で

３/８になる」

「１/２と３/８をたして四角形ＢＣＮＭは

正三角形の７/８だ」

「正三角形を１とした場合ね・・・」

「正六角形は６だから、六角形ＡＭＮＤＥＦは

６－７/８で、５と１/８になるから、

７/８：４１/８で７：４１」

「等積移動を動画イメージで見てみて」（クリックを） 

「まず三角形を２つに分けることに気がつかない。そして△青の等積移動はわかっても、△黄の等積移動と△緑との面積比にも気がつかないでしょう」

「人事みたいに言わないで、もっとひらめくように練習しなさい」

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１割引で売ったみかんは何個？

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最初に当たる辺に鏡を置くと・・・（SAPIX サマーサポートより）

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上から見ると図のような水平に置かれた長方形の台があります。Aの 位置から１つの球が出て、台のわくに当たると入ってきた角度と同じ角度ではね返ります。Aから出た球を、辺BC、辺CD、辺AD、辺AB、に各１回反射さ せて、赤い球に当てるためには、辺BC上のBから何ｃｍ離れたところに球を当てればよいですか？

「玉突き知ってる？」

「テレビでは見たことある」

「入ってきた角度と同じ角度ではね返るのは、光の反射と同じだから、辺に鏡を置いたとして考えるわけ」

「なんだか考えにくい」

「最初に当たる辺BCに鏡を置くと・・・」

「次に当たる辺はCDだからCD'に鏡・・・」

「次の辺がADだからA''D'に鏡を・・・」

「最後が辺ABだからA''B''に鏡・・・」

「つまりA''B''C''D''にある赤い球をAからねらえばいいわけ」

「ほんとに？」

「その線と辺BCがぶつかる点に当てれば、はね返って、赤い球に当たることになる」

「おもしろそうだけど・・・」

「底辺２６０ｃｍ、高さ２５０ｃｍの直角三角形と、赤い直角三角形は相似だから９０ｃｍ×２６０ｃｍ/２５０ｃｍ＝９３．６ｃｍ、Bから離れたところに当てればいいわけ」

「だいぶ強く球を出さないと、赤い球までとどかないな」

「そんなこと、考えなくてもいいの」

こちらが動画イメージです（クリックしてみてください）

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どう考えればいいかわからない！ 場合の数

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先月のマンスリーに引き続き、今回もダメでした。

場合の数。

２つの箱A、Bがあり、Aには４個まで、Bには３個までボールを入れることができます。青・緑・桃・黄・赤の５個のボールを、AとBに分けて入れます。入れる順番は考えないとして、ボールの入れ方は全部で何通りですか？

 

「どう考えればいいかわからない」

「まず、AとBに分けて入れる入れ方が何パターンあるか考えるの」

Aに４個、Bに１個の場合。

「Bに入れない場合は考えないでいいの？」

「ボールは全部入れなきゃならないでしょ」

「そんなこと問題に書いてある？」

「読み取るの」

「だからこの問題きらいなんだ」

「いいから次」

Aに３個、Bに２個の場合。

「色が違う場合は？」

「それは後から考えることにして、まずは個数の分け方」

Aに２個、Bに３個の場合。

「Bに４個の場合は？」

「だからBには３個しか入らないって書いてあるでしょうに」

「ふーん。すると、この３パターンか・・・」

「そう。あとはこの３パターンで色を考えるわけ。ここからはできるでしょ」

「Bに１個の場合は５通り。

Bに２個の場合は５×４÷２で１０通り。

Bに３個の場合はAに２個だから５×４÷２で１０通り。

全部で２５通りだ」

「できるじゃない」

「最初のパターンがいくつあるのか思いつかないよ。何か法則ないの？」

「あんたの得意な地道法則ぐらいかな」

「やっぱりきらいだ」

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本当にわかったのかな？？？（sapixディーリーサポート）

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Ａの３/４は？

そんな割合がやっとわかってきたというのに・・・

もう３/４の３/４の３/４は？

といった問題がどんどん出てきます。

Ａ球、Ｂ球を真下に落とすと、Ａは落ちた高さの４/５の高さまではね返り、Ｂ球は３/４まではね返ります。
Ａ、Ｂを同じ高さから落としたら、２回目にはね返った高さの差が１．５５ｍありました。落とした高さは何ｍですか？

「野球するならＡでやった方がよく飛ぶよな」

そんな感想は後にして、

「落とした高さを１とすると、Ａが2回目にはね返った高さは１６/２５になるね」

「４/５×４/５か・・・」

「Ｂも同じように考えると、2回目は９/１６ね」

「３/４×３/４・・・」

「ＡとＢの2回目を比べて、

ＡからＢを引くと３１/４００になる」

「約分もできやしない」

「あとは比で１にあたる最初の高さを求めればいいわけ」

「なんとなくわかった気がするけど・・・

ガラス球なんかだとはね返ってこないから簡単なんだけどね」

本当にわかったのかな？？？

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地道なばかりじゃなく工夫して！（SAPIX オープンテストから）

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６＋６６＋６６６＋６６６６＋６６６６６＋

６６６６６６＝

サピックスオープンの算数で一番初めに出題された計算問題です。

確かに地道に計算すればできるわけですけど・・・

息子の問題用紙を後で見たら、案の定、地道に計算した跡がありました。

答えも合っていましたが・・・

「どのくらい時間がかかった？」と聞くと、

「５分くらいかな」

やっぱり後の問題をやる時間がなくなったみたいです。

こんな風に考えたら？   って次のような計算の工夫をうながすと・・・・・

 

「そんな方法考えていたら、よけい時間がかかる」

と、あくまで地道なヤツでした。

後で聞いたら、もっとすごい子がいて、こんな解答を・・・

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折れ曲がっているところは何？（SAPIX サマーサポートより）

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「問題の意味がわからない」

「どれ？」

A町とB町の間をPとQが往復しています。PはA町を時速２４ｋｍの速さでB町の方向に出発し、QはPより遅い速さでPがA町を出発するのと同時にB町を出発しました。グラフはPとQが出発してからのPとQの距離と時間の関係を表したものです。

（１）A町とB町の距離は何ｋｍですか？

（２）グラフの（ア）は何ｋｍですか？

（３）グラフの（イ）は何分ですか？

「まずグラフが折れ曲がっているところが何を意味しているのか、から考えるの」

「９０分でPとQがすれちがって、１５０分でPがB町に着く・・・」

「全体のイメージを見てみて」（クリックを）

「このイメージがわかれば解きやすいんだけど」

   

「時速２４ｋｍのPは１５０分でB町に着いたわけだから・・・」

「わかった、２４ｋｍの２．５時間分で６０ｋｍだ」

「じゃあ、（２）は？」

「ええと・・・」

 

「最初にすれちがうまでが９０分。PとQの速さの和の旅人算でしょ？」

「６０ｋｍを１．５時間だから速さの和は時速４０ｋｍ」

「Pは時速２４ｋｍでしょ」

「Qは４０ｋｍ－２４ｋｍで１６ｋｍか」

「１５０分のときのPとQの距離はBとQの距離と同じ」

「時速１６ｋｍで１５０分か、ならば１６ｋｍ×２．５時間で４０ｋｍになる」

「（イ）はPとQが２度目にすれちがうとき。このときPが動いた距離とQが動いた距離を見てみて」

「おお、AB間の３倍になってる」

「一本にのばすと１８０ｋｍの道」

「それをPとQが向かい合って速さの和４０ｋｍで近づいて、いつすれちがうかっていう旅人算だ」

「できるでしょ？」

「１８０ｋｍ÷４０ｋｍ＝４．５時間は２７０分」

「正解！」

「この速さって自転車だよね？」

「さぁー？？？」

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この前の続きで速さの比（四谷大塚 合不合判定予備テストより）

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「昨日は（１）だったから今日は（２）」

A、B２つの地点があります。太郎君はA地点を、花子さんはB地点 を同時に出発して、それぞれAB間を一定の速さで１往復しました。花子さんがはじめてAB間のちょうど真ん中のC地点に着いたとき、太郎君はB地点を折り 返してから１０５０ｍ進んだところにいました。また、太郎君がA地点に着いたとき、花子さんはA地点まであと８４０ｍのところにいました。

（１）太郎君と花子さんの進む速さの比を求めなさい。

（２）花子さんは太郎君とすれちがった後、何ｍ進んだところで太郎君に追いこされましたか？

「（１）の速さの比５：２を使うんだよね」

「そう、速さの比は同じ時間なら進んだ道のりの比にもなるわけ」

「花子が２進む間に太郎は５進むってことだ」

「まず、イメージを見て」（クリックを） 

「花子の進んだ道のりを②とすると、太郎は②＋②＋①で⑤だから①は２１００ｍになる。AB間は②だから倍の４２００ｍ」

「これがすれちがったときのイメージ」（クリックを）

 

「４２００ｍを５：２に分けるわけだ」

「次が追いつかれるイメージ」（クリックを）

「すれちがってから、花子が追いこされるまでの道のりも５：２なわけだ」

「③にあたるのが１２００ｍ×２で２４００ｍ」

「それで花子の②が２４００ｍ÷３×２で１６００ｍになる」

「そういうこと」

「わかりやすく図が描ければなぁー」

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問題を解くキーワードは？

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１から350までの整数が一列にならんでいます。はじめに，３の倍数を○で囲みました。次に，残った数の中で７の倍数を○で囲みました。
このとき，１，２，…，⑥，⑦，……のように，２つ連続して○で囲まれている数の組は全部で何組ありますか。

問題を解くキーは何だと思う？

「最小公倍数」

そう、では３と７の最小公倍数は？

「２１」

この２１が１×２１、２×２１、３×２１・・・・・のように、くり返し出てくるって考えればわかりやすいかも・・・

「１～２１だけ調べればいいわけか」

「⑥⑦と⑭⑮の２組ある」

３５０まで２１の周期はいくつ？

「３５０÷２１＝１６・・・１４だから、２組×１６＝３２組と残り１４までの１組で３２＋１＝３３組」

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問題ちゃんと読んでるの？（SAPIX 復習テストより）

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A君とB君が歩いて学校と図書館とを結ぶ同じ道を一往復しました。 A君は学校を、B君は図書館を同時に出発しました。２人は図書館から１９０ｍの地点ではじめてすれちがい、途中で追い越したり追い越されたりすることな く、図書館から３３０ｍの地点で２度目にすれちがいました。学校と図書館の間の道のりは何ｍですか？

「まず、上手に図を描けるかどうか。この前習ったでしょ？」

「描いたことは描いたんだけど・・・」

「問題ちゃんと読んでるの？３３０ｍは図書館からでしょ」

「あ、そうか」

「それに、①と②は時間の比のつもりだろうけど、

場所が違うんじゃない？」

「えっ？」

「A君とB君がはじめてすれちがうまでに二人が歩いた道のりの和は、学校から図書館までの距離に等しいね」

「うん」

「２回目まではその倍」

「うん」

「二人の速さの和も一定だから、時間も倍かかるわけ」

「そうか、B君は３８０ｍ歩くわけだ」

「点線から上の赤い部分が１９０ｍ、点線から下の赤い部分が３８０ｍ、そこから図書館までが３３０ｍ、全部で９００ｍ」

「それが学校から図書館までの距離の２倍。で、２で割って、答えは４５０ｍか」

「そう。解答にはこんな図がのってるけど・・・」

「こっちの方がわかりやすい」

「どっちでもいいけど、問題文通りに図を描くこと」

「それが問題なんだよね」

「・・・・・・」

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考え方の方向、はずしてない？（女子学院中学 ２０００年）

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1辺２４ｃｍの正五角形の内側に、各頂点を中心として各辺を半径とする円を描きました。このとき、図の色の付いた部分の周囲の長さは何ｃｍですか？

「正五角形の一つの角度は１０８゜だから、円弧が５つあって・・・」

「考え方の方向、はずしてない？」

「なんで？」

「PQの長さの５つ分でしょ」

「でも∠PAQがわからない」

「それを考えるのが問題でしょうに」

「小さそうだけど・・・」

「紫色の△PACと緑色の△QBAは両方とも同じ大きさの正三角形」

「一辺が五角形の一辺、半径か・・・」

「求める角度は、正三角形の６０゜の部分が重なったところでしょ」

「そうか、１２０゜から１０８゜引けばいいのか。やっぱり１０８゜使うじゃん」

「どこで使うかが問題なの」

「２４ｃｍ×３．１４×１２゜/３６０゜の５つ分！」

「２４ｃｍ×２×３．１４×１２゜/３６０゜×５でしょ！」

「できたと思ってあわててしまった」

「つめがあまいところ」

「とにかく答え、２５．１２ｃｍ」

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たくさんの中学で出題されている問題だね！（灘中学 2006、ラ・サール中学 1994、同志社女子中学 2009、大妻中学 2005 類題）

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「たくさんの中学で出題されている問題だね」

図の水色の部分は、１辺８ｃｍの正方形から底辺が８ｃｍ、高さが２ｃｍの二等辺三角形４つを切り取ってできたものです。これを組み立ててできる四角すいの体積を求めなさい。

ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷３で求められます。

「底面積は正方形の対角線を使うやつだ」

４×４÷２＝８ｃ㎡

「高さは？」

「・・・・・・」

「１/４ずつに分けてみるとこんな展開図」

「やっぱり高さが難しい」

「では組み立ててみようか」

「底面の二等辺三角形の両辺は、立方体の横の面の同じところに来るな」

「頂点と辺のまん中を結ぶ線で、同じ長さだね」

「すると高さは立方体の一辺の長さ？」

「そうなるね」

「４ｃｍか・・・」

８×４÷３＝１０と２/３立方ｃｍ

「目で見ないで想像つくかな？」

「これ、高さ、ほんとに４ｃｍ？」

「そうでしょ」

「不思議だ！」

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本当にころがしてみないとわからない！（筑波大附属中学 ２００９年）

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マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか？

ただし、サイコロの「１」の裏は「６」、「２」の裏は「５」、「３」の裏は「４」の面とします。

「本当にころがしてみないとわからない」

「頭の中でころがすの」

「だと、こんな感じになる」

「じゃあ、実際にころがしてみて」

サイコロをころがす（クリックを）

「３だ」

「試験では順番に考えていかないと・・・、

最初のサイコロをこんな風に描いてみたら？」

「これなら順番に書いていけそうだな」

「間違えないようにね」

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三角定規がかくれている？（女子学院中学 2009年）

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四角形ＡＢＣＤは正方形で、ＥＦはＢＣとＡＤが重なるように折ったときの折り目です。ＧＢはＡとＥＦ上の点Ｈが重なるように折ったときの折り目です。図の角①と②の大きさを求めなさい。

「これって、直角以外何もわかってないじゃないか」

「ヒントは学校で使う三角定規！」

「えっ？」

「角度の問題は三角定規の形がかくれていることが多いの」

「△ＡＥＨがそれっぽいけど、角度がわからない」

「ＥＦで折ってみたら？」

「おお、△緑と△黄は同じ三角形だ」

「斜辺が重なるでしょ」

「でも、まだあの三角定規の形かどうかわからない・・・」

「ＧＢで折るとＡとＨが重なるって問題に書いてあるでしょ」

「ということは、ＡＢとＢＨが重なる・・・、

そうか△ＡＢＨは辺が全部正方形の一辺と同じで、

正三角形になるのか」

①＝９０゜－６０゜＝３０゜

「△ＡＨＤは何三角形？」

「二等辺三角形！」

∠ＡＤＨ＝（１８０゜－３０゜）÷２＝７５゜

②＝７５゜

「三角定規あまり使ってないでしょ？」

「クルクルまわすとか・・・」

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こんな動きが頭の中で描けたらなぁー （栄光学園中学 2008年）

中学受験専門プロ家庭教師の中学受験家庭教師ドクター

図のような１辺の長さが３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍの直方体があります。

ＡＢ＝４ｃｍ、ＡＦ＝３ｃｍ、ＡＤ＝５ｃｍです。

この直方体に、頂点Ａを中心に、半径３ｃｍの円を３面に、半径５ｃｍの円を２面に描いたとき、図のようになり、ＢＩ＝３ｃｍ、ＦＨ＝４ｃｍでした。

このとき、色の付いた部分の面積を求めなさい。円周率は３．１４とします。

「直方体だとわかりにくい」

「展開してこんな風に図形が描けるかどうか」

 

「AIとAHの線なんてないよ」

「補助線、補助線！

△ＡＢＩと△ＡＦＨは同じ形の直角三角形だから、角ＨＡＦ＋角ＩＡＢ＝９０度で、角ＨＡＩも９０度になることがわかるかな？」

「うん」

「ここで図形を移動して考えてみると・・・」

「ここまで見えたらもうわかる」

青色部分の面積＝扇形ＡＨＩ－半径３ｃｍの９０度の扇形

＋（長方形ＡＢＥＦの面積×２－半径３ｃｍの半円 ）

＝５×５×３．１４×９０/３６０－３×３×３．１４×９０/３６０

＋３×４×２－３×３×３．１４×１８０/３６０

＝４×３．１４＋２４－４．５×３．１４

＝３６．５６－１４．１３＝２２．４３ｃ㎡

「直方体を展開するイメージはこう」（クリックを） 

「こんな動きが頭の中で描けたらなぁー」

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なんで最小公倍数を使うの？（Sunday Sapixより）

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道路の左側には４５ｍの間かくで交通標識が、右側には６０ｍの間かくで街灯が立ててあり、どちらも端から端までならんでいて、本数の差は４０本です。

（１）道路の長さを求めなさい。

（２）街灯の本数を求めなさい。

「図にしてみると・・・」

「なんで最小公倍数を使うのかわからない」

「端から数えて最初に右と左がそろうところだからでしょ」

「それが１８０ｍ？」

「道路がもし１８０ｍだったら左右の差は何本になるか考えるの」

「左の交通標識は１８０÷４５＋１で５本、右の街灯は１８０÷６０＋１出４本だから、差は１本」

「差は４０本になったわけだから、１８０ｍの４０倍でしょ？」

「１８０×４０で７２００ｍ」

「街灯は６０ｍごとだから・・・」

７２００ｍ÷６０ｍ＝１２０←街灯の間かくの数

１２０＋１＝１２１本

「最小公倍数の１８０じゃなくて４５×６０の２７００でも計算できる？」

「やってみたら」

２７００÷４５＋１＝６１本

２７００÷６０＋１＝４６本

６１本－４６本＝１５本

「４０本差だから１５本の４０/１５倍だね」

「８/３だから２７００ｍにかけると・・・、７２００ｍになる」

「４５と６０の公倍数なら全部できるでしょうけど、計算がしにくくなるね」

「最小公倍数が一番計算しやすいってことなのか」

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太郎と花子の速さの比は？（四谷大塚 合不合判定予備テストより）

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A、B２つの地点があります。太郎君はA地点を、花子さんはB地点 を同時に出発して、それぞれAB間を一定の速さで１往復しました。花子さんがはじめてAB間のちょうど真ん中のC地点に着いたとき、太郎君はB地点を折り 返してから１０５０ｍ進んだところにいました。また、太郎君がA地点に着いたとき、花子さんはA地点まであと８４０ｍのところにいました。

太郎君と花子さんの進む速さの比を求めなさい。

「図を描いてみた？」

   

「こう描いて、次に・・・こう」

   

「これがここまでのイメージ」（クリックを） 

「次に太郎君がAにもどってくるまで、がこう」（クリックを） 

「そのときの図をいっしょにすると、わからなくなってくる」

「花子さんがAに着いたとき、太郎君はどこにいると思う？」

「もう１往復したんだから、休んでるんだろ」

「まだ進んでいるとしたらよ！」

「だいぶ先」

「どのくらい？」

これがそのイメージ（クリックを）

「どのくらいだろう？」

「花子さんがまん中からAに着いたわけだから、太郎君も最初の青＋橙分進んでいることになる」

「はみ出している長さは橙色分だから１０５０ｍ×２で２１００ｍか」

「太郎君の２１００ｍのスタートは、花子さんがA地点の手前８４０ｍのとき」

「８４０ｍと２１００ｍを比べればいいのか」

「そう、こんなイメージね」（クリックを）

「花子の８４０ｍと太郎の２１００ｍは時間が同じだから、太郎と花子の速さの比は２１００：８４０で５：２になるわけか」

「そう」

「太郎ちょっと速すぎない？走ってたのかな？」

「どうでもいいでしょ。そんなこと」

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中学で習う数がなんで出てくるの？（SAPIX入室、組分けテストより）

【中学受験・算数が足を引っ張っている方へ】90日で算数の成績を上げます≪家庭教師の一橋セイシン会≫

円の中にある正方形の一辺の長さは１２ｃｍ。

黄色い部分の面積は？

「これはこの前やったばかりだから、もちろんできたでしょ？」

「それが・・・」

「一辺×一辺＝対角線×対角線÷２でしょうに」

「対角線の長さが出ないから円の半径が出ない」

「対角線の長さを求める必要はないの」

「じゃあ半径がわからない」

「半径も求める必要がないの」

「じゃあ円の面積が出ない」

「対角線は円の直径だから、半径×２、

対角線×対角線÷２は半径×２×半径×２÷２でしょ。

だから半径×半径×２＝１２×１２で

半径×半径＝７２、

半径はわからなくても半径×半径はわかるの。

円の面積は半径×半径がわかればことたりるでしょうに」

「半径がわからないと、なんかすっきりしない」

「この場合、半径は中学で習う数になるの」

「じゃあなんで中学受験の問題に出てくるんだよ」

「いいからちゃんと覚えておきなさい」

７２×３．１４－１２×１２＝８２．０８ｃ㎡

きっとまた出てくる問題でしょうね・・・

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直線でいいのかな？ （駒場東邦中学 2008年）

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立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあり、ＡＢ，ＡＤの真ん中に点Ｐ，Ｑをとります。この立方体を、３点Ｐ，Ｑ，Ｇを通る平面で切ったとき、切り口の線を展開図に書き込みなさい。

なお、ＰＱの線はすでに描いてあるとおりです。

「５角形になると思うんだけど・・・」

「そう、こうなる」

「展開するとわからなくなる」

「各頂点がどこへ移動していくかを考えて、順番に展開していく」

「Gがどこへ行くかだな」

「こんな感じで展開してみる」（クリックを） 

「展開図で PとGやQとGを結ぶとき、直線でいいのかな？」

「切り口の線のある面を展開して、となりの面といっしょにまっすぐにのばしてみると、切り口は直線になってるでしょ？」

「ほんとだ」

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世界が３つもある。ドラクエの世界だ！（SAPIX マンスリーテストより）

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「こうゆう問題いちばん苦手。やっぱりできなかった」

ある商品を定価の３０％引きで３６個売ったときの利益と、２５％引きで２４個売ったときの利益は同じです。この商品１個の原価が４８０円のとき、この商品１個の定価は何円ですか？

「図にしてみた？」

「したよ」

「定価を１丸としたわけだ。ここまではいいね」

「ここからがわからない」

「１個当たりの利益の比を考えてみる」

「利益の比？」

「３６個の利益と２４個の利益が同じだから、１個当たりの利益は売った数の少ない２４個の方が多くて、比は３：２になるでしょ」

「３６：２４の逆比？」

「そう」

「３四角－２四角の１四角が、０．３丸－０．２５丸の０．０５丸と同じになるわけ」

「２四角は０．１丸になるから、定価で売ったとしたら利益は０．４丸になるのか」

「原価は０．６丸で４８０円」

「定価の１丸は８００円だ」

「丸の比と四角の比を比較してから、価格に当てはめる」

「世界が３つもある。ドラクエの世界だ！」

「・・・・・・」

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図を描いてみないとわからない！通過算（四谷大塚 合不合判定テストより）

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長さ１２０ｍの上り電車と下り電車が、それぞれある鉄橋の両はしに同時にさしかかりました。その１６秒後に、鉄橋のちょうどまん中で先頭がすれちがい、その２０秒後にどちらの電車も鉄橋を渡り終えました。この鉄橋の長さは何ｍですか？

「なんだかこんがらがってきて・・・」

「図を描いてみないからわからなくなるの！」

「まん中だから、両方の電車は同じ速さか」

「そういうこともわかるし・・・」

「２０秒後に渡り終えたんだから、３６秒後」

「何で、すれ違ってから渡り終えるまでの方が時間がかかったかわかる？」

「同じ１６秒だと、まだ渡り終えていないから・・・」

「そうでしょ、図にしてみればわかるはず」

「２０秒と１６秒の差は電車の長さの時間か・・・」

「そうでしょ」

「１２０ｍ÷４秒で秒速３０ｍが電車の速さ」

「鉄橋の長さは？」

「３０ｍに１６＋２０秒をかけて・・・」

「また間違う、電車の先頭だけを考えてみて！」

「３０ｍ×１６秒×２か、・・・９６０ｍだ」

「図を描いて落ち着いて考えること！」

「電車や鉄橋、うまく書けない」

「こんなんでいいの、描けるでしょ？」

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３．１４は最後に計算して！（SAPIX入室、組分けテストより）

中学入試『10倍分かる過去問（映像授業）』首都圏110校・4年分 算・理

半径６ｃｍ、高さ１．５ｃｍの円柱の一部を切り取り、ま上から見るとおうぎ形に見える立体があります。この立体の体積は何ｃ㎥ですか？また表面積はなんｃ㎡ですか？

「合っているはずなんだけど、答え見たら違っている」

と、息子。

「どんな計算したの？」

「体積は円柱から１/６引けばいいし、表面積は底面積の２倍と、横の丸い部分と、内側の切り口の長方形２つをたせばいい。」

「ずいぶんたくさん計算した跡が見えるね」

「けっこう時間かかった」

「だから途中で計算間違いをしたの！式書いてみた？」

「式？？？」

「体積は・・・」

   

「こんな風に１行で書いてみると、約分できるでしょ」

「あっ、」

「３．１４かける前まで暗算でいけるでしょうに」

「１回だけ筆算すればいいのか」

「表面積も・・・」

「あっ、約せる！」

「簡単な式になっていくでしょ」

「おお！」

「１行になっちゃう」

 

「ぎゃあー・・・

なんで、試験中に気がつかないんだろう？」

「６ｃｍと６０゜でなんとなく約分できそうなにおいがしない？」

「しない」

「コナン好きなのにね」

「関係ない」

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