こんな問題がすらすら解ければな！ 正四面体と正八面体（早稲田実業中学 ２００９年）

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下の図は同じ大きさの正三角形４つで囲まれた立体で、正四面体ＡＢＣＤと表します。この正四面体ＡＢＣＤの各辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ、ＢＣ、ＢＤ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれ点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊとするとき、次の各問いに答えなさい。

（１）正四面体ＡＢＣＤから、４つの正四面体ＡＥＦＧ、正四面体ＢＥＨＩ、正四面体ＣＦＨＪ、正四面体ＤＧＩＪを取り除いた立体をＸとします。立体Ｘの面の数と辺の数を求めなさい。

（２）立体Ｘの各辺ＥＦ、ＦＨ、ＥＧの真ん中の点をそれぞれ点Ｐ、Ｑ、Ｒとします。ＡＢ＝１２ｃｍのとき、次の①、②に答えなさい。

①ＰＱの長さは何ｃｍですか。

②立体Ｘを３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面で切ったときの切り口の面積は、三角形ＡＢＣの面積の何倍ですか。

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