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長方形ABCDを図のように２回折りました。角イの大きさは何度ですか？
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「まわりの友達、みんなできなかったって」
「正答率を見ると８％だね」
「簡単そうなのに・・・」
「最初に折ったとき、真ん中にできる重なり部分が二等辺三角形であることに気がつくかどうか」
「なんで・・・？」
「折る前の部分を書いてみるとわかるよ」
「赤い部分と折られた部分は同じ図形だ！」
「だから折られたところの角度は両方とも〇で等しくなるし、イは平行線の錯角でしょ」
「二等辺三角形の頂角の外角が〇〇になるわけか」
「その〇〇がまた折られる」
「□は１８０゜－７５゜で１０５゜、これが他の内角の和〇〇＋イだから〇３個分」
イ＝〇＝１０５゜÷３＝３５゜
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どちらか１種類にしちゃえばいいのですが、なかなかそこに気づかない・・・
トマトはレタスより８０円高く、トマト５個とレタス６個で１３９０円です。このとき、トマト１個は何円ですか。
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レタス６個がトマト６個だったら？
「６個×８０円＝４８０円高くなる」
１３９０円＋４８０円＝１８７０円
「これがトマト５個＋６個＝１１個分の値段になる」
１８７０円÷１１個＝１７０円
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１辺１２ｃｍの正三角形の各頂点から、点Ｐ，Ｑ，Ｒがそれぞれ毎秒２ｃｍ、３ｃｍ、４ｃｍの速さで図の矢印の方向へ進み始めます。このとき、次の問に答えなさい。必要ならばグラフを使用しなさい。
（１）最初に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。
（２）（１）の次に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。
（３）（２）の次に三角形ＰＱＲができなくなるのは何秒後ですか。
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「上手にグラフを利用できるかな？」
「まず正三角形の頂点ををABCにして・・・」
「こんなグラフ書けた？」
「速さが違うと傾きが違ってくる」
「点Ｐは６秒で、点Ｑは４秒で、点Ｒは３秒で１辺を移動するね」
「最初に三角形ＰＱＲができなくなるのは、ＰにＲが追いつく６秒後だ」
「次に三角形ＰＱＲができなくなるのは？」
「２点が重なるか、３点が同じ辺上にくるときで、１８秒後？」
「３点が辺ＣＡ上にきてるね」
「次に三角形ＰＱＲができなくなるのは？」
「２１秒後から３つの点はAB上にきてる」
「どこまで？」
「グラフだと、２４秒後までAB上で、そこからBC上を２７秒までになってるけど・・・、ほんとかな？」
「目で確かめてみる？」
「ほんとだ！」
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四角形ＡＢＣＤは、ＡＤとＢＣが平行な台形で、
四角形ＡＢＥＤはＡＢ＝６ｃｍの平行四辺形です。
また、台形ＡＢＣＤの面積は３３ｃ㎡、三角形ＡＢＣの面積は２４ｃ㎡です。
（１）平行四辺形ＡＢＥＤの面積を求めなさい。
（２）ＤＦの長さを求めなさい。
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図のような数字の書いていない時計で、長針と短針の間が１３０゜になっていて、長針は５分きざみの目盛りをさしています。この時計は何時何分をさしていますか？
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「平成教育委員会に出てきそうな問題だね」
「９時１０分くらいかな・・・」
「１２が一番上にくるなんて書いてないでしょ」
「えっ、そんなんでわかるのかな」
「長針が目盛りをさしているから、１５分とか３０分とか５分の倍数になっている」
「短針は目盛りからずれている」
「そうか、どのくらいずれているかだ」
５×３０゜－１３０゜＝２０゜
「短針は１分間にどれだけ進む？」
３０゜÷６０分＝０．５゜
「２０゜÷０．５゜で短針は４０分ずれているんだ」
「４０分の長針はどこをさしているかな」
「８」
「「短針は？」
「３と４の間」
「だから？」
「３時４０分でした」
「正解！」
「そういえば、数字の書いてない時計ってたくさんあるよね」
「それとこれとはちょっと違うんじゃない？」
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長さ６ｍのさおをＡ，Ｂ，Ｃの３本に切って、池の中の同じ地点に順番に立てました。Ａ，Ｂ，Ｃの水面より上に出ている部分の長さはそれぞれの長さの２/３、３/５、１/２ になっていました。このとき次の問に答えなさい。
（１）Ａの長さは池の深さの何倍であるか求めなさい。
（２）Ａの長さはＢの長さの何倍であるか求めなさい。
（３）Ｂの長さを求めなさい。
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「図にしてみるとわかりやすいね」
「Aの長さは１□＋２□の３□で、池の深さは１□だから３倍！」
「池の深さはAでもBでもCでも同じだね」
「Aの１□とBの②は同じ長さだから、１□＝②で３□は②×３の⑥になる」
「Bは⑤」
「AはBの⑥/⑤で１．２倍」
「１□と②と１△が同じ長さだから、全部○で表せるね」
「全部で⑮が６ｍで①は６ｍ/１５だから０．４ｍ」
B＝⑤＝０．４ｍ×５＝２ｍ
「異なる比を同じ比に合わせると解きやすいね」
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下の図のＡからＦには、数字の１から６までのどれかが１つずつ入り、Ａにはすでに「１」が入っています。
四角形Ｂ，Ｃ，Ｆ，Ｄ の４つの頂点に入る数の和、
四角形Ｃ，Ｅ，Ｄ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、
四角形Ｂ，Ｅ，Ｆ，Ａ の４つの頂点に入る数の和、
がそれぞれ等しいとき、Ｅ に入る数を答えなさい。
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「これ、合ってると思ってたら間違ってた」
ある仕事をAさんが１人ですると１６日目で終わります。また、同じ仕事をBさんが１人ですると２８日目に終わります。この仕事をAさんとBさんの２人ですると、最も早くて何日目に仕事が終わりますか？
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「正答率が１割以下だった問題だね」
「そんなに難しいとは思わなかったけど・・・」
「というか、間違いやすい問題」
「Aが１日でする仕事量が１/１６、Bが１/２８だから７：４、Aの７が１６日だから全体の仕事量が１１２で、２人の１日分の仕事量の７＋４で割れば１０．１８・・・、だから１１日、これじゃいけないのかなぁ？」
「問題をよく読んでみて」
「最も早くて・・・っていうところが気にはなったんだけど・・・」
「それと１６日目、２８日目って書いてある」
「ということは・・・」
「１６日目と２８日目は他の日より仕事量が少ない可能性があるっていうこと」
「緑部分がどのくらいの量かわからない」
「だから最も少ないとき＝最も早いときになるわけ」
「０？」
「２人とも仕事をもう１日したわけだから、０よりは大きいの」
「１５日と２７日で計算するわけか」
１/１５：１/２７＝９：５
９×１５÷（９＋５）＝９．６４・・・
「これより多くかかるから・・・」
「１０日目」
「みんなひっかかっちゃったみたいだね」
「・・・・・・」
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太郎君とよし子さんは、同時にＡ地を出発して、B地に向かいました。
よし子さんは、はじめ時速４ｋｍで歩き、
途中から時速６０ｋｍのタクシーに乗りました。
太郎君は時速２０ｋｍの自転車で行さました。
B地へは、よし子さんが太郎君より１０分早く着きました。
グラフはそのときの様子を表したものです。次の問いに答えなさい。
（１）よし子さんは，Ａ地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。
（２）太郎君がよし子さんに追いぬかれるのはＡ地から何ｋｍのところですか。
（３）Ａ地からB地までは何ｋｍありますか。
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（１）３ｋｍまで歩いたわけだから、
「３÷４＝３/４時間で４５分」
（２）よし子さんがタクシーに乗ったとき、太郎君はどれだけ進んでた？
「２０×３/４＝１５ｋｍで、よし子さんとの差は１５－３＝１２ｋｍ」
追い抜かれるまでの時間は？
「１２÷（６０－２０）＝３/１０時間」
太郎君は３/４＋３/１０＝２１/２０時間進んだわけだから、
「２０×２１/２０＝２１ｋｍ」
（３）タクシーと自転車の速さの比は６０：２０＝３：１
「かかる時間の比は逆比で１：３」
追い抜いたところから、この差３－１＝２が１０分になったわけだから、
「タクシーの１は５分に当たる。進んだ距離は６０×５/６０＝５ｋｍで、AB間は２１＋５＝２６ｋｍ」
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難度レベルA
面積の比が２：１である円と長方形が図のように重なっています。重なっている部分イの面積は１５ｃ㎡です。重なっている部分イを除いた部分アとウの面積の比は５：１です。
（１）円と長方形の面積をそれぞれ求めなさい。
（２）ア、イ、ウの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
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「長方形は円の半分だ」
「そう、つまり円－長方形＝長方形だね」
「それが２：１の１にあたる」
「その１にあたる面積は↓これだね」
「長方形と同じ面積」
「アからウを引いても同じものができるよ↓」
「ア：ウ＝５：１ だから５－１の４がこの面積＝長方形になるんだ」
「そうするとイは長方形－ウ」
「４－１で３になる」
「３が１５ｃ㎡」
「長方形は４だから２０ｃ㎡、円はその倍で４０ｃ㎡になる」
「イが３になるから・・・」
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１辺が１ｃｍの６つの正方形を並べてできた図形があります。
直線ABを軸にして１回転させてできる立体をア、直線ACを軸にして１回転させてできる立体をイとします。アの体積はイの体積の何倍ですか？（ただし、円周率は３．１４とします）
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「ABを軸にすると、まん中の正方形は重なるのかな？」
「そんな感じだね」
「ACを軸にした場合がよくわからない」
「どんな立体になるか見てみようか」
「左２つはくりぬかれてる」
「そこに注意して、高さ１ｃｍの円柱を組み合わせていくの」
「３．１４は最後にかける？」
「というか、高さ×３．１４の部分は共通だから考えなくてもいいのでは？」
「そうなら簡単そうだ」
「まずアの１段目は？」
「２×２」
「２段目は？」
「重なるから１×１」
「３段目は？」
「２×２」
２×２＋１×１＋２×２＝９
「イの一番右は？」
「１×１」
「右から２番目は？」
「２×２」
「３番目は？」
「くりぬかれた部分を引くと３×３－１×１」
「４番目は？」
「３×３－２×２」
１×１＋２×２＋３×３－１×１＋３×３－２×２＝１８
「比べると？」
「２倍だ！」
「問題よく読んで！」
「そうか！、アはイの何倍か、だから１/２倍だ」
「最後まで慎重に！」
「でもこの問題、３．１４使わないのに、何で円周率は３．１４とします、なんて書いてあるんだろう？」
「使わないわけじゃなくて、省略できるの」
「それと、イの立体、凹のところに凸の部分がスポって入るから、３×３×２でもいいんだ」
「３．１４のことより、そっちの方を早く考え付くように」
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「これは基本性質だから間違えないように！」
次の①から④について、ひし形、平行四辺形、正方形、長方形の性質として、正しい場合は○を、そうでない場合は×を下の表に書きなさい。
①２本の対角線によってできる４つの三角形は全部二等辺三角形である。
②２本の対角線によってできる４つの三角形は全部直角三角形である。
③２本の対角線によってできる４つの三角形は全部面積が等しい。
④２本の対角線によってできる４つの三角形は全部同じ形で、同じ大きさで、ぴったり重ね合わせることができる。
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「対角線を引いてみると・・・」
「もちろん、できたでしょ？」
「↓できたと思う」
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１ｃｍの方眼があります。この方眼の上で、ある図形を右に１ｃｍ、上に１ｃｍ動かしてできる図形ともとの図形の重なった部分を黒くぬります。たとえば、たての長さが２ｃｍ、横の長さが３ｃｍの長方形を動かすと、黒くぬる部分は図のようになります。
図（赤ボタンをクリック）
難度レベルA
（１）もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、黒くぬる部分の面積を求めなさい。ただし、円周率は３．１４とします。
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「右１ｃｍ、上１ｃｍ動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」
「①は台形だから、
（１．５＋２）×１÷２＝１．７５ｃ㎡
② は木の葉形の面積になるから、
（１×１×３．１４÷４－１×１÷２）×２＝０．５７ｃ㎡」
難度レベルB
（２）黒くぬる部分が図１のようになるとき、元の図形を１つ図１にかきなさい。
「かけた？」
「水色はかけた」
難度レベルB
（３）黒くぬる部分が図２のようになるとき、もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものをそれぞれ１つずつかきなさい。
「図２で黒と黄色の三角形を２つとも含む図形を考えればいいね」
「黒は動かない、黄色はなくなる」
「それが手がかりになるかもね」
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処理をしている間にも人数が増えていくというような、慣れないとなかなかイメージのつかみにくいニュートン算です。
ある駅で改札を始めたとき３６０人の行列があり、
毎分１人の割合で増えるものとします。
改札口が１つのときは９０分で行列がなくなるものとすると、
改札口を２つにすると何分で行列はなくなりますか。
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改札口１つで何人の人を処理した？
「最初の３６０人と９０分間で増えた９０人だから４５０人」
１分間では何人処理したかな？
「４５０÷９０＝５人」
改札口が２つなら？
「５×２＝１０人だから、３６０人なら３６０÷１０＝３６分」
↑ってやると間違う！
改札口２つで１０人処理している１分間に１人また並ぶから、
実際に１分間で処理できるのは１０－１＝９人ということ。
「３６０÷９＝４０分か」
この感覚が難しいね！
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道のりの単位がなく、比で考えて解く、イメージのつかみにくい問題でした。
Aが５分で行く距離をBは７分で行きます。Bが出発して１５分後にAが追いかけるとAはBに何分で追いつきますか。
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「追いかける旅人算だけど、１５分てどれだけの距離かな？」
同じ距離をAは５分、Bは７分だから、
「AとBの速さの比は逆比になって⑦：⑤」
Bが１５分で進んだ距離は？
「速さ×時間で⑤×１５分＝７５だけど、この７５ってｍ？」
単位を考えなくても解ける。
「追いつく旅人算なら７５÷（⑦－⑤）＝３７．５分」
それで正解！
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