分野別1500解法

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2014年11月

お解きさんの受験算数日記、整数のグループの数はいくつ?

1から10000までの10000個の整数があります。

それぞれの整数の各位の数字を加え、

その和が等しい整数を集めてグループを作ります。

たとえば、7、25、1033は同じグループに入ります。

(1)このようなグループはいくつできますか?

(2)0を使っている整数が一つも入っていないグループはいくつありますか?

(3)5で割り切れない整数だけからできているグループはいくつありますか?

Lpsa1105csjpg

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bandicam 2014-11-30 08-16-57-928 bandicam 2014-11-30 08-17-19-684 bandicam 2014-11-30 08-18-00-658 bandicam 2014-11-30 08-18-10-080 bandicam 2014-11-30 08-18-25-260 bandicam 2014-11-30 08-18-46-770 bandicam 2014-11-30 08-18-58-910 bandicam 2014-11-30 08-19-18-983 bandicam 2014-11-30 08-19-39-731

「だから33、34、35、36の4個だね」

直角三角形が回転した跡は?(ラ・サール中学 2013年)

下図の三角形DECは、

3辺の長さが5cm、12cm、13cmの直角三角形ABCを、

頂点Cを中心として90゜回転したものです。

斜線部分の周りの長さと面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

 

1

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こたえ

周の長さは、(13×2+5×2)×3.14×1/4+12×2

=9×3.14+24

=52.26cm

△ABCを△DECに移動してみると、

△ABC内の斜線部分は黄色部分に移動します。

2

したがって斜線部分の面積は、

(13×13-5×5)×3.14×1/4

=36×3.14

=113.04c㎡

お解きさんの受験算数日記「正方形の頂点はいくつ?」(西大和学園中学 2013年)

一辺の長さが1cmの正方形をならべ、長方形を作ります。

次に、左上の頂点と、右下の頂点をむすんで、図のように直角三角形を作ります。

直角三角形の内部と周上に、正方形の頂点がいくつあるのかを考えます。

ただし、「内部」とは、辺の上の点はふくまず、

「周上」とは、辺の上または頂点のことをあらわします。

例として、図1では内部に頂点はO個、周上に4個。

また、図2では内部に頂点は1個、周上に6個あると数えることとします。

1

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)たてに5㎝、横に3㎝の長方形を作るとき、

①直角三角形の内部には正方形の頂点はいくつありますか。

②直角三角形の周上には正方形の頂点はいくつありますか。

(2)たてに12㎝、横に4㎝の長方形を作るとき、

直角三角形の内部と周上には正方形の頂点は、あわせていくつありますか。

(3)たてに12㎝の長方形を作り、

できた直角三角形の内部と周上にある(正方形の)頂点を数えると、

あわせて61個ありました。

このとき、この長方形の横の長さは何cmですか。整数で答えなさい。

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こたえ

(1)

2

①図のように4個です。

②図のように9個です。

(2)

3

黄と緑を合わせると、頂点数は

(12+1)×(4+1)=65個 ですが、

赤丸は直角三角形の斜辺上の点です。

たて12cm、横4cmですから、たて:横=12:4=3:1

つまり、たて3cm、6cm、9cm、

横1cm、2cm、3cmのところで頂点と斜辺が3回重なります。

したがって、黄色部分の頂点は(65-3)÷2+3=34個ですが、

青○の頂点は緑と共通ですから、1つ多くなるので、

34+1=35個 になります。

(3)

横が5cmでは、斜辺上には頂点が重ならないので、

(12+1)×(5+1)÷2+1=40個

横が6cmでは、12:6=2:1なので斜辺上に頂点が5個、

{(12+1)×(6+1)-5}÷2+5+1=49個

横が7cmでは、斜辺上には頂点が重ならないので、

(12+1)×(7+1)÷2+1=53個

横が8cmでは、12:8=3:2なので斜辺上に頂点が3個、

{(12+1)×(8+1)-3}÷2+3+1=61個

したがって、8cmです。

ママだって家庭教師!三角形の相似と面積(Sapixマンスリーテストより)

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「気がつけば、そんなに難しくない問題だと思うけど・・・」

「気がつかなかった」

So1

図は1辺15cmの正方形を6個組み合わせた図形です。黄色部分は何c㎡ですか?

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「三角形の相似をみつけるわけでしょ?」

「見つからなかった」

「三角形の相似はほとんどピラミッド型か砂時計型なんだから」

So4

「この問題、ピラミッドが逆になってた」

So2

「そんなこといくらだってあるでしょうに」

「もうわかった。△水色:△緑=3:2だからABは30cm×2/3で20cm」

「こんどは砂時計型」

So3

「△黄:△赤=20:30=2:3だから△黄の高さは30cm×2/5で12cm」

20cm×12cm÷2=120c㎡

「こんどはピラミッドがさかさまになってても、ちゃんと見つけられるように」

「砂時計が横になってたら見つけられるかな?」

「・・・・・・」

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ママだって家庭教師!道の数は?(四谷大塚 合不合判定テストより)

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「最後の問題だけど、時間がなくなっちゃって・・・」

Mon1

すべての面が1辺3cmの正三角形である三角すいがあります。この三角すいの側面には、各辺を3等分する点を結んだ直線が引かれています。いま、図の頂点Aを出発し、三角すいの辺上および側面にある道を進み、はじめて頂点Oに着くまでの道のりを考えます。ただし、同じ点は何度通ってもかまいませんが、一度通った道は再び通ることはできません。たとえば、A→P→S→T→U→S→Oと進むことはできますが、A→P→S→T→Q→P→S→Oと進むことはできません。

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(1)通った道のりが5cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

(2)通った道のりが8cmになるような進み方は、全部で何通りありますか?

親子で考えた解法例はこちらに!

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ママだって家庭教師!等差数列を解く!

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ある規則にしたがって数字がならんでいます。

(1)53番目の数字はいくつになりますか?

(2)53番目までならんでいる数を全部加えると、いくつになりますか?

1,8,15,22,29,36・・・・・

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ママだって家庭教師!結び目はどこ?(早稲田中学2008年)

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1本のひもがあって、とちゅうに結び目が1か所あります。

このひもを5等分すると、結び目は左から2本目の部分にあり、

8等分すると、結び目は左から4本目の部分にありました。

結び目が切ったはしになることはないものとすると、

このひもを30等分すると、結び目は左から何本目のところにありますか。

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親子で解いた解法例はこちらに!

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ママだって家庭教師!円周率とは?(甲南中学 2009年)

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円周率について、次の問に答えなさい。

(1)円周率とは、円の[  ①  ] が [  ②  ] の何倍であるかについて表したものです。①と②に適切な言葉を入れなさい。

(2)図1の、円の内側に接している正六角形の図を用いて、円周率が3より大きいことを説明しなさい。

Zu1

(3)図2の円の用いて、円周率が4より小さいことを説明しなさい。

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Zu2

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親子で考えた解答例はこちらに!

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ママだって家庭教師!回転図形の比較(本郷中学2008年)

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Mon

1辺が1cmの6つの正方形を並べてできた図形があります。

直線ABを軸にして1回転させてできる立体をア、直線ACを軸にして1回転させてできる立体をイとします。アの体積はイの体積の何倍ですか?(ただし、円周率は3.14とします)

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「ABを軸にすると、まん中の正方形は重なるのかな?」

「そんな感じだね」

「ACを軸にした場合がよくわからない」

「どんな立体になるか見てみようか」

参考図と解法例はこちらで!

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ママだって家庭教師!玉を同時に取り出す回数は?(フェリス女学院中学 2012年)

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赤玉と白玉が同じ個数ずつ箱の中に入っています。

AさんとBさんが同時に箱の中から玉を取り出すことを何回かくり返します。

Aさんは赤玉を,Bさんは白玉を,毎回同じ個数ずつ取り出します。

Aさんは3個ずつ,Bさんは偶数個ずつ取り出します。

AさんとBさんがこのことをくり返したら,

赤玉が10個残り,白玉はちょうどなくなりました。

AさんとBさんは同時に何回玉を取り出しましたか。

すべての場合を答えなさい。

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親子で考えた解法と答え

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ママだって家庭教師!マス目に1を入れる場合の数は?

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36個のマス目に、0または1を書き入れて、

たてに加えても、横に加えても、

それぞれ和が1になるようにする作り方は何通りありますか?

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Bandicam_20141109_103953748

親子で考えた解法例はこちらで!

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ママだって家庭教師!年齢は?

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現在、父の年令は50才、母の年令は46才で、

3人の子どもたちの年令はそれぞれ7才、3才、1才です。

父と母の年令の和が3人の子どもたちの年令の和の3倍になるのは、

今から何年後ですか?

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Bandicam_20141106_080950873

考え方と解法例はこちらに!

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ママだって家庭教師!正六角形をまわる円(立教女学院中学 2009年)

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Mon1_2

半径5cmの円周上に6つの点がある正六角形の各辺と離れないように半径2.5cmの円を動かし、この正六角形のまわりを1周させます。円を動かした部分の面積は何c㎡になりますか。円周率は3.14で計算しなさい。

親子の解法例はこちらに!

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ママだって家庭教師!100m競争だ!

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100m競争をしたら、Aは15秒、Bは18秒で走りました。

次の問いに答えなさい。

(1)Aがゴールに着いたとき、Bはゴールまであと何mの所を走っていますか。

(2)AとBが同時にゴーにつくためには、

   Aはスタートラインより何mうしろからスタートすればよいですか。

720

親子で考えた解法例はこちらに!

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