お解きさんの受験算数日記「正方形の頂点はいくつ？」（西大和学園中学 ２０１３年）

一辺の長さが１ｃｍの正方形をならべ、長方形を作ります。

次に、左上の頂点と、右下の頂点をむすんで、図のように直角三角形を作ります。

直角三角形の内部と周上に、正方形の頂点がいくつあるのかを考えます。

ただし、「内部」とは、辺の上の点はふくまず、

「周上」とは、辺の上または頂点のことをあらわします。

例として、図１では内部に頂点はO個、周上に４個。

また、図２では内部に頂点は１個、周上に６個あると数えることとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）たてに５㎝、横に３㎝の長方形を作るとき、

①直角三角形の内部には正方形の頂点はいくつありますか。

②直角三角形の周上には正方形の頂点はいくつありますか。

（２）たてに12㎝、横に４㎝の長方形を作るとき、

直角三角形の内部と周上には正方形の頂点は、あわせていくつありますか。

（３）たてに12㎝の長方形を作り、

できた直角三角形の内部と周上にある（正方形の）頂点を数えると、

あわせて61個ありました。

このとき、この長方形の横の長さは何ｃｍですか。整数で答えなさい。

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こたえ

（１）

①図のように４個です。

②図のように９個です。

（２）

黄と緑を合わせると、頂点数は

（１２＋１）×（４＋１）＝６５個　ですが、

赤丸は直角三角形の斜辺上の点です。

たて１２ｃｍ、横４ｃｍですから、たて：横＝１２：４＝３：１

つまり、たて３ｃｍ、６ｃｍ、９ｃｍ、

横１ｃｍ、２ｃｍ、３ｃｍのところで頂点と斜辺が３回重なります。

したがって、黄色部分の頂点は（６５－３）÷２＋３＝３４個ですが、

青○の頂点は緑と共通ですから、１つ多くなるので、

３４＋１＝３５個　になります。

（３）

横が５ｃｍでは、斜辺上には頂点が重ならないので、

（１２＋１）×（５＋１）÷２＋１＝４０個

横が６ｃｍでは、１２：６＝２：１なので斜辺上に頂点が５個、

｛（１２＋１）×（６＋１）－５｝÷２＋５＋１＝４９個

横が７ｃｍでは、斜辺上には頂点が重ならないので、

（１２＋１）×（７＋１）÷２＋１＝５３個

横が８ｃｍでは、１２：８＝３：２なので斜辺上に頂点が３個、

｛（１２＋１）×（８＋１）－３｝÷２＋３＋１＝６１個

したがって、８ｃｍです。