カードを規則的に取り除く難問（開成中学 2009年 ）

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１，２，３、・・・ ｎ の数が１つずつ書かれた ｎ 枚のカードを

時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、

最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、１の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、

　そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。

・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、ｎ＝１３のときは図１のようにカードが取り除かれ、

最後に１０の書かれたカードが残ります。

（×印は取り除いたカードを表します）

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（２）ｎ＝１６のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、

図２のように８枚のカードが残り、

次に２の書かれたカードから取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、

ｎ＝１６のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

また、ｎ＝３２ とｎ＝６４のとき、

最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

（３）ｎ＝３５のとき、

１周目に１，３，５の書かれたカードを取り除いた時点で、

残るカードが３２枚で、

次には７の書かれたカードを取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝３５のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（４）ｎ＝１００のとき、

１周目に３６枚のカードを取り除いた時点で残るカードは６４枚です。

もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１００のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

（５）ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

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親子で考えた解法例

「（１）ｎ＝８の図を描いてみると、図３のようになるね」

「８になる」

「（２）ｎ＝１６のとき、図２のように８枚の偶数のカードが残る。

これは図４の８の場合と同じ。

（１）では８の位置のカードが残ったので、この場合も８の位置・・・」

「１６だ」

「ｎ＝３２のときは、まず１周目に奇数のカードが取り除かれる。

すると残ったカードは２，４，６，８、・・・３２。

これは、１，２，３、・・・１６まで並んでいるのと同じ。

だからｎ＝１６のときの最後が１６だったので、この１６に相当するのは３２。

次にｎ＝６４のときも同じように１周目に奇数がすべて取り除かれ

２，４，６、・・・６４の３２枚の偶数のカードが残る。

これはｎ＝３２のときと同じだから・・・」

「６４だ」

「（３）ｎ＝３５の場合も　１，３，５を取り除くと３２枚残る。

３２枚になったところで、図５のようにｎ＝３２と見なすことができるね」

「次に取り除くカードは７？」

「そう、７をスタートの１と考えて、ｎ＝３２って考えると、

３２のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「６か・・・」

「（４）ｎ＝１００のとき、３６枚取り除くと６４枚になるって問題にヒントがでてるね」

「６４枚のカードで考えればいいってこと？」

「そう、ｎ＝６４のとき、最後に残るのは６４だったね。

だから、ｎ＝１００のとき、

残りカードが６４枚になったときのスタートの数字と、

その前の数字を調べてみると・・・

３６枚目に取り除くのは、３６ｘ２－１＝７１　のカードで、

次に取り除くのは７３のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図６を見て」

「７２だ」

「（１）、（２）から、ｎ の数を２倍、２倍としていくと、

最後に残るカードも２倍、２倍となることがわかる？」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「（４）でｎ＝１００のとき、最後に残る数は７２ということがわかったから、

これを２倍、２倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

ｎ＝200　のときは　７２ｘ２

ｎ＝400　のときは、７２ｘ２ｘ２

ｎ＝800　のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２

ｎ＝1600　のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２　＝７２ｘ１６＝１１５２

「だから、ｎ＝2009のとき、

１周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。

これを利用する・・・」

「どう利用するの？」

「409枚目に取り除くカードは、409ｘ２-１＝817　で、

次に取り除くカードは819になるでしょ？」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、（５）の答えは８１９＋７２ｘ１６＝８１８＋１１５２＝１９７０」

「ｎ＝２００９にしたのは２００９年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが１９７０なんだろう？この年なんかあったのかな？」

「単に算数の問題でしょ」

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