カードを規則的に取り除く難問（開成中学 2009年 ）
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１，２，３、・・・ ｎ の数が１つずつ書かれた ｎ 枚のカードを
時計回りに数の小さい順に円形に並べます。
次の規則にしたがって、カードを１枚ずつ取り除いていくとき、
最後に残るカードがどれであるかを考えます。
・ まず、１の書かれたカードを取り除く。
・ あるカードを取り除いたら、次に、
そのカードから時計回りに数えて２枚目のカードを取り除く。
・これをカードが１枚だけ残るまで繰り返す。
たとえば、ｎ＝１３のときは図１のようにカードが取り除かれ、
最後に１０の書かれたカードが残ります。
（×印は取り除いたカードを表します）
このとき、次の問いに答えなさい。
（１）ｎ＝８のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（２）ｎ＝１６のとき、１周目にカードを取り除いた時点で、
図２のように８枚のカードが残り、
次に２の書かれたカードから取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、
ｎ＝１６のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
また、ｎ＝３２ とｎ＝６４のとき、
最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。
（３）ｎ＝３５のとき、
１周目に１，３，５の書かれたカードを取り除いた時点で、
残るカードが３２枚で、
次には７の書かれたカードを取り除くことになります。
もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝３５のとき、
最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（４）ｎ＝１００のとき、
１周目に３６枚のカードを取り除いた時点で残るカードは６４枚です。
もし必要ならばこのことを用いて、ｎ＝１００のとき、
最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
（５）ｎ＝2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。
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親子で考えた解法例
「（１）ｎ＝８の図を描いてみると、図３のようになるね」
「８になる」
「（２）ｎ＝１６のとき、図２のように８枚の偶数のカードが残る。
これは図４の８の場合と同じ。
（１）では８の位置のカードが残ったので、この場合も８の位置・・・」
「１６だ」
「ｎ＝３２のときは、まず１周目に奇数のカードが取り除かれる。
すると残ったカードは２，４，６，８、・・・３２。
これは、１，２，３、・・・１６まで並んでいるのと同じ。
だからｎ＝１６のときの最後が１６だったので、この１６に相当するのは３２。
次にｎ＝６４のときも同じように１周目に奇数がすべて取り除かれ
２，４，６、・・・６４の３２枚の偶数のカードが残る。
これはｎ＝３２のときと同じだから・・・」
「６４だ」
「（３）ｎ＝３５の場合も １，３，５を取り除くと３２枚残る。
３２枚になったところで、図５のようにｎ＝３２と見なすことができるね」
「次に取り除くカードは７？」
「そう、７をスタートの１と考えて、ｎ＝３２って考えると、
３２のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」
「６か・・・」
「（４）ｎ＝１００のとき、３６枚取り除くと６４枚になるって問題にヒントがでてるね」
「６４枚のカードで考えればいいってこと？」
「そう、ｎ＝６４のとき、最後に残るのは６４だったね。
だから、ｎ＝１００のとき、
残りカードが６４枚になったときのスタートの数字と、
その前の数字を調べてみると・・・
３６枚目に取り除くのは、３６ｘ２－１＝７１ のカードで、
次に取り除くのは７３のカードになる」
「こんがらがってきた」
「図６を見て」
「７２だ」
「（１）、（２）から、ｎ の数を２倍、２倍としていくと、
最後に残るカードも２倍、２倍となることがわかる？」
「わからない」
「そうなってるでしょ」
「そう言われてみると・・・」
「（４）でｎ＝１００のとき、最後に残る数は７２ということがわかったから、
これを２倍、２倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」
「地道な方法だな」
ｎ＝200 のときは ７２ｘ２
ｎ＝400 のときは、７２ｘ２ｘ２
ｎ＝800 のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２
ｎ＝1600 のときは、７２ｘ２ｘ２ｘ２ｘ２ ＝７２ｘ１６＝１１５２
「だから、ｎ＝2009のとき、
１周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。
これを利用する・・・」
「どう利用するの？」
「409枚目に取り除くカードは、409ｘ２-１＝817 で、
次に取り除くカードは819になるでしょ？」
「図を見ればそうだけど・・・」
「で、（５）の答えは８１９＋７２ｘ１６＝８１８＋１１５２＝１９７０」
「ｎ＝２００９にしたのは２００９年の入試問題だからだな」
「そうでしょうね」
「何で答えが１９７０なんだろう？この年なんかあったのかな？」
「単に算数の問題でしょ」
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