立体図形の表面積（桜蔭中学 2017年）
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上の図のような立体１，２，３が、どれも１個以上あります。
立体１は円すい、立体２は円柱、
立体３は底面の半径が４ｃｍの円柱から
底面の半径が２ｃｍの円柱をくりぬいてできた立体です。
立体１の底面（下の面）は赤、立体２の底面（上下の２つの面）は青
立体３の底面（上下の２つの面）は黄色にぬられていて、
どの立体もその他の面はすべて白くぬられています。
このとき次の問いに答えなさい。
（１）
立体１，２，３の１個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、
赤、青、黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。
（２）
すべての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、
青くぬられている部分の面積の合計と、
黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき、
すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計は
最も少なくて何ｃ㎡ ですか。
（３）
すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計が
５６５２ｃ㎡ であるとき、
立体１，２，３はそれぞれ何個ずつありますか。
考えられる個数の組をすべて答えなさい。
ただし、立体１，２，３は、どれも異なる個数あるとします
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解答
（１）立体１の白い部分の面積は、
２５×２５×３．１４×６/２５＝１５０×３．１４＝４７１ｃ㎡
立体１の赤い部分の面積は、
６×６×３．１４＝３６×３．１４＝１１３．０４ｃ㎡
立体２の白い部分の面積は、
３×２×３．１４×２０＝１２０×３．１４＝３７６．８ｃ㎡
立体２の青い部分の面積は、
３×３×３．１４×２＝１８×３．１４＝５６．５２ｃ㎡
立体３の白い部分の面積は、
２×２×３．１４×１５＋４×２×３．１４×１５
＝６０×３．１４＋１２０×３．１４
＝１８０×３．１４＝５６５．２ｃ㎡
立体３の黄色い部分の面積は、
（４×４×３．１４－２×２×３．１４）×２
＝２４×３．１４＝７５．３６ｃ㎡
（２）立体１，２，３の赤、青、黄色の部分の面積は、
立体１の赤い部分の面積＝３６×３．１４
立体２の青い部分の面積＝１８×３．１４
立体３の黄色い部分の面積＝２４×３．１４
なので、３６，１８，２４の最小公倍数を考えればよく、７２です。
つまり、
立体１の赤い部分の面積＝３６×３．１４×２個
立体２の青い部分の面積＝１８×３．１４×４個
立体３の黄色い部分の面積＝２４×３．１４×３個
となり、 立体１が２個、立体２が４個、立体３が３個のときが
白くぬられている部分の面積の合計が最も小さいときで、
１５０×３．１４×２＋１２０×３．１４×４＋１８０×３．１４×３
＝（３００＋４８０＋５４０）×３．１４
＝１３２０×３．１４
＝４１４４．８ｃ㎡
となります。
（３）立体１の個数を●、立体２の個数を▲、立体３の個数を■
とすると、
１５０×３．１４×●＋１２０×３．１４×▲＋１８０×３．１４×■
＝（１５０×●＋１２０×▲＋１８０×■）×３．１４＝５６５２
となるので、
５６５２÷３．１４＝１８００
より、
１５０×●＋１２０×▲＋１８０×■
＝１５×１０×●＋１２×１０×▲＋１８×１０×■
＝（１５×●＋１２×▲＋１８×■）×１０＝１８００
なので、
１５×●＋１２×▲＋１８×■＝１８０
で、
３×５×●＋３×４×▲＋３×６×■＝１８０
３×（５×●＋４×▲＋６×■）＝１８０
となるので、
５×●＋４×▲＋６×■＝６０
という式ができます。
●、▲、■は、少なくとも１個ずつあるので、
●＝〇＋１
▲＝△＋１
■＝□＋１
と考えます（〇、△、□は、０以上）
５×●＋４×▲＋６×■
＝５×（〇＋１）＋４×（△＋１）＋６×（□＋１）
＝５×〇＋４×△＋６×□＋５＋４＋６＝６０
なので、
５×〇＋４×△＋６×□＝４５
という式ができます。
〇、△、□の組み合わせ（〇、△、□）を考えると、
４５が奇数なので、〇には奇数が入らなければ
式が成り立ちません。
（〇、△、□）＝（１，１，６）、（１，４，４）、（１，７，２）、（１，１０，０）
（３，０，５）、（３，３，３）、（３，６，１）、
（５，５，０）、（５，２，２）
が考えられますが、それぞれ異なる数という条件があるので、
（〇、△、□）＝（１，７，２）、（１，１０，０）、（３，０，５）、（３，６，１）
となり、
（●、▲、■）＝（２，８，３）、（２，１１，１）、（４，１，６）、（４，７，２）
です。
つまり、（立体１、立体２、立体３） は、
（２個、８個、３個）、（２個、１１個、１個）、
（４個、１個、６個）、（４個、７個、２個）
の４通りが考えられます。
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