分野別1500解法

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ちょっと難しい通過算(麻布中学 2012年)

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列車A,B はそれぞれ一定の速さで、

並行(へいこう)する線路の上を逆向きに走っています。

ある地点を列車の先頭が通過してから

最後尾が通過するまでの時間は、A が15秒、B が20秒です。

また、A とB がすれ違うのに要する時間は18秒です。

列車A とB の速さの比と長さの比をそれぞれ求めなさい。

Train_greenTrain_orange

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ある地点を列車の先頭が通過してから

最後尾が通過するまでの時間というのは、

列車が列車の長さのキョリを進むのにかかる時間です。

A が15秒、B が20秒 かかり、

A とB がすれ違うのにかかる時間が18秒ということから、

まず、下の図1のようにすれ違う場面を考えましょう。

すれ違う地点をP とします。

Pic_2814a

すれ違い始めて15秒後、列車A は地点Pを完全に通過しますが、

列車B は地点P を通過するには20秒必要ですから、5秒分、

すなわち、列車B の長さの 1/4分は、地点Pを通過できず、

列車A と重なっています。

 

さらに、3秒後、すれ違い始めて18秒後は、下の図2のように

列車A と列車B の最後尾がすれ違い終わり、

Pic_2815a

3秒間に2つの列車は、それぞれ3秒分のキョリを進み、

   Aの長さの3/15=1/5

  Bの長さの3/20

を進んだことになります。

このキョリの合計は列車B の長さの1/4に等しいので、

下の図3のように、

        Pic_2816a

列車A の長さの1/5 と列車B の長さの1/10 が等しいことになり、

  列車A の長さ × 1/5 = 列車B の長さ × 1/10 より、

  A の長さ : B の長さ = 1/10 : 1/5 = 1 : 2

とわかります。

 

次に、速さの比は、列車A は15秒、列車B は20秒で

それぞれの列車の長さを進み、

列車Bは列車Aの2倍の長さなので、

列車B は10秒で列車A と同じ長さを進むことになり、

速さの比は、同じキョリを進む時間の逆比 なので、

  A の速さ : B の速さ = 10 : 15 = 2 : 3 

とわかります。

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