正四面体ＰＱＲＳの一辺の長さは？（２０１２年算数オリンピック、ファイナル問題より）

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４つの面に囲まれた立体のことを四面体といい、

四面体のすべての辺が等しい立体のことを正四面体とよびます。

正四面体ＡＢＣＤの各頂点から対面に下ろした垂線４本は、

１点で交わることがわかっています。

この点をＨとし、Ａから対面に下ろした垂線の足をＥとすると、

ＡＨ＝ＥＨ×３となりました。

いま、一辺が１ｃｍの正四面体ＡＢＣＤの外側に、

辺が１ｃｍの４つの正四面体

ＰＢＣＤ、ＱＡＣＤ、ＲＡＢＤ、ＳＡＢＣ、を配置するとき，

４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを結んでできる立体ＰＱＲＳもまた正四面体となります。

正四面体ＰＱＲＳの一辺の長さを求めなさい。

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