長方形の中の三角形 （筑波大学附属駒場中学 2003年 改題）

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下の図１は、長方形に対角線を一本引いたものです。

図１の黄色い部分と同じ面積を表す図形を

①～⑨の中からすべて選びなさい。

なお、分割されているものは、

黄色い部分の面積をすべて合計するものとします。

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解法例

①、②は等積変形により、図１と同じになります。

③は、長方形の対角線同士の交点は、１：１に対角線を分けるので、

下図の赤と青の部分は、底辺が等しいので

面積が等しくなります。

よって、③も図１と等しくなります。

④についても、対角線の交点を台形の斜辺が通っているので、

図の青い部分と赤い部分の面積は三角形が合同なので、

等しくなります。

よって、④も図１と等しくなります。

⑤については、長方形の１辺に平行な線を底辺とした三角形が

２個あることを示しており、

下の図のように等積変形できますのでこれは①と同じです。

なので、⑤も図１と等しくなります。

また、⑤については、

下図のように三角形の頂点から底辺へ垂線を下ろすと、

４つの長方形を作ることができます。

それぞれの長方形の中で、黄色い部分は半分の面積です。

なので、全体でも元の大きな長方形の面積の半分といえます。

⑥については、下図のように、⑤と同様に長方形を作ると

真ん中の部分が余ってしまい、

二等分の面積にはなりませんので、図１とは面積が違うことがわかります。

⑦については、下図のように、長方形の１辺と平行な線を引くと

このように等積変形できます。これは①と同じなので、

⑦も図１と等しいということがわかります。

⑧については、向き合った三角形同士は同じ面積ですが、

全体として黄色い部分が長方形の半分とはいえませんので

これは図１とは異なります。

よって、答えは、①、②、③、④、⑤、⑦　でした。

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