巻き終わるまでにかかった時間と長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年）

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点Ｏ を中心とする半径６ｃｍの円板を３分の１に切った板が あります。

この板を下の図Ａ のように、ＯＰが地面と平行になる ように点Ｏで壁に固定して、

長さ２０ｃｍのひもＰＱをぶら下げます。

いま、点Ｏを中心として、毎秒２０°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を３として、次の問に答えなさい。

　　　　

（１）ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

（２）ひもを巻き終わるまでに点Ｑが動いた長さを求めなさい。

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円周率が３と指定されていることに注意しましょう。

（１）板の弧の長さは、６×２×３×１２０/３６０＝１２ｃｍ です。

板の半径をＯＰとＯＲ とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもＰＱは、まず、下の図１のように２４０°回転してＰＯ、ＯＲの部分に巻き取られ、

　　　　　

残りがＲＱの部分の８ｃｍになります。

弧ＰＲの長さが１２ｃｍなので、

弧の長さの２/３回転すれば完全に巻き取ることができ、

図１の状態から、１２０°の２/３の８０度回転すればよく、

最初の状態から、２４０＋８０＝３２０°

回転すれば巻き終わります。

毎秒２０°回転するので、かかる時間は、３２０÷２０＝１６秒

と求められます。

（２）まず板が９０度回転して、点Ｑは下の図２の状態になります。

　　

点Ｑが動いた長さ（赤い点線）は、６×２×３×９０/３６０＝９ｃｍで、

次に点Ｑは、図２から下の図３の状態まで６０度回転しても動きません。

　

図３の状態から、図１の状態まで、下の図４のように点Ｑが動き、

　

この移動した長さも、同様に９ｃｍです。

図４からは点Ｑは上へ８ｃｍ動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Ｑが動いた長さは、

　 ９＋９＋８＝２６ｃｍ です。

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