長さ、角度、面積比は？（今年 ２０１８年 慶應義塾湘南藤沢中等部）

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６つの角がすべて等しい六角形ＡＢＣＤＥＦと 円の１/４の図形ＯＤＧが、

図のように重なっています。

点Ｏは辺ＢＣの真ん中の点で、点Ｐは円周と辺ＥＦが重なる点です。

また、半径ＯＧは点Ｂと点Ｐを結んだ直線の真ん中の点Ｑで交わっています。

（１）ＯＱの長さを求めなさい。

（２）アの角度は何度ですか。

（３）辺ＡＢの長さが２ｃｍのとき、

　　六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は三角形ＯＣＤの面積の何倍ですか。

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（１）△緑と△黄は合同なので、OD＝DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP＝３０＋６０＝９０°なので、∠BOP＝９０°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は２：１

OP：HP＝２：１より、OH＝HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO＝QP＝BQ　より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ＝１８０－（３０＋９０）＝６０°より、

∠QBO＝６０°になって、△赤は正三角形になります。

OQ＝BO＝OC＝４ｃｍ

（２）∠BPO＝３０°より、

∠BPE＝３０＋６０＋３０＝１２０°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア＝∠GQP=∠BQO＝６０°

（３）

AB＝２ｃｍなので、

図のように、△RBAのような、１辺が２ｃｍの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には４個、

正六角形QOCDEPの中には、４×６＝２４個

四角形ABPFの中には、図のように７個

六角形ABCDEFの中に合計、４＋７＋２４＝３５個

△OCDの中には４個なので、

３５/４倍

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