ちょっと難しい通過算（麻布中学 ２０１２年）
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列車Ａ，Ｂ はそれぞれ一定の速さで、
並行（へいこう）する線路の上を逆向きに走っています。
ある地点を列車の先頭が通過してから
最後尾が通過するまでの時間は、Ａ が１５秒、Ｂ が２０秒です。
また、Ａ とＢ がすれ違うのに要する時間は１８秒です。
列車Ａ とＢ の速さの比と長さの比をそれぞれ求めなさい。
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ある地点を列車の先頭が通過してから
最後尾が通過するまでの時間というのは、
列車が列車の長さのキョリを進むのにかかる時間です。
Ａ が１５秒、Ｂ が２０秒 かかり、
Ａ とＢ がすれ違うのにかかる時間が１８秒ということから、
まず、下の図１のようにすれ違う場面を考えましょう。
すれ違う地点をＰ とします。
すれ違い始めて１５秒後、列車Ａ は地点Ｐを完全に通過しますが、
列車Ｂ は地点Ｐ を通過するには２０秒必要ですから、５秒分、
すなわち、列車Ｂ の長さの １/４分は、地点Ｐを通過できず、
列車Ａ と重なっています。
さらに、３秒後、すれ違い始めて１８秒後は、下の図２のように
列車Ａ と列車Ｂ の最後尾がすれ違い終わり、
３秒間に２つの列車は、それぞれ３秒分のキョリを進み、
Ａの長さの３/１５＝１/５
Ｂの長さの３/２０
を進んだことになります。
このキョリの合計は列車Ｂ の長さの１/４に等しいので、
下の図３のように、
列車Ａ の長さの１/５ と列車Ｂ の長さの１/１０ が等しいことになり、
列車Ａ の長さ × １/５ ＝ 列車Ｂ の長さ × １/１０ より、
Ａ の長さ ： Ｂ の長さ ＝ １/１０ ： １/５ ＝ １ ： ２
とわかります。
次に、速さの比は、列車Ａ は１５秒、列車Ｂ は２０秒で
それぞれの列車の長さを進み、
列車Ｂは列車Ａの２倍の長さなので、
列車Ｂ は１０秒で列車Ａ と同じ長さを進むことになり、
速さの比は、同じキョリを進む時間の逆比 なので、
Ａ の速さ ： Ｂ の速さ ＝ １０ ： １５ ＝ ２ ： ３
とわかります。
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