クイズ

立体図形の表面積(桜蔭中学 2017年)

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0046

上の図のような立体1,2,3が、どれも1個以上あります。

立体1は円すい、立体2は円柱、

立体3は底面の半径が4cmの円柱から

底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
 

立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)は青

立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、

どの立体もその他の面はすべて白くぬられています。

このとき次の問いに答えなさい。
 

(1)


立体1,2,3の1個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、

赤、青、黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。

(2)

すべての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、

青くぬられている部分の面積の合計と、

黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき

すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計は

最も少なくて何c㎡ ですか。

(3)

すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計が

5652c㎡ であるとき、

立体1,2,3はそれぞれ何個ずつありますか。

考えられる個数の組をすべて答えなさい。

ただし、立体1,2,3は、どれも異なる個数あるとします

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大量発生したセミ(渋谷教育学園幕張中学 2011年)

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北アメリカ大陸には、

何年かごとにあるせまい地域に集中して大量発生する

特別な種類のセミがいます。

たとえば、2004年にある地域で50億匹のセミが大量発生したときは、

17年ごとに大量発生するセミだったので、17年ゼミと呼ばれました。

このようなセミの大量発生について、

次の各問いに答えなさい。

 

(1)

50億匹のセミが、

およそ1.25k㎡の範囲に集中して発生したとします。

このとき、もし家の底庭が6mx4mの長方形と同じ広さだとしたら、

この家の庭には、何匹のセミが発生することになりますか。

【ただし、セミは範囲内に均等に発生するものとします。】

 

(2)

12年ゼミ、18年ゼミ、13年ゼミ、17年ゼミが

ある年に同時に大量発生したとします。

この次に、13年ゼミと17年ゼミが同時に大量発生するのは、

12年ゼミと18年ゼミが

この次に同時に大量発生する年の何年後になりますか。

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Photo_4

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立方体制作と場合の数(久留米大学附設中学 2010年)

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黒玉と白玉を合わせて8個と棒12本を使って立方体の形を作るとき、

黒と白の異なる配置は何通りあるかを求めます。

ただし、回転を組み合わせて同じ位置に出来るときは、

異なる配置とは考えません。

たとえば、黒玉1個、白玉7個の場合、

下のように一見①から⑧のように8通りありそうですが、

①から適当に回転を組み合わせて②~⑧にすることができるので、

この場合の異なる配置は、1通りです。

 

423

 

(1)黒玉2個、白玉6個の場合、異なる配置は3通りです。

   黒玉の場所を2ケ所塗ることで、異なる配置を書きなさい。

(2)黒玉4個、白玉4個の場合、異なる配置は何通りあるのかを、

   必ず異なる配置だけを書くことで答えなさい。

   もし、同じ配置を2つ以上書いていたら、

   その配置はいずれも書いていないものとして採点します。

   上の例でいえば、①と②が書いてあれば,

   何も書いていないことになります。

(3)黒玉も白玉も必ず1個以上使うとき,

   異なる配置は全部で何通りですか。

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Gifcube

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超発想の立体図形問題(第9回算数オリンピック ファイナル)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

 ●面ABCを床につけると、頂点Dは床から10cm、

   点Pは床から3cmのところにあります。

 ●面ACDを床につけると、頂点Bは床から8cm、

   点Pは床から1cmのところにあります。

 ●面ABDを床につけると、頂点Cは床から12cm、

   点Pは床から5cmのところにあります。

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

      点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

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A=?、B=?、C=?(灘中学 2013年)

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2ケタの整数 AB があります。

間に 0 を入れて 3ケタの整数 A0B を作ると、

この数は AB で割り切れます。

また、両端と間に数字 C を入れて5ケタの整数 CACBC を作ると、

この数も AB で割り切れます。

このとき、5ケタの整数 CACBC を答えなさい。

ただし、A,B,C はすべて異なる数字で、

どれも 0 ではないものとします。

Subt006s

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ままこだて問題の規則性は?(武蔵中学 2011年)

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[ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ 176 ] の176枚のカードが、

上からこの順になるように重ねてあります。

一番上のカードを一番下に移し、

見えたカードを一枚取り除きます。

これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。

1回目は[ 1 ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。

2回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

(2)100回目に取り除かれるカードに書かれている数を答えなさい。

(3)最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

Play072s

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Gify

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トラック競争の原理(筑波大学附属駒場中学 2001年)

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下の図のように、半円部分と50mの直線部分でできた走路があります。

この走路は、第1コースが1周200mで、

第2コースが1周206mになっています。

Pic_2756q

A君、B君、C君はこの走路を、図の矢印の向きに、

それぞれ一定の速さで走ります。

A君が100m走る間にB君が80m走るとき、次の問に答えなさい。

(1)

A君が図のアの位置から第1コースを、

B君がアより前方の位置から第2コースを、同時に走り始めたとき、

B君がちょうど100m走ったところでA君に追いつかれました。

B君が走り始めた位置はアより何 m 前方ですか。

(2)

図のアの位置から、A君は第1コースを、B君は第2コースを、

同時に走り始めて何周もまわると、A君はB君を何度も追いぬきます。

2度目に追いぬくのは、A君が何周目を走っているときですか。

(3)

図のアの位置から、A君は第1コースを、C君は第2コースを、

同時に走り始めて、A君が1周する間にC君を追いぬくことがありました。

C君が100m走る間にA君が何 m 走っているか考えるとき、

そのキョリとして考えられるもののうち、

メートルの単位で考えて、最も小さい整数を答えなさい。

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Gifa5

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変ったサイコロ問題(麻布中学 2013年)

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8つの面がすべて合同な正三角形からなる図1のような立体について考えます。

それぞれの面には、図2のように 1から8までの数字が書かれています。

     Pic_4134q

Pic_4135q

下の図3のように、この立体を面ABC が底面となるように置きます。

 Pic_4136q

底面のいずれか1辺を軸として、

となり合う面が底面となるように

この立体を動かすことを「転がす」ということにします。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)

図3の状態から1回目に辺AC を軸として転がし、

続けて 2回目に辺CD を軸として転がしました。

その結果、最後に底面と重なる位置を、

下の図4の三角形に色をつけて示しなさい。

また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。

 Pic_4137q

図3の状態から4回、自由に転がします。

このとき、以下の(2)、(3)、(4)に答えなさい。

(2)

下の図5の【ア】は、最後に底面と重なる位置の1つです。

【ア】以外の、最後に底面と重なる位置の三角形をすべて、

 

太線で囲い示しなさい。

また、【ア】の位置に最後に重なる底面に書かれた数字として

考えられるものをすべて答えなさい。

 Pic_4138q

(3)

4回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。

 

ただし、最後の底面の位置が同じでも、

途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。

(4)

最後に底面となる面に書かれた数字を、

(3)のすべての転がし方について足し合わせたとき、

その和を求めなさい。

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展開図の難問に挑戦!(栄光学園中学 2013年)

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いくつかの立方体でできた立体の展開図について考えます。

折り目となるところは細線 ― で、

切れ目となるところは太線 で表すと、

下の図1の立体の展開図は、図2のようになります。

      Pic_3290q

(1)下の図3、図5の立体の展開図を、

それぞれ図4、図6の細線 ― の一部を太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3291q

      Pic_3292q_2

(2)下の図7の立体の展開図を、

図8の点線の一部を細線 ― や太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3293q

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展開図イメージと解法例

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カードを規則的に取り除く難問(開成中学 2009年 )

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1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを

時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、

最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、

 そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、n=13のときは図1のようにカードが取り除かれ、

最後に10の書かれたカードが残ります。

Zu1

(×印は取り除いたカードを表します)

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)n=8のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(2)n=16のとき、1周目にカードを取り除いた時点で、

図2のように8枚のカードが残り、

次に2の書かれたカードから取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、

n=16のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

また、n=32 とn=64のとき、

最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

(3)n=35のとき、

1周目に1,3,5の書かれたカードを取り除いた時点で、

残るカードが32枚で、

次には7の書かれたカードを取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、n=35のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(4)n=100のとき、

1周目に36枚のカードを取り除いた時点で残るカードは64枚です。

もし必要ならばこのことを用いて、n=100のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(5)n=2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

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親子で考えた解法例

(1)n=8の図を描いてみると、図3のようになるね」

Zu3

「8になる」

「(2)n=16のとき、図2のように8枚の偶数のカードが残る。

これは図4の8の場合と同じ。

(1)では8の位置のカードが残ったので、この場合も8の位置・・・」

Zu4_4

「16だ」

「n=32のときは、まず1周目に奇数のカードが取り除かれる。

すると残ったカードは2,4,6,8、・・・32。

これは、1,2,3、・・・16まで並んでいるのと同じ。

だからn=16のときの最後が16だったので、この16に相当するのは32。

次にn=64のときも同じように1周目に奇数がすべて取り除かれ

2,4,6、・・・64の32枚の偶数のカードが残る。

これはn=32のときと同じだから・・・」

「64だ」

「(3)n=35の場合も 1,3,5を取り除くと32枚残る。

32枚になったところで、図5のようにn=32と見なすことができるね」

Zu5

「次に取り除くカードは7?」

「そう、7をスタートの1と考えて、n=32って考えると、

32のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「6か・・・」

「(4)n=100のとき、36枚取り除くと64枚になるって問題にヒントがでてるね」

「64枚のカードで考えればいいってこと?」

「そう、n=64のとき、最後に残るのは64だったね。

だから、n=100のとき、

残りカードが64枚になったときのスタートの数字と、

その前の数字を調べてみると・・・

36枚目に取り除くのは、36x2-1=71 のカードで、

次に取り除くのは73のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図6を見て」

Zu6

「72だ」

「(1)、(2)から、n の数を2倍、2倍としていくと、

最後に残るカードも2倍、2倍となることがわかる?」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「(4)でn=100のとき、最後に残る数は72ということがわかったから、

これを2倍、2倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

n=200 のときは 72x2

n=400 のときは、72x2x2

n=800 のときは、72x2x2x2

n=1600 のときは、72x2x2x2x2 =72x16=1152

「だから、n=2009のとき、

1周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。

これを利用する・・・」

「どう利用するの?」

Zu7

「409枚目に取り除くカードは、409x2-1=817 で、

次に取り除くカードは819になるでしょ?」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、(5)の答えは819+72x16=818+1152=1970」

「n=2009にしたのは2009年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが1970なんだろう?この年なんかあったのかな?」

「単に算数の問題でしょ」

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