分野別1500解法

パズル

何回ボタンをおしたか?(2016年の第一問 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、4けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。

ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

209

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、

ボタンを1回おすごとに、数字が変わります。

●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、

一の位が1から0に変わるときに、数字が変わります。

●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、

十の位が2から0に変わるときに、 数字が変わります。

●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、

百の位が4から0に変わるときに、数字が変わります。

例えば、「0000」が表示された状態から、ボタンを4回おすと、

0000→ 0001→0010→0011→0020 のように変わり、

表示される数は順に、0、1、10、11、20 です。 次の問いに答えなさい。

(1)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを10回おしたときに表示される数を答えなさい。

(2)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び 0 が表示されました。

ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

(3)機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、

それぞれ答えなさい。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

(4)機械に、ある8の倍数が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、

初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。

考えられる回数をすべて答えなさい。

ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

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23gif

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Fan300

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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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Child990374_640

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6082

200段のピラミッドのレンガの数(第29回高校生クイズ全国大会1回戦問題より)

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1段目は1×1個、

2段目は2×2個のレンガを使い、

200段のピラミッドを作るとき、

使われているレンガの数は全部で何個?

Ripo3dan1

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958
 

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ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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Asian240

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推理問題(早稲田実業学校中等部 2009年)

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A君,B君,C君,D君の4人でゲームをしました。

1回のゲームごとに1位,2位,3位,4位をそれぞれ決め,

1位には4点,2位には3点,3位には2点,4位には1点をあたえました。

このゲームを全部で4回したとき,以下のことがわかりました。

・B君の1回目の順位は3回目の順位より2位上でした。

・C君の2回目の順位は3回目の順位より1位上でした。

・D君の2回目の順位は3回目の順位より2位上でした。

このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)2回目の1位はだれですか。

(2)4人がそれぞれ自分の4回のゲームの得点を合計したとき,

合計点が次の①、②の場合について答えなさい。

①合計が一番高くなる場合は,(ア)君が(イ)点のときで,

合計点が一番低くなる場合は,(ウ)君が(エ)点のときです。

(ア)~(エ)をうめなさい。

②合計点が全員同じで,全員が1回ずつ1位をとったとき,

4回目の4位はだれですか。

1216zu1

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114

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花の形の製品(桜蔭中学 2011年)

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ある工場では粘土(ねんど)を使って「花の形の製品」を作っています。

この工場の機械では、

まず、縦2m、横5m、厚さ1cm の粘土の大きな板を作り、

その大きな板1枚から1020個の「製品」をくりぬく作業を行います。

「製品」をくりぬいた後、

残った粘土は集めて、新しい大きな板を作るために利用します。

粘土1c㎥ の重さは2g、「花の形の製品」1個の重さは 180g です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)

大きな板から1度、「製品」をくりぬき、

その後残った粘土を集めて新しい大きな板を1枚作るとします。

そのためには、初めに大きな板が少なくとも何枚あればよいですか。

 

(2)

大きな板から「製品」をくりぬき、

その後残った粘土を集めて新しい大きな板を作ります。

またその大きな板から「製品」をくりぬき、

それまでに残ったすべての粘土を集めて、新しい大きな板を作ります。

大きな板ができなくなるまでこの作業をくり返します。

75枚の新しい大きな板から、何個の「製品」ができますか。

Souko_shiwake

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111111111111???(麻布中学 2011年)

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1が12個ならんだ整数 111111111111 の約数について、

次の問に答えなさい。

(1)1、11、111、1111、11111、111111、1111111、

11111111、111111111、1111111111、

11111111111、111111111111 のうち、

111111111111 の約数をすべて選びなさい。

(2)すべての位の数字が0か1であるような約数のうち、

(1)で選んだ数以外のものを7つ答えなさい。

Blue1297980_640

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1gifyajirusi

解法例はこちらに!

31

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図形の規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

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直角三角形を次のような操作で、

いくつかの直角三角形に分割していきます。

---------------------------------------------

 

ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

 

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

 

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

 

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

 

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

 

---------------------------------------------

 

上の操作を1回と数え、

下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。 

 

 

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。 

Pic_2746q

 

(1)操作を3回行ったとき、

  直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

  直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

  考えられる個数をすべて答えなさい。

 

(2)操作を10回行ったとき、

  直角三角形ABCの辺上にある印は1個だけでした。

  直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

  また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。 

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

 

   直角三角形ABCは、

  最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

  また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

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解答

 (1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が

1つずつあるので、1個目の印を辺AB,BC,AC のどこに

つけるかで、図1、図2のように形が変わります。

 

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形

に分割されるので、残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつける

ので、下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び

操作を行うと、図7では直角三角形の個数は、8個となります。

 

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、

下の図8のように、7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

 

 (2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけ

なので、最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に

印をつけたことになります。

 

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割

できるので、多くの直角三角形に分割するには、図1に

なるように、斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

 

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、

図4の方が多くなります。その後の3回目の操作では、

下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

 

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えて

いくので、最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができる

ことがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割

されています。これは、図3→図5のところでも登場している

パターンの増え方です。2個しか増えません。

 

1回目の操作で斜辺に印をつけると、図10の赤い直角三角形が

現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、3回目の操作を

行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

 

よって、この後、図2について検証しますが、2回目の操作で

図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

 

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角

三角形と同じように、次の操作では青い点を印として、図13の

ように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に

分割されるので、図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

 

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

 7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

 

 (3)まず、最も多い場合について考えます。これは、(2)の

図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ

 増えていく

ということになります。

 よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

と考えましたが、今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増える

パターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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角CEDの大きさは?(慶應義塾中等部 2014年)

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下の図は、正方形ABCD と半円と、

中心角が90度の扇形を組み合わせたものです。

半円と扇形の交点をEとするとき、角CEDの大きさを求めなさい。

     Pic_3698q

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28

考え方と解法例はこちらで!

2403

大問7題中、3問目の(2)と最初のほうの図形問題なので、

こんなに難しくなく、

もっと短時間で解ける問題のように思えるのですが・・・

ーーーーーーーーーーーーーーーーー

みなさん、解法ヒントありがとうございました。

おかげでビックリ解答がわかりました。すごいですね・・・・

1gifyajirusi

びっくり解法例はこちらに!

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速さの比、時間の比(開成中学 2013年)

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A地点からB地点に向かって一定の速さで流れている川があります。

この川のA地点からボールを流し、

同時にB地点からA地点に向けて船が出発しました。

船がA地点で折り返して、B地点まで一往復したところ、

船がB地点に到着してから42秒後にボールもB地点に到着しました。

船がB地点からA地点まで行くのにかかった時間は、

船がA地点からB地点まで行くのにかかった時間の2.25倍でした。

船の静水での速さは一定として以下の問いに答えなさい。

(1)ボールがA地点を出発してからB地点に到着するまでに

  何分何秒かかりましたか。

(2)船とボールが出発してから、

  (ア)最初に出会うまでにかかった時間、

  (イ)船がボールに追いつくまでにかかった時間、

   をそれぞれ求めなさい。

Ilm20_aa08014s Ilm05_cb11014s

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1gifyajirusi

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