分野別1500解法

中学入試

長さ、角度、面積比は?(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部) 

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6つの角がすべて等しい六角形ABCDEFと 円の1/4の図形ODGが、

図のように重なっています。

点Oは辺BCの真ん中の点で、点Pは円周と辺EFが重なる点です。

また、半径OGは点Bと点Pを結んだ直線の真ん中の点Qで交わっています。

3111

(1)OQの長さを求めなさい。

(2)アの角度は何度ですか。

(3)辺ABの長さが2cmのとき、

  六角形ABCDEFの面積は三角形OCDの面積の何倍ですか。

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3112_2

(1)△緑と△黄は合同なので、OD=DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP=30+60=90°なので、∠BOP=90°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は2:1

OP:HP=2:1より、OH=HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO=QP=BQ より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ=180-(30+90)=60°より、

∠QBO=60°になって、△赤は正三角形になります。

OQ=BO=OC=4cm

(2)∠BPO=30°より、

∠BPE=30+60+30=120°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア=∠GQP=∠BQO=60°

(3)

3113

AB=2cmなので、

図のように、△RBAのような、1辺が2cmの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には4個、

正六角形QOCDEPの中には、4×6=24個

四角形ABPFの中には、図のように7個

六角形ABCDEFの中に合計、4+7+24=35個

△OCDの中には4個なので、

35/4倍

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682

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中学受験算数解法1000→「イメージでわかる中学受験算数」

図形の重なり部分の面積と場合の数(久留米大学附設中学 2007年)

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1辺7cmの正方形の方眼紙があります。

これから等しい辺の長さが3cmの直角二等辺三角形を2つ取り除くと、

図1のような六角形ABCDEF ができます。

図1の六角形ABCDEF の赤くぬられた1辺1cmの正方形を、

「六角形のまん中の正方形」と呼ぶことにします。

次に、1辺9cmの正方形の方眼紙を用意します。

この方眼紙のマス目と六角形ABCDEFのまん中の正方形が

ぴったり重なるように図2のように重ね、重なった部分を灰色にぬります。

六角形のまん中の正方形が方眼紙からはみ出すことのないように

六角形を動かすとき、次の問に答えなさい。

Pic_0784q

(1)六角形のまん中の正方形が、

図2の緑のマス目にあるとき、灰色の部分の面積を答えなさい。

(2)灰色の部分の面積が最大になるとき、

その面積を答えなさい。

また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。

(3)灰色の部分の面積が最小になるとき、その面積を答えなさい。

また、そうなるような六角形の置き方は何通りありますか。

(4)六角形のまん中の正方形が、図2の青いマス目にあるとき、

灰色の部分の面積を答えなさい。

また、このときと灰色の部分の面積が同じになるように

六角形のまん中の正方形を置けるマス目を、すべて青くぬって表しなさい。

5882

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6084

親子で考えた解法例

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長方形の中の三角形 (筑波大学附属駒場中学 2003年 改題)

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下の図1は、長方形に対角線を一本引いたものです。

図1の黄色い部分と同じ面積を表す図形を

①~⑨の中からすべて選びなさい。

なお、分割されているものは、

黄色い部分の面積をすべて合計するものとします。

4_3

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解法例

 

①、②は等積変形により、図1と同じになります。

 

③は、長方形の対角線同士の交点は、1:1に対角線を分けるので、

下図の赤と青の部分は、底辺が等しいので

面積が等しくなります。

 

Photo_7

 

よって、③も図1と等しくなります。

 

 

 

④についても、対角線の交点を台形の斜辺が通っているので、

図の青い部分と赤い部分の面積は三角形が合同なので、

等しくなります。

 

Photo_8

 

よって、④も図1と等しくなります。

 

 

 

⑤については、長方形の1辺に平行な線を底辺とした三角形が

 

2個あることを示しており、

下の図のように等積変形できますのでこれは①と同じです。

なので、⑤も図1と等しくなります。

Photo_9

 

また、⑤については、

下図のように三角形の頂点から底辺へ垂線を下ろすと、

4つの長方形を作ることができます。

それぞれの長方形の中で、黄色い部分は半分の面積です。

 

なので、全体でも元の大きな長方形の面積の半分といえます。

 

Photo_11

 

 

 

⑥については、下図のように、⑤と同様に長方形を作ると

 

真ん中の部分が余ってしまい、

二等分の面積にはなりませんので、図1とは面積が違うことがわかります。

Photo_10

 

⑦については、下図のように、長方形の1辺と平行な線を引くと

10

 

このように等積変形できます。これは①と同じなので、

 

⑦も図1と等しいということがわかります。

 

 

 

⑧については、向き合った三角形同士は同じ面積ですが、

 

全体として黄色い部分が長方形の半分とはいえませんので

 

これは図1とは異なります。

 

よって、答えは、①、②、③、④、⑤、⑦ でした。

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何回ボタンをおしたか?(2016年の第一問 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、4けたの数字が表示される、ボタンがついた機械があります。

ボタンをおすと、次の規則にしたがって、数字が変わっていきます。

209

●一の位は、0→1→0→1→・・・ の順で、

ボタンを1回おすごとに、数字が変わります。

●十の位は、0→1→2→0→1→2→・・・ の順で、

一の位が1から0に変わるときに、数字が変わります。

●百の位は、0→1→2→3→4→0→1→2→3→4→0→・・・の順で、

十の位が2から0に変わるときに、 数字が変わります。

●千の位は、0→1→2→3→4→5→6→0→1→2→3→4→5→6→0→・・・の順で、

百の位が4から0に変わるときに、数字が変わります。

例えば、「0000」が表示された状態から、ボタンを4回おすと、

0000→ 0001→0010→0011→0020 のように変わり、

表示される数は順に、0、1、10、11、20 です。 次の問いに答えなさい。

(1)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを10回おしたときに表示される数を答えなさい。

(2)機械に 0 が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、再び 0 が表示されました。

ボタンを何回おしましたか。考えられる回数のうち、最も小さいものを答えなさい。

(3)機械に表示できる8の倍数のうち、最も小さい数と最も大きい数を、

それぞれ答えなさい。 ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

(4)機械に、ある8の倍数が表示されています。

この状態から始めて、ボタンを何回かおしたら、

初めて、別の8の倍数が表示されました。 ボタンを何回おしましたか。

考えられる回数をすべて答えなさい。

ただし、0は8の倍数とみなさないことにします。

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Fan300

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三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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6082

200段のピラミッドのレンガの数(第29回高校生クイズ全国大会1回戦問題より)

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1段目は1×1個、

2段目は2×2個のレンガを使い、

200段のピラミッドを作るとき、

使われているレンガの数は全部で何個?

Ripo3dan1

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ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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Asian240

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推理問題(早稲田実業学校中等部 2009年)

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A君,B君,C君,D君の4人でゲームをしました。

1回のゲームごとに1位,2位,3位,4位をそれぞれ決め,

1位には4点,2位には3点,3位には2点,4位には1点をあたえました。

このゲームを全部で4回したとき,以下のことがわかりました。

・B君の1回目の順位は3回目の順位より2位上でした。

・C君の2回目の順位は3回目の順位より1位上でした。

・D君の2回目の順位は3回目の順位より2位上でした。

このとき,次の各問いに答えなさい。

(1)2回目の1位はだれですか。

(2)4人がそれぞれ自分の4回のゲームの得点を合計したとき,

合計点が次の①、②の場合について答えなさい。

①合計が一番高くなる場合は,(ア)君が(イ)点のときで,

合計点が一番低くなる場合は,(ウ)君が(エ)点のときです。

(ア)~(エ)をうめなさい。

②合計点が全員同じで,全員が1回ずつ1位をとったとき,

4回目の4位はだれですか。

1216zu1

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花の形の製品(桜蔭中学 2011年)

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ある工場では粘土(ねんど)を使って「花の形の製品」を作っています。

この工場の機械では、

まず、縦2m、横5m、厚さ1cm の粘土の大きな板を作り、

その大きな板1枚から1020個の「製品」をくりぬく作業を行います。

「製品」をくりぬいた後、

残った粘土は集めて、新しい大きな板を作るために利用します。

粘土1c㎥ の重さは2g、「花の形の製品」1個の重さは 180g です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)

大きな板から1度、「製品」をくりぬき、

その後残った粘土を集めて新しい大きな板を1枚作るとします。

そのためには、初めに大きな板が少なくとも何枚あればよいですか。

 

(2)

大きな板から「製品」をくりぬき、

その後残った粘土を集めて新しい大きな板を作ります。

またその大きな板から「製品」をくりぬき、

それまでに残ったすべての粘土を集めて、新しい大きな板を作ります。

大きな板ができなくなるまでこの作業をくり返します。

75枚の新しい大きな板から、何個の「製品」ができますか。

Souko_shiwake

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111111111111???(麻布中学 2011年)

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1が12個ならんだ整数 111111111111 の約数について、

次の問に答えなさい。

(1)1、11、111、1111、11111、111111、1111111、

11111111、111111111、1111111111、

11111111111、111111111111 のうち、

111111111111 の約数をすべて選びなさい。

(2)すべての位の数字が0か1であるような約数のうち、

(1)で選んだ数以外のものを7つ答えなさい。

Blue1297980_640

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