文章題

図を描いてみないとわからない!通過算(四谷大塚 合不合判定テストより)

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長さ120mの上り電車と下り電車が、それぞれある鉄橋の両はしに同時にさしかかりました。その16秒後に、鉄橋のちょうどまん中で先頭がすれちがい、その20秒後にどちらの電車も鉄橋を渡り終えました。この鉄橋の長さは何mですか?

「なんだかこんがらがってきて・・・」

「図を描いてみないからわからなくなるの!」

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「まん中だから、両方の電車は同じ速さか」

「そういうこともわかるし・・・」

「20秒後に渡り終えたんだから、36秒後」

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「何で、すれ違ってから渡り終えるまでの方が時間がかかったかわかる?」

「同じ16秒だと、まだ渡り終えていないから・・・」

「そうでしょ、図にしてみればわかるはず」

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「20秒と16秒の差は電車の長さの時間か・・・」

「そうでしょ」

「120m÷4秒で秒速30mが電車の速さ」

「鉄橋の長さは?」

「30mに16+20秒をかけて・・・」

「また間違う、電車の先頭だけを考えてみて!」

「30m×16秒×2か、・・・960mだ」

「図を描いて落ち着いて考えること!」

「電車や鉄橋、うまく書けない」

「こんなんでいいの、描けるでしょ?」

Zu1

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線分図にしてみたら?(お茶の水女子大附属中学)

中学受験専門・家庭教師の一橋セイシン会


道子さんと春子さんど秋子さんは、3人で遊園地に遊びに行きました。道子さんは交通費を3人分で1200円、春子さんは入園料を3人分で600円、それぞれ支払いました。また、秋子さんはジュースを3本分で27O円支払い、道子さんに500円玉をわたしました。そのあとで、春子さんが他の2人にいくらかずつ支払ったところ、3人の支出はすべて等しくなりました。

(1)春子さんは、道子さんにいくら支払いましたか。

(2)春子さんは、秋子さんにいくら支払いましたか。

(3)3人は、1人あたりいくら支払ったことになりますか。

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図にしてみるとわかりやすいね。

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赤玉と白玉を取り出すよ!(SAPIX サマーサポートより)

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袋の中に赤玉が70個、白玉が50個入っています。いま、この袋の中から赤玉3個と白玉3個を取り出すことをA、この袋の中から赤玉を1個取り出し、袋の中へ白玉を1個入れることをBとします。

(1)Aだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が2:1になりますか?

「赤白、両方とも3個ずつ減っていくんだから・・・」

「赤と白の差は20のまま変わらない」

Tama1

「2:1の1にあたる分が20のときだから、赤は40個」

「そう、70から40まで30個少なくなった」

「30÷3で10回だ」

(2)Bだけをくりかえして何回やれば、袋の中の赤玉と白玉の個数の比が1:5になりますか?

「Bの場合で変わらないものは?」

「全体の個数」

「そう、1:5になっても赤と白の合計は120個」

Tama2

「1にあたるのが20個だ」

「赤玉が70個から20個になったわけ」

「50回だ」

(3)A、Bをそれぞれ何回やると、袋の中の赤玉が2個、白玉が10個になりますか?

「120個が12個に減っている。A1回で6個減るから120-12の108個を6で割ると18回」

Tama3

「それがよくわからない」

「なんで?Aが18回だと赤玉は70個-18回×3個で16個になるはず。ところが実際は2個だから16-2でBを14回やったことになるでしょ」

「だってAを18回やったら54個だから、白玉なくなっちゃうよ!」

「計算上そう考えるの」

「じゃあ白玉は何個?」

「-4個」

「何?それ?」

「AとBを交互にやったから白玉はなくならなかったって考えれば?」

「なんかおかしい」

(4)A、B合わせて12回やって、袋の中の赤玉と白玉を等しくするには、12回のうちAを何回やればいいですか?

「差を減らすのはBだけだから、Bで20の差を0にすればいいね」

Tama4

「B1回で差が2つ減る」

「そう、だから20割る2でBは10回」

「Aは2回だ」

「そう、この問題はAとBの変わらないところに注目するの」

「でも(3)はあやしい」

「まだ言ってる・・・」

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天びん図で解く食塩水問題(SAPIXサマーサポートより)

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「この模範解答の意味がよくわからない」

「どんな問題?」

2種類の食塩水A、Bがあります。A、Bを混ぜあわせるとき、A:B=2:3にすると12%の食塩水、A:B=3:2にすると10%の食塩水ができます。食塩水A、Bの濃度はそれぞれ何%になりますか?。

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「食塩水の量を決めて考えるとわかりやすい、って書いてあるね」

「Aを200g、Bを300gとかにするってこと?」

「そう、合計500gの食塩水が12%だから、食塩は60gになるわけ」

「Aが300g、Bが200gのときは10%だから50gか」

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  「ここからA、Bを計算する、って解答には書いてあるね」

(これって連立方程式?)

「消去算だろ?Bをそろえて消すには・・・」

上の式を2倍⇒A×400+B×600=120

下の式を3倍⇒A×900+B×600=150

A×500=30

「Aは0.06だから6%、0.06をAに入れて計算するとBは0.16で16%になる」

「塾ではもっとかんたんな方法で習ったけど、よくわからなかった」

「どんな?」

Ten3

「こんなてんびん図を描いて・・・」

Ten4

「③-②の①が2%にあたるから、2%ずつに区切ると・・・」

Ten5

「Aが6%でBが16%になるって」

「えっ、てんびん図ってこんな風に使うの?」

「そうらしい」

「・・・・・・」

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面積図の意味がわからない!(サピックス Daily Support)

果物屋さんがリンゴを仕入れて20%の利益を見込んで売ったところ、40個売れ残ったため、利益は12%になりました。リンゴは何個売れたのでしょうか?

息子が解答用紙を持ってきて、

「この解答の意味がわからない」と言うのです。

解答は

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この面積図の意味がわからない、というわけです。

確かに方程式になれた大人では難しい図です。

説明のし方も難しい。

考えた末・・・

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「最初は20%の利益を見込んでいたのだから大きい四角。でも実際は40個は利益0だから赤い部分しかお金は入ってこない。」

ここまでは納得。次に・・・

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「実際には売れなかった40個も含めて、全部では12%の利益が出たって言っている。つまり、平均したわけよ」

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「利益が出た分から、利益のなかった40個に利益を分けてあげて、みんな同じにしたら12%の利益だったって、考えてみたら?」

「だから水の量は同じになるのか・・・」

「水の量じゃなくて、青と緑部分の面積が同じになるの」

「面積がわかっていてタテが0.08だから、割れば横がでるわけか」

なんとかふに落ちたようです。

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流水算と旅人算(Sapix マンスリーテストより)

「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はだいたいこうなってくるでしょ」

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植木算の解き方

図のように、同じ大きさのリングをつないだ「くさり」があります。

(1)リングを40個つないだとき、端から端まで何cmですか?

(2)リングを何個かつないだところ、端から端までの長さが908cmになりました。リングを何個つなぎましたか?

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平均算の解き方

A,B,Cの3人の持っているお金を調べました。A, Bの平均は98円,B,Cの平均は86円,A,Cの平均は84円になります。この3人の持っているお金はそれぞれいくらですか。

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考え方と解法例

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還元算の解き方

ある数に15を加え、その和を5で割ったら生は12で、余りは4になりました。ある数はいくつですか?

解き方と答え

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過不足算を面積図で解く方法

りんごを1人に3個ずつ分けると3個余り、5個ずつ分けると7個足りません。人数は何人で、りんごはいくつありますか?

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面積図による解法例

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