周期性

同時に頭を出しているのは何秒?(2015年 清風南海中学)

次のようなモグラたたきゲームがあります。

A,B,Cの3匹のモグラは,下のような動きをくり返します。

A:5秒間頭を出し,7秒間頭を引っ込める。

B:4秒間頭を出し,2秒間頭を引っ込める。

C:3秒間頭を出し,6秒間頭を引っ込める。

A,B,Cのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。

ゲームを始めてから7分間に

A,B,Cのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
Game_moguratataki

図解と解法例はこちらに!

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「それ計算しなくてもいいの」同時に発車は何回?(神戸女学院中学 改題)

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Densha Bus

 

ある駅では、電車とバスの始発と終発の時刻が同じで、それぞれ午前5時、午後10時30分です。この駅では電車は1日に85本、バスは50本がそれぞれ同じ間かくで発車します。電車とバスが同時にこの駅を発車するのは1日に何回ありますか。

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「午前5時から午後10時30分までは17時間と30分だから・・・」

「それ計算しなくてもいいの」

「えっ?」

電車 ●●●・・・・・・・●●● 85本 → 84個の間かく

バス ■■■・・・・・・・■■■ 50本 → 49個の間かく

「始発から終発までの時間を□とすると、間かくの時間は?」

「電車が□÷84、バスは□÷49・・・?」

「その最小公倍数を求めればいいわけだから、□は約せるよね」

「1/84と1/49の最小公倍数・・・?」

「84は12×7、49は7×7だから1/7でしょ」

「□×1/7の時間ごとに電車とバスが同時に出発するわけか」

「だから全体の□を□/7で割って7回」

「始発の1回をたして8回」

「□=1、つまり、始発から終発までの時間を1とすると、解きやすくなるね」

「でも□って1050分でしょ?」

「そうだけど」

「84で割れば12分30秒ごとだけど、49で割ったら21と3/7分で割り切れない」

「だから全体の時間を計算しない方が・・・」

「それにしても21分25.714・・・・秒ごとに出発するバスなんてあるのかな?」

「そこまでつっこまないほうがいいのでは・・・」

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なんで最小公倍数を使うのかわからない!間かくの規則性(Sunday Sapixより)

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道路の左側には45mの間かくで交通標識が、右側には60mの間かくで街灯が立ててあり、どちらも端から端までならんでいて、本数の差は40本です。

(1)道路の長さを求めなさい。

(2)街灯の本数を求めなさい。

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「図にしてみると・・・」

Ki1

「なんで最小公倍数を使うのかわからない」

「端から数えて最初に右と左がそろうところだからでしょ」

Ki2

「それが180m?」

「道路がもし180mだったら左右の差は何本になるか考えるの」

「左の交通標識は180÷45+1で5本、右の街灯は180÷60+1出4本だから、差は1本」

「差は40本になったわけだから、180mの40倍でしょ?」

「180×40で7200m

「街灯は60mごとだから・・・」

7200m÷60m=120←街灯の間かくの数

120+1=121本

「最小公倍数の180じゃなくて45×60の2700でも計算できる?」

「やってみたら」

2700÷45+1=61本

2700÷60+1=46本

61本-46本=15本

「40本差だから15本の40/15倍だね」

「8/3だから2700mにかけると・・・、7200mになる」

「45と60の公倍数なら全部できるでしょうけど、計算がしにくくなるね」

「最小公倍数が一番計算しやすいってことなのか」

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数えやすくなった! 周期の規則性(Sapixスタンダードテストより)

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「こうゆうの、地道に考えていくしかないのかなぁ」

あるコンビニエンスストアでは、1本120円のジュースの空きかんを3本持っていくと、1本120円のジュースを1本おまけしてくれるサービスを行っています。たとえば最初に4本買ったとすると、そのうちの3本で1本おまけがもらえるので、全部で5本のジュースが飲めることになります。

(1)最初に8本買うと、最大で何本飲めますか?

(2)5000円のお金で、このジュースは最大で何本飲めますか?

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「少ない本数なら地道に数えてもいいけどね」

「8本ならなんとか数えられるけど・・・」

「最初に8本飲むんじゃなくて、3本飲むことにして5本残す、って考えてみたら?」

「3本飲んで1本おまけをもらう」

「その1本に5本の中から2本を加える」

「3本になる」

「また1本おまけをもらう」

「また2本加えるの?」

「そう」

「数えやすくなった」

11本

「(2)も同じように考えるわけ。まず、何本買えるか?」

「5000円÷120円で41本買えて80円余る」

「最初は3本、残りは?」

「38本」

「2本ずつ並べると?」

「19」

Zu2

「おまけの本数は?」

「19+1で20本」

「全部で?」

「41+20で61本」

「そんなふうに数えてみたらいいね」

「規則的だ!」

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問題を解くキーは最小公倍数!

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1から350までの整数が一列にならんでいます。はじめに,3の倍数を○で囲みました。次に,残った数の中で7の倍数を○で囲みました。
このとき,1,2,…,⑥,⑦,……のように,2つ連続して○で囲まれている数の組は全部で何組ありますか。

問題を解くキーは何だと思う?

「最小公倍数」

そう、では3と7の最小公倍数は?

「21」

この21が1×21、2×21、3×21・・・・・のように、くり返し出てくるって考えればわかりやすいかも・・・

「1~21だけ調べればいいわけか」

9111

「⑥⑦と⑭⑮の2組ある」

350まで21の周期はいくつ?

「350÷21=16・・・14だから、2組×16=32組と残り14までの1組で32+1=33組」

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描いてみなきゃわからない!(早稲田中学 2009年)

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Ki1_2

同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図1の場合は4個の正方形を通り、図2の場合は2個の正方形を通ります。

①縦に3個、横に4個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

②縦に12個、横に16個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

③縦に12個、横に17個の正方形をしきつめて図3のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか?

「何で図3に描いてみないの?描いてみなきゃわからないでしょうに」

「だって、①②③とも図3を使うからごちゃごちゃになると思って」

「消しゴムあるでしょ」

「それに図2みたく線の交点を通るかどうかがわからない」

Ki34_3

「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから6つの正方形を通る」

「そんな風にやるの?規則性は?」

「だんだん規則性が見えてくるの!」

「②も同じようにやるの?」

「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」

Ki16

「緑が①の図形と考えれば、①の4倍で24個か」

「そう、ここで規則性」

「???」

Ki341_2

「正方形が横4つなら境目は赤の3本。縦が3つなら境目は青の2本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は3+2で、それにスタートした正方形1をたして6個というわけ」

「じゃあ、縦と横の境目をたして、1たせばいいの?」

Ki21_2

「2×2のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも1かける1なら境目が0だから0+0+1でこの規則が成り立つね。2×2はその2倍で2個」

「重なるか重ならないかの違いは?」

「縦と横の数が1以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」

「2×2は2が共通の約数だ」

「では③はどう?」

「もたないから16+11+1で28個だ」

Ki17

「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」

「別の規則性発見したんだけど・・・」

「どんな?」

Ki3416_2

「縦3と横4をたすと7だから、縦1、横6個にする。これも6個になるよ」

「えっ?じゃあ③の縦12個、横17個の場合は?」

「たすと29だから、縦1個、横28個で28個!」

「??????」

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周期性→連続した数の掛け算(筑波大学附属駒場中学 2012年)

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1からA までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「0」の個数を記号<A>で表します。

例えば、

1×2×3×4=24   なので、<4> の数値は「0」で、

1×2×3×4×5=120 なので、<5> の数値は「1」です。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)<10>、<15>の数値をそれぞれ答えなさい。

(2)<A> の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から2つ答えなさい。

(3)<1>、<2>、<3>、・・・、<125> の数値の合計を求めなさい。

考え方と答え

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周期性問題→2010番目の数字は?(六甲中学 2010年)

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10を13で割ったとき、小数第2010位の数字はいくつですか。

Cocolog_oekaki_2011_01_20_09_38

考え方とこたえ

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周期性→カエルぴょこぴょこ(浦和明の星女子中学 2011年)

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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を1回のジャンプで10cm登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて20回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで5分かかります。その後、10分間休みます。このカエルは、このような5分間のジャンプと10分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから55分後には何 m 登ったところにいますか。

(2)このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に 2cm下がってしまいます。また、10分間の休みを取っている間にも 80cm下がってしまいます。

【1】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて20回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。

【2】この氷の斜面は 9m 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。

2

考え方と答え

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周期性問題→カエルぴょこぴょこ(浦和明の星女子中学 2011年)

あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を1回のジャンプで10cm登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて20回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで5分かかります。その後、10分間休みます。このカエルは、このような5分間のジャンプと10分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。

(1)このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから55分後には何 m 登ったところにいますか。

(2)このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に 2cm下がってしまいます。また、10分間の休みを取っている間にも 80cm下がってしまいます。

【1】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて20回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。

【2】この氷の斜面は 9m 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。

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考え方と答え

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