次のようなモグラたたきゲームがあります。
Ａ，Ｂ，Ｃの３匹のモグラは，下のような動きをくり返します。
Ａ：５秒間頭を出し，７秒間頭を引っ込める。
Ｂ：４秒間頭を出し，２秒間頭を引っ込める。
Ｃ：３秒間頭を出し，６秒間頭を引っ込める。
Ａ，Ｂ，Ｃのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。
ゲームを始めてから７分間に
Ａ，Ｂ，Ｃのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
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ある駅では、電車とバスの始発と終発の時刻が同じで、それぞれ午前５時、午後１０時３０分です。この駅では電車は１日に８５本、バスは５０本がそれぞれ同じ間かくで発車します。電車とバスが同時にこの駅を発車するのは１日に何回ありますか。
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「午前５時から午後１０時３０分までは１７時間と３０分だから・・・」
「それ計算しなくてもいいの」
「えっ？」
電車 ●●●・・・・・・・●●● ８５本 → ８４個の間かく
バス ■■■・・・・・・・■■■ ５０本 → ４９個の間かく
「始発から終発までの時間を□とすると、間かくの時間は？」
「電車が□÷８４、バスは□÷４９・・・？」
「その最小公倍数を求めればいいわけだから、□は約せるよね」
「１/８４と１/４９の最小公倍数・・・？」
「８４は１２×７、４９は７×７だから１/７でしょ」
「□×１/７の時間ごとに電車とバスが同時に出発するわけか」
「だから全体の□を□/７で割って７回」
「始発の１回をたして８回」
「□＝１、つまり、始発から終発までの時間を１とすると、解きやすくなるね」
「でも□って１０５０分でしょ？」
「そうだけど」
「８４で割れば１２分３０秒ごとだけど、４９で割ったら２１と３/７分で割り切れない」
「だから全体の時間を計算しない方が・・・」
「それにしても２１分２５．７１４・・・・秒ごとに出発するバスなんてあるのかな？」
「そこまでつっこまないほうがいいのでは・・・」
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道路の左側には４５ｍの間かくで交通標識が、右側には６０ｍの間かくで街灯が立ててあり、どちらも端から端までならんでいて、本数の差は４０本です。
（１）道路の長さを求めなさい。
（２）街灯の本数を求めなさい。
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「図にしてみると・・・」
「なんで最小公倍数を使うのかわからない」
「端から数えて最初に右と左がそろうところだからでしょ」
「それが１８０ｍ？」
「道路がもし１８０ｍだったら左右の差は何本になるか考えるの」
「左の交通標識は１８０÷４５＋１で５本、右の街灯は１８０÷６０＋１出４本だから、差は１本」
「差は４０本になったわけだから、１８０ｍの４０倍でしょ？」
「１８０×４０で７２００ｍ」
「街灯は６０ｍごとだから・・・」
７２００ｍ÷６０ｍ＝１２０←街灯の間かくの数
１２０＋１＝１２１本
「最小公倍数の１８０じゃなくて４５×６０の２７００でも計算できる？」
「やってみたら」
２７００÷４５＋１＝６１本
２７００÷６０＋１＝４６本
６１本－４６本＝１５本
「４０本差だから１５本の４０/１５倍だね」
「８/３だから２７００ｍにかけると・・・、７２００ｍになる」
「４５と６０の公倍数なら全部できるでしょうけど、計算がしにくくなるね」
「最小公倍数が一番計算しやすいってことなのか」
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「こうゆうの、地道に考えていくしかないのかなぁ」
あるコンビニエンスストアでは、１本１２０円のジュースの空きかんを３本持っていくと、１本１２０円のジュースを１本おまけしてくれるサービスを行っています。たとえば最初に４本買ったとすると、そのうちの３本で１本おまけがもらえるので、全部で５本のジュースが飲めることになります。
（１）最初に８本買うと、最大で何本飲めますか？
（２）５０００円のお金で、このジュースは最大で何本飲めますか？
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「少ない本数なら地道に数えてもいいけどね」
「８本ならなんとか数えられるけど・・・」
「最初に８本飲むんじゃなくて、３本飲むことにして５本残す、って考えてみたら？」
「３本飲んで１本おまけをもらう」
「その１本に５本の中から２本を加える」
「３本になる」
「また１本おまけをもらう」
「また２本加えるの？」
「そう」
「数えやすくなった」
１１本
「（２）も同じように考えるわけ。まず、何本買えるか？」
「５０００円÷１２０円で４１本買えて８０円余る」
「最初は３本、残りは？」
「３８本」
「２本ずつ並べると？」
「１９」
「おまけの本数は？」
「１９＋１で２０本」
「全部で？」
「４１＋２０で６１本」
「そんなふうに数えてみたらいいね」
「規則的だ！」
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１から350までの整数が一列にならんでいます。はじめに，３の倍数を○で囲みました。次に，残った数の中で７の倍数を○で囲みました。
このとき，１，２，…，⑥，⑦，……のように，２つ連続して○で囲まれている数の組は全部で何組ありますか。
問題を解くキーは何だと思う？
「最小公倍数」
そう、では３と７の最小公倍数は？
「２１」
この２１が１×２１、２×２１、３×２１・・・・・のように、くり返し出てくるって考えればわかりやすいかも・・・
「１～２１だけ調べればいいわけか」
「⑥⑦と⑭⑮の２組ある」
３５０まで２１の周期はいくつ？
「３５０÷２１＝１６・・・１４だから、２組×１６＝３２組と残り１４までの１組で３２＋１＝３３組」
同じ大きさの正方形をしきつめて長方形を作り、図の直線PQが何個の正方形を通るかを考えます。図１の場合は４個の正方形を通り、図２の場合は２個の正方形を通ります。
①縦に３個、横に４個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？
②縦に１２個、横に１６個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？
③縦に１２個、横に１７個の正方形をしきつめて図３のような長方形を作った場合、何個の正方形を通りますか？
「何で図３に描いてみないの？描いてみなきゃわからないでしょうに」
「だって、①②③とも図３を使うからごちゃごちゃになると思って」
「消しゴムあるでしょ」
「それに図２みたく線の交点を通るかどうかがわからない」
「PQは長方形の中心を通るから、赤丸の交点より上を通るし青丸の交点より下を通るでしょ。だから６つの正方形を通る」
「そんな風にやるの？規則性は？」
「だんだん規則性が見えてくるの！」
「②も同じようにやるの？」
「①の図形をしきつめればいいわけでしょ」
「緑が①の図形と考えれば、①の４倍で２４個か」
「そう、ここで規則性」
「？？？」
「正方形が横４つなら境目は赤の３本。縦が３つなら境目は青の２本。PQはその境目を通過するごとに新しい正方形に入るから、新しく通る正方形は３＋２で、それにスタートした正方形１をたして６個というわけ」
「じゃあ、縦と横の境目をたして、１たせばいいの？」
「２×２のような場合は縦と横の境目が重なってしまう。でも１かける１なら境目が０だから０＋０＋１でこの規則が成り立つね。２×２はその２倍で２個」
「重なるか重ならないかの違いは？」
「縦と横の数が１以外の共通の約数をもつと重なるし、約数をもたないと重ならない」
「２×２は２が共通の約数だ」
「では③はどう？」
「もたないから１６＋１１＋１で２８個だ」
「縦と横の交点ではビミョーに重ならないよね」
「別の規則性発見したんだけど・・・」
「どんな？」
「縦３と横４をたすと７だから、縦１、横６個にする。これも６個になるよ」
「えっ？じゃあ③の縦１２個、横１７個の場合は？」
「たすと２９だから、縦１個、横２８個で２８個！」
「？？？？？？」
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１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を記号＜Ａ＞で表します。
例えば、
１×２×３×４＝２４ なので、＜４＞ の数値は「０」で、
１×２×３×４×５＝１２０ なので、＜５＞ の数値は「１」です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。
（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から２つ答えなさい。
（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を求めなさい。
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１０を１３で割ったとき、小数第２０１０位の数字はいくつですか。
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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を１回のジャンプで１０ｃｍ登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて２０回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで５分かかります。その後、１０分間休みます。このカエルは、このような５分間のジャンプと１０分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから５５分後には何 ｍ 登ったところにいますか。
（２）このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に ２ｃｍ下がってしまいます。また、１０分間の休みを取っている間にも ８０ｃｍ下がってしまいます。
【１】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて２０回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。
【２】この氷の斜面は ９ｍ 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。
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あるところに、冬でも活動する不思議なカエルがいました。このカエルは、山の斜面を１回のジャンプで１０ｃｍ登ることができます。このカエルは、ジャンプを始めると、ジャンプとジャンプの間に一定の時間をおきながら、続けて２０回のジャンプをします。このとき、ジャンプを始めてから最後のジャンプで着地するまで５分かかります。その後、１０分間休みます。このカエルは、このような５分間のジャンプと１０分間の休みをくり返しながら山の斜面を登っていきます。このとき、次の問に答えなさい。
（１）このカエルは、山の斜面でジャンプを始めてから５５分後には何 ｍ 登ったところにいますか。
（２）このカエルが山の斜面を登って行くと、氷の斜面にたどり着きました。氷の斜面では、ジャンプで着地してから次にジャンプをするまでの間に ２ｃｍ下がってしまいます。また、１０分間の休みを取っている間にも ８０ｃｍ下がってしまいます。
【１】この氷の斜面では、ジャンプを始めてから続けて２０回のジャンプをして最後に着地するまでに、どれだけ登ることができますか。
【２】この氷の斜面は ９ｍ 続いていました。この氷の斜面の一番下からジャンプを始めると、氷の斜面の一番上に到達するまでに、どれだけの時間がかかりますか。
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