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２ケタの整数 ＡＢ があります。
間に ０ を入れて ３ケタの整数 Ａ０Ｂ を作ると、
この数は ＡＢ で割り切れます。
また、両端と間に数字 Ｃ を入れて５ケタの整数 ＣＡＣＢＣ を作ると、
この数も ＡＢ で割り切れます。
このとき、５ケタの整数 ＣＡＣＢＣ を答えなさい。
ただし、Ａ，Ｂ，Ｃ はすべて異なる数字で、
どれも ０ ではないものとします。
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Ａは４けたの整数で、それぞれの位は同じ数字からなり、Ｂは４けたの整数で、それぞれの位は２種類の数字からなっています。ＡとＢの積を計算したら「44448888」になりました。ＡとＢを求めなさい。
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２以上１５０以下の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞はＮの約数の中で２番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、６の約数は１，２，３，６ なので、＜６＞＝３ であり、７の約数は１，７ なので＜７＞＝１ です。このとき、次の問に答えなさい。
（１）２以上１５０以下のすべての偶数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。
（２）２以上１５０以下のすべての３の倍数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。
（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるような２以上１５０以下の整数Ａ，Ｂ，Ｃ はそれぞれ何個ありますか。
（４）２以上１５０以下のすべての整数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。なお、２以上１５０以下の整数Ｎのうち、＜Ｎ＞＝１ であるものは３５個です。
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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）
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連続した４つの数を入れると図Ａのように出てくる【なぞの箱Ａ】があります。
（１）まずはじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れます。２回目以降は、その出てきた数を再び【なぞの箱Ａ】に入れます。これをくり返していくと、２００７回目にはどんな数が出てきますか。
次に、連続した４つの数を入れると、図Ｂのように出てくる【なぞの箱Ｂ】を用意しました。
（２）はじめに、１２３４を【なぞの箱Ａ】に入れ、２回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ｂ】に入れ、３回目は、その出てきた数を【なぞの箱Ａ】に入れ、・・・と、Ａ，Ｂを交互に入れていきます。２００７回目にはどんな数が出てきますか。
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１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を記号＜Ａ＞で表します。
例えば、
１×２×３×４＝２４ なので、＜４＞ の数値は「０」で、
１×２×３×４×５＝１２０ なので、＜５＞ の数値は「１」です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。
（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から２つ答えなさい。
（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を求めなさい。
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同じ整数を３回かけた数の答えは，次のような連続する奇数の和に直すことができます。
２×２×２＝３＋５
３×３×３＝７十９十11
４×４×４＝13＋15＋17＋19
このとき，次の問いに答えなさい。
（１）７×７×７を連続する奇数の和の形に直しなさい。
（２）17×17×17を連続する奇数の和の形に直したとき，その中で小さい方から９番目の奇数はいくつですか。
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次の問いに答えなさい。
（１）11，12，13，………99の2桁の数について，それぞれ十の位の数と一の位の数をかけて89個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（２）1001，1002，1003，……，2011の４桁の数について，それぞれ千の位の数，百の位の数，十の位の数，一の位の数をかけて1011個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（３）（２）で作った数のうち，一の位の数が９であるものは何個ありますか。
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下の手順で計算することを１回の操作と呼ぶことにします。
（１）Ａ を最初に「１」として、この操作を５回くりかえしたとき、Ａ を仮分数で表しなさい。
（２）さらにこの操作を何回くり返すと、Ａ の分母が初めて５桁になりますか。ただし、Ａ は最初の値を除いて、これ以上約分できない仮分数で表すものとします。
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５をいくつか並べた整数をＡとします。そのＡに５をかけた整数の各位の数の和をＢとするとき、次の問いに答えなさい。
（１）Ａ＝５５…………………５ であるとき、Ｂを求めなさい。
→ 35個 ←
（２）Ｂ＝６８６のとき、Ａは５をいくつ並べた数ですか。５の個数を求めなさい。
（３）Ｂの各位の数の和を求めると９になりました。このようなＢのうち、３番目に小さい数を求めなさい。
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