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数Ⅹに対して《Ⅹ》を、
《Ⅹ》＝（Ⅹ＋１）×（Ⅹ－１）÷（Ⅹ×Ⅹ）と定めます。
たとえば、《３》＝(３＋１）×（３－１）÷（３×３）＝８/９です。
このとき、
《（《８》×《９》×《１０》×《１１》×《１２》）÷（《６》×《２》）》
を計算しなさい。
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Ａ君とＢ君は初めに赤玉と白玉をいくつか持っています。まず、Ａ君の持っている赤玉を、その個数の４分の１だけＢ君に渡し、それと同じ個数の白玉をＢ君からＡ君に渡します。次に、Ｂ君の持っている赤玉を、その個数の３分の１と２個だけＡ君に渡し、それと同じ個数の白玉をＡ君からＢ君に渡します。その結果、Ａ君の持っている白玉の個数は初めよりも３個少なく、Ｂ君の持っている赤玉の個数は、初めの５分の４になりました。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）Ｂ君が最後に持っている赤玉の個数は、初めより何個少ないですか。
（２）Ａ君が最後に持っている赤玉の個数は何個ですか。
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２以上１５０以下の整数Ｎに対して、＜Ｎ＞はＮの約数の中で２番目に大きい整数を表すことにします。たとえば、６の約数は１，２，３，６ なので、＜６＞＝３ であり、７の約数は１，７ なので＜７＞＝１ です。このとき、次の問に答えなさい。
（１）２以上１５０以下のすべての偶数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜４＞＋＜６＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。
（２）２以上１５０以下のすべての３の倍数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜３＞＋＜６＞＋＜９＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。
（３）Ａ÷５＝＜Ａ＞、Ｂ÷７＝＜Ｂ＞、Ｃ÷１１＝＜Ｃ＞ となるような２以上１５０以下の整数Ａ，Ｂ，Ｃ はそれぞれ何個ありますか。
（４）２以上１５０以下のすべての整数Ｎに対する＜Ｎ＞の和、すなわち、＜２＞＋＜３＞＋＜４＞＋・・・＋＜１５０＞を求めなさい。なお、２以上１５０以下の整数Ｎのうち、＜Ｎ＞＝１ であるものは３５個です。
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１からＡ までの連続した整数をかけて数を作ります。このようにして作った数について、一の位から連続して並ぶ「０」の個数を記号＜Ａ＞で表します。
例えば、
１×２×３×４＝２４ なので、＜４＞ の数値は「０」で、
１×２×３×４×５＝１２０ なので、＜５＞ の数値は「１」です。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）＜１０＞、＜１５＞の数値をそれぞれ答えなさい。
（２）＜Ａ＞ の数値にならない整数があります。それらのうち、小さい方から２つ答えなさい。
（３）＜１＞、＜２＞、＜３＞、・・・、＜１２５＞ の数値の合計を求めなさい。
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整数Ａについて、[ Ａ ] を、Ａを３回かけたものの１の位の整数とします。
たとえば、[４]は、４×４×４＝６４ より、[４]＝４、
[３]は、３×３×３＝２７より、[３]＝７ のようになります。
このとき、[1001]＋[1002]＋[1003]＋・・・＋[2000] を求めなさい。
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次の問いに答えなさい。
（１）11，12，13，………99の2桁の数について，それぞれ十の位の数と一の位の数をかけて89個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（２）1001，1002，1003，……，2011の４桁の数について，それぞれ千の位の数，百の位の数，十の位の数，一の位の数をかけて1011個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（３）（２）で作った数のうち，一の位の数が９であるものは何個ありますか。
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次の問いに答えなさい。
（１）11，12，13，………99の2桁の数について，それぞれ十の位の数と一の位の数をかけて89個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（２）1001，1002，1003，……，2011の４桁の数について，それぞれ千の位の数，百の位の数，十の位の数，一の位の数をかけて1011個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（３）（２）で作った数のうち，一の位の数が９であるものは何個ありますか。
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１、２、３、４、５の５つの数を並べて、隣り合う数をたし合わせる操作を４回します。例えば、５つの数を、１、３、５、２、４と並べたとき、次のようになります。
（１）上のような操作をしたとき、下図のようになりました。
ア、イにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
（２）上のよう操作をしたとき、下図のようになりました。このとき、
①◎にあてはまる数を答えなさい。
②Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４つの数の和と、☆にあてはまる数を答えなさい。
③Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄにあてはまる数をそれぞれ答えなさい。
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