分野別1500解法

規則性

ナイトは最後にどこへいったか?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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平ちゃんは、次のようなゲームをしています。

1.図1のように、たて5ます、横5ますの盤を用意し、

右下のますにナイトの駒をのせ、残りのますに歩兵の駒を24個のせる。

2.ここから出発して、歩兵を取りながらナイトを進める。

1

3.ナイトは、図2のように、8つの方向のいずれかに進んで歩兵を取ることができる。

平ちゃんは、24回ナイトを進めることによって、

すべての歩兵を取ることができました

(つまり、ナイトは同じますに2回進むことはありませんでした)。

このとき、ナイトをそれぞれの方向に何回進めたかを示したものが図3です。

ただし、□に入る数字はわかっていません。

さて、ナイトは、最後にどのますに移動したのでしょうか?

解答用紙の盤の中に、○印をつけて答えなさい。

また、どのように考えて答えを出しましたか?

図などを使って、わかりやすく説明してください。

Knight149127_160

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1gifyajirusi

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調べる手順は?(駒場東邦中学 2011年)

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縦と横の長さが下に示された長方形ア、正方形イ、長方形ウがあります。

いま、A と B を1以上の整数として、

これら3つの四角形の縦を A cm、横を B cm それぞれ短くしたら、

面積が共に S c㎡ の四角形になりました。

このとき、A,B,S の値を求めなさい。

  長方形ア : 縦 5cm 、   横 35cm

  正方形イ : 縦 11cm 、 横 11cm

  長方形ウ : 縦 18cm 、 横 9cm

Ilm18_ab05016s

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これ、全部正解できる小学生いますか?(筑波大学附属駒場中学 2006年)

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下の図1のような、4つの面が同じ大きさの正三角形でできているコマと、

下の図2のような、コマの面と同じ大きさの正三角形が

たくさん描いてある板があります。

コマの1つの面には☆印がついていて、

はじめに、この☆の面が図2の★のついた三角形と

ぴったり重なるように置いてあります。

1

11

板についている面の1つの辺を動かさないようにコマをたおし、

別の面を下にする操作を何回か行って、

コマを動かすことを考えます。

たとえば、1回目の操作で、

コマは図2の○印の3つの三角形のどれかに移動します。

また、たとえば3回目の操作で図2の●印の三角形、

4回目の操作で図2の■印の三角形、

5回目の操作で図2の▲印の三角形にコマは移動できて、

いずれも☆の面が●、■、▲の三角形に重なります。

コマが移動できる板上の三角形の個数について、

次の問に答えなさい。

ただし、はじめにコマを置いた★印の三角形は個数に含めません。

 

(1)2回目の操作で、

  はじめてコマがたどりつける三角形は何個ありますか。

  また、そのうち☆の面が重なるものは何個ありますか。

  3回目、4回目の操作についても、同じものを求めなさい。

(2)8回以下の操作でコマが移動できる三角形は全部で何個ありますか。

  また、そのうち☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

(3)100回以下の操作でコマが移動できる三角形のうち、

  ☆の面が重なるものは全部で何個ありますか。

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ままこだて問題の規則性は?(武蔵中学 2011年)

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[ 1 ]、[ 2 ]、[ 3 ]、・・・、[ 176 ] の176枚のカードが、

上からこの順になるように重ねてあります。

一番上のカードを一番下に移し、

見えたカードを一枚取り除きます。

これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。

1回目は[ 1 ] を一番下に移し、[ 2 ] を取り除きます。

2回目は[ 3 ] を一番下に移し、[ 4 ] を取り除きます。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。

(2)100回目に取り除かれるカードに書かれている数を答えなさい。

(3)最後の一枚のカードに書かれている数を答えなさい。

Play072s

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Gify

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カードを規則的に取り除く難問(開成中学 2009年 )

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1,2,3、・・・ n の数が1つずつ書かれた n 枚のカードを

時計回りに数の小さい順に円形に並べます。

次の規則にしたがって、カードを1枚ずつ取り除いていくとき、

最後に残るカードがどれであるかを考えます。

・ まず、1の書かれたカードを取り除く。

・ あるカードを取り除いたら、次に、

 そのカードから時計回りに数えて2枚目のカードを取り除く。

・これをカードが1枚だけ残るまで繰り返す。

たとえば、n=13のときは図1のようにカードが取り除かれ、

最後に10の書かれたカードが残ります。

Zu1

(×印は取り除いたカードを表します)

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)n=8のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(2)n=16のとき、1周目にカードを取り除いた時点で、

図2のように8枚のカードが残り、

次に2の書かれたカードから取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、

n=16のとき最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

また、n=32 とn=64のとき、

最後に残るカードに書かれた数をそれぞれ答えなさい。

Zu2

(3)n=35のとき、

1周目に1,3,5の書かれたカードを取り除いた時点で、

残るカードが32枚で、

次には7の書かれたカードを取り除くことになります。

もし必要ならばこのことを用いて、n=35のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(4)n=100のとき、

1周目に36枚のカードを取り除いた時点で残るカードは64枚です。

もし必要ならばこのことを用いて、n=100のとき、

最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

(5)n=2009のとき、最後に残るカードに書かれた数を答えなさい。

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親子で考えた解法例

(1)n=8の図を描いてみると、図3のようになるね」

Zu3

「8になる」

「(2)n=16のとき、図2のように8枚の偶数のカードが残る。

これは図4の8の場合と同じ。

(1)では8の位置のカードが残ったので、この場合も8の位置・・・」

Zu4_4

「16だ」

「n=32のときは、まず1周目に奇数のカードが取り除かれる。

すると残ったカードは2,4,6,8、・・・32。

これは、1,2,3、・・・16まで並んでいるのと同じ。

だからn=16のときの最後が16だったので、この16に相当するのは32。

次にn=64のときも同じように1周目に奇数がすべて取り除かれ

2,4,6、・・・64の32枚の偶数のカードが残る。

これはn=32のときと同じだから・・・」

「64だ」

「(3)n=35の場合も 1,3,5を取り除くと32枚残る。

32枚になったところで、図5のようにn=32と見なすことができるね」

Zu5

「次に取り除くカードは7?」

「そう、7をスタートの1と考えて、n=32って考えると、

32のカードの場所にあるカードが最後に残ることになるわけ」

「6か・・・」

「(4)n=100のとき、36枚取り除くと64枚になるって問題にヒントがでてるね」

「64枚のカードで考えればいいってこと?」

「そう、n=64のとき、最後に残るのは64だったね。

だから、n=100のとき、

残りカードが64枚になったときのスタートの数字と、

その前の数字を調べてみると・・・

36枚目に取り除くのは、36x2-1=71 のカードで、

次に取り除くのは73のカードになる」

「こんがらがってきた」

「図6を見て」

Zu6

「72だ」

「(1)、(2)から、n の数を2倍、2倍としていくと、

最後に残るカードも2倍、2倍となることがわかる?」

「わからない」

「そうなってるでしょ」

「そう言われてみると・・・」

「(4)でn=100のとき、最後に残る数は72ということがわかったから、

これを2倍、2倍、・・・としてみて2009に近づけてみる」

「地道な方法だな」

n=200 のときは 72x2

n=400 のときは、72x2x2

n=800 のときは、72x2x2x2

n=1600 のときは、72x2x2x2x2 =72x16=1152

「だから、n=2009のとき、

1周目に409枚のカードを取り除くと残るカードは1600枚になるね。

これを利用する・・・」

「どう利用するの?」

Zu7

「409枚目に取り除くカードは、409x2-1=817 で、

次に取り除くカードは819になるでしょ?」

「図を見ればそうだけど・・・」

「で、(5)の答えは819+72x16=818+1152=1970」

「n=2009にしたのは2009年の入試問題だからだな」

「そうでしょうね」

「何で答えが1970なんだろう?この年なんかあったのかな?」

「単に算数の問題でしょ」

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正方形の面積は?(今年、2016年 専修大学松戸中学)

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たてと横に1cm間かくで点が並んでいます。

下の図のように、あるきまりにしたがってこれらの点を結び、

次々と正方形を作っていきます。

たとえば、1番目の正方形の面積は2c㎡で、

2番目の正方形の内側には4個の点がふくまれています。

2211

(1)3番目の正方形の面積は何c㎡ですか。

(2)正方形の内側に64個の点がふくまれているとき、

   その正方形の面積は何c㎡ですか。

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三角形に並んでいく数列の考え方

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正三角形の個数の数え方

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図のように一辺が1cmの正三角形を

1段目に1つ、2段目に3つ、3段目に5つ…と作っていくとき、

次の問いに答えなさい。

(1)1段目から15段目までに、一辺が1cmの正三角形が何個ありますか。

(2)5段目までに、大小の正三角形(一辺が1cm、2cm、3cm、4cm、5cmの正三角形)は全部で何個ありますか。

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