----------------------------------------------------
直角三角形を次のような操作で、
いくつかの直角三角形に分割していきます。
---------------------------------------------
ア：直角三角形の１つの辺を選び、そのまん中に印をつける。
イ：つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。
ウ：つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。
ただし、選んだ辺が２つの直角三角形の辺になっているときは
その２つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。
---------------------------------------------
上の操作を１回と数え、
下の図の三角形ＡＢＣを分割してできた直角三角形に、
この操作を何回もくり返していきます。
たとえば、１回目の操作を行うと、図１、図２のように、
４個、３個の直角三角形に分割されます。
また、図１に対して２回目の操作を行うと、
たとえば、図３、図４のように８個、１０個の直角三角形に分割されます。
さらに３回目の操作を行うと、
たとえば図５、図６のように１０個、１３個の直角三角形に分割されます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）操作を３回行ったとき、
直角三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつありました。
直角三角形ＡＢＣは何個の直角三角形に分割されますか。
考えられる個数をすべて答えなさい。
（２）操作を１０回行ったとき、
直角三角形ＡＢＣの辺上にある印は１個だけでした。
直角三角形ＡＢＣは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。
（３）操作を５０回行ったとき、辺ＡＣ上にある印は１０個でした。
直角三角形ＡＢＣは、
最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。
----------------------------------------------------
----------------------------------------------------
解答
（１）操作を３回行って、三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が
１つずつあるので、１個目の印を辺ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ のどこに
つけるかで、図１、図２のように形が変わります。
まず、図１のように、辺ＡＣ上に印をつけると、４個の直角三角形
に分割されるので、残りの辺ＡＢ，ＢＣ上に１つずつ印をつける
ので、下の図７のように、４個の候補ができます。
辺ＡＢ上の２個から１つ、辺ＢＣ上の２個から１つ、それぞれ選び
操作を行うと、図７では直角三角形の個数は、８個となります。
次に、最初に辺ＡＢ、またはＢＣ上に印をつけるときは、
下の図８のように、７個に分割されます。
よって、考えられる個数は、８個、７個です。
（２）操作を１０回行い、直角三角形ＡＢＣの辺上に印が１個だけ
なので、最初の１回目以外は、直角三角形ＡＢＣ の内部の辺に
印をつけたことになります。
まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。
１回目の操作では、図１、図２のように、４個、３個に分割
できるので、多くの直角三角形に分割するには、図１に
なるように、斜辺（直角を含まない辺）に印をつけます。
図１のあと、２回目の操作では、図３または図４になり、
図４の方が多くなります。その後の３回目の操作では、
下の図９、図１０のようになります。
ここで、図９の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、
図４や図９の青い部分を作るように分割していくことを続ければ
最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。
この方法を用いれば、
１回目の操作 １個 → ４個 （図１）
２回目の操作 ４個 → １０個 （図４）
３回目の操作 １０個 → １６個 （図９）
のように、２回目以降は、ずっと ６個ずつ直角三角形が増えて
いくので、最も多くて、４＋６×９＝５８個 に分割することができる
ことがわかります。
では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。
図１０の赤い三角形に注目すると、印Ｅ によって３個に分割
されています。これは、図３→図５のところでも登場している
パターンの増え方です。２個しか増えません。
１回目の操作で斜辺に印をつけると、図１０の赤い直角三角形が
現れるのは２回目の操作を行った図３の後で、３回目の操作を
行うと図５のようになり、以降は２個ずつ増えていくだけとなります。
よって、この後、図２について検証しますが、２回目の操作で
図３の８個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。
下の図のように、図２の場合は図１１、図１２のようになります。
ここで、図１１、図１２の黄色い直角三角形は、図１０の赤い直角
三角形と同じように、次の操作では青い点を印として、図１３の
ように、３個に分割されるだけとなります。
図１１と図１２では、図１１が７個、図１２は９個の直角三角形に
分割されるので、図１１の方が少ないことがわかります。
また、図３の８個よりも少ないことがわかります。
よって、分割の仕方としては、図１１→図１３の方法を用いれば、
分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、
１回目の操作 １個 → ３個
２回目の操作 ３個 → ７個
３回目の操作以降は、２個ずつ増える
ということになり、 最も少ない数に分割すると、
７＋２×８＝２３個 の直角三角形になることがわかります。
（３）まず、最も多い場合について考えます。これは、（２）の
図１→図４→図９ のように増やしていけばよいですね。
ここで問題が、辺ＡＣ上に１０個の印があることです。
図１以外の残りの９個の印をＡＣ上に作らなければなりません。
これは、図４→図６のようになります。すなわち、
１個 → ４個 になるのが１０回、残りの４０回は、６個ずつ
増えていく
ということになります。
よって、最も多くなると、
１個 → ４個 → ７個 → ・・・ → ３１個 → ６個ずつ増
１＋３×１０＋６×４０＝２７１個 の直角三角形に分割されます。
次に、最も少ない場合です。
（２）のときは、
１回目の操作 １個 → ３個
２回目の操作 ３個 → ７個
３回目の操作以降は、２個ずつ増える
と考えましたが、今回は辺ＡＣ上に１０個の印があるので、
下の図１４→図１５のように、図１１をはさまずに、２個増える
パターンにすることができます。
よって、最も少ない場合は、
１個 → ３個 → ５個 → ・・・ → ずっと２個ずつ増える
という場合になります。
（辺ＡＣ上に印をつける場合も、図２→図８のように２個増えさせる）
このとき、直角三角形の個数は、１＋２×５０＝１０１個 です。
----------------------------------------------------
----------------------------------------------------
↓こちらファミリーページにもどうぞ！
問題＋解法のセット集→「算数解き方ポータル」
どう解く？中学受験算数
パズルのような算数クイズ
算数オリンピック問題に挑戦！
全国１７０中学校の入試問題と解法
これが中学入試に出た図形問題！
公式、法則、受験算数の極意
中学受験算数分野別６８項目へ
解けるかな？算数の難問に挑戦！
大人だって解ける、受験算数
算数、解法のリンク集
図で解く算数
大人の脳勝算数
難問、奇問、名作にチャレンジ！
フォト＆ムービーで見る、不思議な世界
にほんブログ村
スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）
中学受験算数解法１０００→「イメージでわかる中学受験算数」
