巻き終わるまでにかかった時間と長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年）
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点Ｏ を中心とする半径６ｃｍの円板を３分の１に切った板が あります。
この板を下の図Ａ のように、ＯＰが地面と平行になる ように点Ｏで壁に固定して、
長さ２０ｃｍのひもＰＱをぶら下げます。
いま、点Ｏを中心として、毎秒２０°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、
ひもをたるまないように巻き取っていきます。
円周率を３として、次の問に答えなさい。
（１）ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。
（２）ひもを巻き終わるまでに点Ｑが動いた長さを求めなさい。
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円周率が３と指定されていることに注意しましょう。
（１）板の弧の長さは、６×２×３×１２０/３６０＝１２ｃｍ です。
板の半径をＯＰとＯＲ とすると、板が反時計回りに回転すると、
ひもＰＱは、まず、下の図１のように２４０°回転してＰＯ、ＯＲの部分に巻き取られ、
残りがＲＱの部分の８ｃｍになります。
弧ＰＲの長さが１２ｃｍなので、
弧の長さの２/３回転すれば完全に巻き取ることができ、
図１の状態から、１２０°の２/３の８０度回転すればよく、
最初の状態から、２４０＋８０＝３２０°
回転すれば巻き終わります。
毎秒２０°回転するので、かかる時間は、３２０÷２０＝１６秒
と求められます。
（２）まず板が９０度回転して、点Ｑは下の図２の状態になります。
点Ｑが動いた長さ（赤い点線）は、６×２×３×９０/３６０＝９ｃｍで、
次に点Ｑは、図２から下の図３の状態まで６０度回転しても動きません。
図３の状態から、図１の状態まで、下の図４のように点Ｑが動き、
この移動した長さも、同様に９ｃｍです。
図４からは点Ｑは上へ８ｃｍ動くのみなので、
ひもを巻き終わるまでに点Ｑが動いた長さは、
９＋９＋８＝２６ｃｍ です。
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