分野別1500解法

立体図形

立体図形の難問(麻布中学 2013年)

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下の図1のような立体を三角すいといい、その体積は、

底面積 × 高さ ÷ 3 

で求められます。

        Pic_3311q

(1)下の図2において、三角すいABCD、三角すいABQR、

三角すいPBQR の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

 Pic_3312q

(2)下の図3の三角形EFG の形をした紙を使って、

2つの三角すいを作ります。

図4の点線を折り目として、

頂点 E,F,G を一致させるように折って作った三角すいの体積を【ア】c㎥、

図5のように 4つの三角形に切り離し、

同じ長さの辺を重ね合わせて作った三角すいの体積を【イ】c㎥ とします。

【ア】と【イ】の体積の比をできるだけ簡単な整数の比で表しなさい。

 

Pic_3313q_2

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20

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高度な3次元イメージ(灘中学2日目 2011年)

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図は,一辺の長さが9cmの立方体で,

辺上の3等分点にすべて印をつけています。

四角形ABCD,PQRSを底面とし,

8つの三角形

ABP,BPQ,BCQ,CQR,CDR,DRS,DAS,ASPを

側面とする立体をVとします。

Vの体積を求めなさい。

10318

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11gif_2


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ちょっと難しい通過算(麻布中学 2012年)

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列車A,B はそれぞれ一定の速さで、

並行(へいこう)する線路の上を逆向きに走っています。

ある地点を列車の先頭が通過してから

最後尾が通過するまでの時間は、A が15秒、B が20秒です。

また、A とB がすれ違うのに要する時間は18秒です。

列車A とB の速さの比と長さの比をそれぞれ求めなさい。

Train_greenTrain_orange

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Tabi1

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立体図形の表面積(桜蔭中学 2017年)

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0046

上の図のような立体1,2,3が、どれも1個以上あります。

立体1は円すい、立体2は円柱、

立体3は底面の半径が4cmの円柱から

底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
 

立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)は青

立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、

どの立体もその他の面はすべて白くぬられています。

このとき次の問いに答えなさい。
 

(1)


立体1,2,3の1個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、

赤、青、黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。

(2)

すべての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、

青くぬられている部分の面積の合計と、

黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき

すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計は

最も少なくて何c㎡ ですか。

(3)

すべての立体の白くぬられている部分の面積の合計が

5652c㎡ であるとき、

立体1,2,3はそれぞれ何個ずつありますか。

考えられる個数の組をすべて答えなさい。

ただし、立体1,2,3は、どれも異なる個数あるとします

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立方体制作と場合の数(久留米大学附設中学 2010年)

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黒玉と白玉を合わせて8個と棒12本を使って立方体の形を作るとき、

黒と白の異なる配置は何通りあるかを求めます。

ただし、回転を組み合わせて同じ位置に出来るときは、

異なる配置とは考えません。

たとえば、黒玉1個、白玉7個の場合、

下のように一見①から⑧のように8通りありそうですが、

①から適当に回転を組み合わせて②~⑧にすることができるので、

この場合の異なる配置は、1通りです。

 

423

 

(1)黒玉2個、白玉6個の場合、異なる配置は3通りです。

   黒玉の場所を2ケ所塗ることで、異なる配置を書きなさい。

(2)黒玉4個、白玉4個の場合、異なる配置は何通りあるのかを、

   必ず異なる配置だけを書くことで答えなさい。

   もし、同じ配置を2つ以上書いていたら、

   その配置はいずれも書いていないものとして採点します。

   上の例でいえば、①と②が書いてあれば,

   何も書いていないことになります。

(3)黒玉も白玉も必ず1個以上使うとき,

   異なる配置は全部で何通りですか。

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Gifcube

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超発想の立体図形問題(第9回算数オリンピック ファイナル)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

 ●面ABCを床につけると、頂点Dは床から10cm、

   点Pは床から3cmのところにあります。

 ●面ACDを床につけると、頂点Bは床から8cm、

   点Pは床から1cmのところにあります。

 ●面ABDを床につけると、頂点Cは床から12cm、

   点Pは床から5cmのところにあります。

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

      点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

Bandicam_20170915_092842969_2

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変ったサイコロ問題(麻布中学 2013年)

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8つの面がすべて合同な正三角形からなる図1のような立体について考えます。

それぞれの面には、図2のように 1から8までの数字が書かれています。

     Pic_4134q

Pic_4135q

下の図3のように、この立体を面ABC が底面となるように置きます。

 Pic_4136q

底面のいずれか1辺を軸として、

となり合う面が底面となるように

この立体を動かすことを「転がす」ということにします。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)

図3の状態から1回目に辺AC を軸として転がし、

続けて 2回目に辺CD を軸として転がしました。

その結果、最後に底面と重なる位置を、

下の図4の三角形に色をつけて示しなさい。

また、そのときの底面に書かれた数字を答えなさい。

 Pic_4137q

図3の状態から4回、自由に転がします。

このとき、以下の(2)、(3)、(4)に答えなさい。

(2)

下の図5の【ア】は、最後に底面と重なる位置の1つです。

【ア】以外の、最後に底面と重なる位置の三角形をすべて、

 

太線で囲い示しなさい。

また、【ア】の位置に最後に重なる底面に書かれた数字として

考えられるものをすべて答えなさい。

 Pic_4138q

(3)

4回自由に転がす転がし方は、全部で何通りありますか。

 

ただし、最後の底面の位置が同じでも、

途中の経路が違う場合は別の転がし方とします。

(4)

最後に底面となる面に書かれた数字を、

(3)のすべての転がし方について足し合わせたとき、

その和を求めなさい。

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展開図の難問に挑戦!(栄光学園中学 2013年)

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いくつかの立方体でできた立体の展開図について考えます。

折り目となるところは細線 ― で、

切れ目となるところは太線 で表すと、

下の図1の立体の展開図は、図2のようになります。

      Pic_3290q

(1)下の図3、図5の立体の展開図を、

それぞれ図4、図6の細線 ― の一部を太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3291q

      Pic_3292q_2

(2)下の図7の立体の展開図を、

図8の点線の一部を細線 ― や太線 に変えて完成させなさい。

      Pic_3293q

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展開図イメージと解法例

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Aの高さは何cm?(2016年 洗足学園中学)

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Bandicam20161027

図のような2つの直方体があります。

Aの高さはBの高さより2cm高く、

Bの 表面積はAの表面積より352c㎡大きいとき、

Aの高さは何cmですか。

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25


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立方体の切り口は?

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3点を通る平面で立方体を切断すると、切り口はどんな形になる?

黄色い点は立方体の各辺を4等分する点です。

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